La propriété la plus remarquable de la dérivée extérieur est sans aucun doute le théorème de Stokes : \[ \int_{\partial A}\omega=\int_{A}d\omega \] ''l'intégrale de la forme différentielle sur le bord de la sous variété est égale à l'intégrale de sa dérivée extérieur sur l'intérieur de cette sous variété''. Selon moi cela devrait même être la définition de la dérivée extérieur car elle donne immédiatenent l'intuition et la motivation de cette notion. Par exemple pour la notion ``vitesse'' la définition intuitive est ``la quantité qui intégré sur le temps donne la distance parcouru'' et de même, je pense que la définition intuitive de la dérivé exterieure \(d\omega\) devrait être ``la forme différentielle de degré supérieur qui satisfait le théorème de Stokes''. Avec cette définition, il est clair que la dérivée extérieure est une notion naturelle et centrale en analyse. Pourtant que ce soit en physique, en géoscience, en analyse numérique et dans pleins d'autres domaines on manipule constamment des champs de vecteurs sur des variétés mais souvent en ne les traitant que comme un ensemble de fonctions réelles sans se poser vraiment la question de la nature mathématique et ignorant au passages des très belles notions de géométrie différentielle ou topologie algébrique. Le but de ce poste est de donner deux exemples simples illustrant pourquoi l'algèbre différentielle et la dérivée extérieur (et la cohomologie de De Rham) sont naturelles et devraientt être utilisées plus souvent. Soit M une variété de dimension \(n\). L'algèbre des formes différentielles \(\Lambda(M)\) est une algèbre graduée où la dérivée extérieur d va des k-formes differentielles au (k+1)-formes différentielles \[ \Lambda^{0}(M)\xrightarrow{d}\Lambda^{1}(M)\xrightarrow{d}\cdots\xrightarrow{d}\Lambda^{n}(M) \] Ces espaces pouvant aussi être vu comme un champs de vecteurs de dimension k parmi n. La propriété algébrique principale est sans aucun doute \(d\circ d=0\): Pour tout espace des \(k\)-formes, l'image de \(d\) est incluse dans le noyau de \(d\). Tout le jeu de la cohomologie de De Rham est de comprendre quand a t-on l'égalité entre l'image et le noyau et plus généralement quel est l'espace ``manquant''.
La cohomologie de \(\mathbb{R}^{3}\).
Dans le cas d'une variété de dimension \(3\) par exemple \(\mathbb{R}^{3}\), la différentielle extérieur est bien connu mais sous des noms différents de gradient, divergence ou rotationel \[ \Lambda^{0}(\mathbb{R}^{3})\xrightarrow{\text{grad}}\Lambda^{1}(\mathbb{R}^{3})\xrightarrow{\text{rot}}\Lambda^{2}(\mathbb{R}^{3})\xrightarrow{\text{div}}\Lambda^{3}(\mathbb{R}^{3}). \] Remarque: les dimension de \(\Lambda^{k}(\mathbb{R}^{3})\) sont respectivement \)1,3,3\) et \(1\). Ici la propriété \(d\circ d=0\) n'est rien d'autre que les relations bien connus \(\text{rot}\circ\text{grad}=0\) et \(\text{div}\circ\text{rot}=0\). Ici la cohomologie de De Rham de \(\mathbb{R}^{3}\) c'est très facile car l'espace est homotope à un point: pour les 0-formes :\)\text{Ker}(d)/\text{Im}(d)=\mathbb{R}\), c'est à dire on a \(\text{grad}(f)=0\) ssi il existe \(c\) constante telle que \(f=c\), pour les 1-formes :\(\text{Ker}(d)/\text{Im}(d)=0\), c'est à dire \(\text{rot}(u)=0\) ssi il existe une fonction \(f\) telle que \(u=\text{grad}(f)\), pour les 2-formes :\(\text{Ker}(d)/\text{Im}(d)=0\), c'est à dire\(\text{div}(v)=0\) ssi il existe une 1-forme \(u\) telle que \(v=\text{rot}(u)\), pour les 3-formes \(\text{Ker}(d)/\text{Im}(d)=0\), il existe toujours une solution à \(\text{div}(v)=g\).
Les équations de Maxwell
Ici nous écrivons les équations de Maxwell dans le formalisme des formes différentielles. On rappelle que sur les formes différentielle on définit aussi la dualité \(*\) entre les \(k\) formes et les \(n-k\) formes (pour faire simple \[ *:\bigwedge_{i\in I}dx_{i}\leftrightarrow\bigwedge_{i\notin I}dx_{i} \] ). Ceci permet de définir \(\partial=*d*\) allant des \(k\) formes au \((k-1)\) formes. La théorie de Maxwell est donné par le magnifique schéma suivant
Remarquer que \(\Lambda^{1}(\mathbb{R}^{4})\) et \(\Lambda^{2}(\mathbb{R}^{4})\) sont de dimension \(4\) et \(6\). On a noté ici
- le \(4-\)vecteur \(A^{\mu}=(V,A)\) (le potentiel, et le potentiel vecteur),
- Le \(J^{\mu}=(\rho,j)\) (la densité de charge et de courant)
- Le \(6-\)vecteur \((E,B)\) le champs electromagnétique.
Le premier avantage ici est que tout est énoncé à un niveau ``géométrie'' sans un choix particulier de paramétrage. On n'a donc pas à se préocupper de changements de base (changement de référentielle pour un physicien, changement de carte pour un mathématicien). En particulier il est clair que les champs electriques et magnétiques sont indissociables. Le deuxième avantage est que les notion de k-forme ne sont pas arbitraire mais au contraire sont tout à fait naturel d'un point de vu physique: Une densité de charge s'intégre sur un volume (3-forme), le courant de charge s'intègre sur une surface fois un temps (3-forme), le champs magnétique s'intégre sur une surface (2-forme) et le potentiel vecteur s'intègre sur un chemin (1-forme). En mécanique quantique ce dernier est lié à la phase de la fonction d'onde de l'électron. Chaque flèche du diagramme n'est rien d'autre que la dérivée extérieur dont je donne ci dessous le sens physique:
- (1) C'est ici le choix de Jauge, on peut arbitrairement changer \[ V\rightarrow V-\frac{\partial f}{\partial t}\quad\text{et}\quad A\rightarrow A+\text{grad}(f) \] sans changer les champs électromagnétiques, en effet \((3)\circ(1)=0\).
- (2) Un choix particulier de Jauge est \((2)=0\) appeléé la Jauge de Lorentz: \[ \frac{\partial V}{\partial t}+\text{div}(A)=0. \] C'est la plus couramment utilisé en électromagnétisme.
- (3) On peut exprimer le champs electromagnétisme en fonction du potentiel vecteur : \[ E=-\frac{\partial A}{\partial t}-\text{grad}(V)\quad\text{et}\quad B=\text{rot}(A). \]
- (4) On a ici les équations de Maxwell-Faraday et Maxwell-Thomson \[ \frac{\partial B}{\partial t}+\text{rot}(E)=0\quad\text{et}\quad\text{div}(B)=0 \] qui découlent bien sur de \((4)\circ(3)=0\).
- (5)] C'est maintenant les équations de Maxwell-Gauss et Maxwell-Ampere \[ \text{div}(E)=\rho\quad\text{et}\quad-\frac{\partial E}{\partial t}+\text{rot}(B)=j \]
- (6)] C'est la loi de conservation de la charge \[ \frac{\partial\rho}{\partial t}+\text{div}(j)=0 \] qui est encore \((6)\circ(5)=0\).
J'en profite pour une petite remarque historique, en 1865 l'idée géniale de Maxwell fut de remarquer qu'avec l'équation d'Ampère dans la version où elle était énoncée à l'époque \((6)\circ(5)\) ne donnait pas \(0\). Il la modifia alors en ajoutant le terme \(\frac{\partial E}{\partial t}\) rendant ainsi la théorie cohérente. Ainsi ce fut donc bien des considérations de topologie algébrique qui menèrent à la théorie de l'électromagnétisme (classique) telle qu'on la connait aujourd'hui.