Tous les élèves de lycée connaissent le théorème fondammental de l'arithmétique à savoir que l'on peut décomposer tout entier \(n\) en produit de puissance de nombre premiers \[ n=\prod_{p\in{\cal P}}p^{v_{p}(n)}\quad\text{avec}\,v_{p}\text{ la valuation }p\text{-adique.} \] Ce que les lycéens n'apprennent pas par contre c'est ``Comment choisir un entier aléatoirement ?'' Il est vrai qu'à première vue cette question semble ne pas avoir de sens. D'un côté on peut arbitrairement construire une infinité de mesure de probabilité mais par contre il n'existe pas de ``loi uniforme'' sur tous les entiers. Le message de ce post est que malgré tout, si on veut faire de l'arithmétique, une certaine famille de lois aléatoires est un peu préférables aux autres.
LES ``LOIS ZETA''
La loi considérée est la suivante \[ \mathbb{P}(X=n)=\frac{1}{\zeta(\beta)n^{\beta}}\quad\text{avec}\quad\zeta(\beta)=\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^{\beta}}\quad\beta>1 \] où la fonction zeta de Riemann apparait ici de tel sorte que la somme des probabilités soit bien égale à 1. Sa propriété la plus remarquable est la suivante : sous cette loi ci \[ (V_{p}:=v_{p}(X))_{p\in{\cal P}}\text{ sont indépendantes et de loi }:\mathbb{P}(V_{p}=k)=(1-p^{-\beta})p^{-\beta k} \] Il est possible de vérifier cette propriété directement par calcul mais je vais plutôt présenter une analogie intéressante avec la physique statistique. Sur les entiers on introduit le Hamiltonien définit par \[ H(n):=\log n=\sum_{p\in{\cal P}}v_{p}(n)\log p\qquad\mathbb{P}(X=n)\sim e^{-\beta H(n)}. \] et on considère la probabilité tel que(ensemble canonique). Cela redonne bien la loi précédente. On peut remarquer ici que \(H\) a la forme d'une simple somme dans la décomposition \((v_{p}(n))_{p\in{\cal P}}\in\Omega=\mathbb{N}^{{\cal P}}\). En physique on dirait qu'il n'y a pas d'interactions et donc que les sous système \((v_{p}(n))_{p\in{\cal P}}\) sont indépendants. (preuve : on a la factorisation de la loi \[ \mathbb{P}(X=n)\sim\prod_{p\in{\cal P}}p^{-\beta v_{p}(n)} \] et donc l'indépendance.) On peut calculer la fonction de partition du sous système associé au facteur premier \(p\) : \(v_{p}(n)\in\mathbb{N}\) et d'{}''énergie'' \(v_{p}(n)\log p\) \[ Z_{p}(\beta):=\sum_{k=0}^{\infty}e^{-\beta k\log p}=\sum_{k=0}^{\infty}p^{-\beta k}=\frac{1}{1-p^{-\beta}}. \] Puisque les systèmes sont indépendants la fonction de partition du système total est simplement le produit des fonctions de partition des sous systèmes. On retrouve ici la forme du produit Eulérien pour la fonction zeta \[ Z(\beta):=\sum_{n\geq1}e^{-\beta H(n)}=\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^{\beta}}=\zeta(\beta)=\prod_{p\in{\cal P}}Z_{p}(\beta)=\prod_{p\in{\cal P}}\frac{1}{1-p^{-\beta}} \]
Diviseur et PGCD
Une autre propriété remarquable est que pour la divisibilité, on a simplement \[ \mathbb{P}(d\text{ divise }X)=\frac{1}{d^{\beta}}. \] On peut également s'intéresser au pgcd de deux telles variables aléatoires indépendantes \(X\) et \(Y\) de parametre \(\beta\) et \(\gamma\). Dans ce cas, le pgcd est alors aussi une ``loi zeta'' de paramètre \(\beta+\gamma\). \[ \mathbb{P}(X=n)=\frac{1}{\zeta(\beta)n^{\beta}}\text{ et }\mathbb{P}(Y=n)=\frac{1}{\zeta(\gamma)n^{\gamma}}\Rightarrow\mathbb{P}(\text{pgcd}(X,Y)=n)=\frac{1}{\zeta(\beta+\gamma)n^{\beta+\gamma}} \] preuve : Chaque valeurs p-adiques restent indépendante et on a \[ \mathbb{P}(v_{p}(\text{pgcd}(X,Y))\geq k)=\mathbb{P}(v_{p}(X)\geq k)\mathbb{P}(v_{p}(Y)\geq k)=p^{-k(\beta+\gamma)}. \] Une dernière motivation que l'on peut mentionner est la limite lorsque \(\beta\rightarrow1\). L'heuristique est qu'elle devrait d'une certaine manière converger vers la ``loi uniforme sur tous les entiers''. Plus précisément, on aimerait pouvoir affirmer qu'on obtient les mêmes assymptotiques que d'autres lois qui "convergent vers la loi uniforme", par exemple \(\{1,2,\cdots,N\}\) lorsque \(N\rightarrow\infty\), . Typiquement \[ \mathbb{P}(d\text{ divise }X)\rightarrow\frac{1}{d} \]
Fonction multiplicative
Comme autre exemple d'application de l'indépendance des \(V_{p}\) pour les lois zeta, voici quelques formules assez surprenant lorsqu'on les voit pour la première fois. \[ \sum_{n\geq1}\frac{\mu(n)}{n^{\beta}}=\frac{1}{\zeta(\beta)}\qquad\sum_{n\geq1}\frac{\phi(n)}{n^{\beta}}=\frac{\zeta(\beta-1)}{\zeta(\beta)} \] où \(\phi\) et \(\mu\) sont les fonctions indicatrice d'Euler et de Mobus. En arithmétique on appelle ``fonction multiplicative'' les fonction qui satisfont \(f(pq)=f(p)f(q)\) pour tout \(p,q\) premiers entre eux. Avec la décomposition en facteurs premiers on a directement \[ f(n)=\prod_{p\in{\cal P}}f(p^{v_{p}(n)})=\prod_{p\in{\cal P}}f_{p}(v_{p}(n))\quad\text{où }f_{p}(k):=f(p^{k}). \] Avec une loi zéta et par indépendance on a alors \[ \mathbb{E}_{\beta}[f(X)]=\mathbb{E}_{\beta}[\prod_{p\in{\cal P}}f_{p}(v_{p}(X))]=\prod_{p\in{\cal P}}\mathbb{E}_{\beta}[f_{p}(v_{p}(X))] \] Pour la fonction de Mobius : \[ \mu(n):=\begin{cases} 0 & \text{si divisible par un carré}\\ 1 & \text{si produit d'un nombre pair de premier}\\ -1 & \text{si produit d'un nombre impair de premier} \end{cases} \] \[ \mu_{p}(k)=\begin{cases} 1 & \text{si }k=0\\ -1 & \text{si }k=1\\ 0 & \text{sinon} \end{cases}\quad\Rightarrow\quad\mathbb{E}_{\beta}\mu_{p}(v_{p}(X))=(1-p^{-\beta})^{2} \] et donc \[ \frac{1}{\zeta(\beta)}\sum_{n\geq1}\frac{\mu(n)}{n^{\beta}}=\mathbb{E}_{\beta}[\mu]=\prod_{p\in{\cal P}}(1-p^{-\beta})^{2}=\frac{1}{\zeta(\beta)^{2}} \] Avec la fonction indicatrice d'Euler \[ \overline{\phi}(n):=\frac{\phi(n)}{n}=\frac{1}{n}\#\{m\leq n:\text{pgcd}(m,n)=1\} \] \[ \overline{\phi}_{p}(k)=\begin{cases} 1 & \text{si }k=0\\ 1-p^{-1} & \text{si }k\geq1 \end{cases}\quad\Rightarrow\quad\mathbb{E}_{\beta}[\overline{\phi}_{p}]=1-p^{-1-\beta} \] et donc \[ \frac{1}{\zeta(\beta)}\sum_{n\geq1}\frac{\phi(n)}{n^{\beta+1}}=\mathbb{E}_{\beta}[\overline{\phi}]=\prod_{p\in{\cal P}}(1-p^{-(\beta+1)})=\frac{1}{\zeta(\beta+1)} \] Convolution de Dirichlet comme somme de variables indépendantes \[ \mathbb{E}(z^{-\beta})=\mathbb{E}(x^{-\beta})\mathbb{E}(y^{-\beta}) \] Soit deux variables aléatoires indépendantes à valeur sur \(\Omega=\mathbb{N}^{{\cal P}}\). On peut considérer leur somme ce qui implique une ``convolution'' l'espace \(\Omega\) (de dimension infini) \[ \mathbb{P}(\boldsymbol{Z}:=\boldsymbol{X}+\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{k})=\sum_{\boldsymbol{k}_{1}+\boldsymbol{k}_{2}=\boldsymbol{k}}\mathbb{P}(\boldsymbol{X}=\boldsymbol{k}_{1})\mathbb{P}(\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{k}_{2})\quad\boldsymbol{k}\in\mathbb{N}^{{\cal P}} \] Puisque \(\boldsymbol{X}\) et \(\boldsymbol{Y}\) sont indépendant on a \[ \mathbb{E}e^{t.\boldsymbol{Z}}=\mathbb{E}e^{t.\boldsymbol{X}}\mathbb{E}e^{t.\boldsymbol{Y}}\quad\forall t\in\mathbb{C}^{{\cal P}} \] On écrit \(x\) (resp \(y\) et \(z\)) l'entier tel que \(\boldsymbol{X}=(v_{p}(x))_{p\in{\cal P}}\) (resp \(\boldsymbol{Y},\boldsymbol{Z}\)). Puisque \[ \forall p\in{\cal P}\,v_{p}(z)=v_{p}(x)+v_{p}(y)\Leftrightarrow z=xy \] on a alors \[ \mathbb{P}(z=n)=\sum_{d_{1}\times d_{2}=n}\mathbb{P}(x=d_{1})\mathbb{P}(y=d_{2})\quad n\in\mathbb{N}^{\mathbb{N}} \] Ceci est la convolution de Dirichlet que l'on pourra noté \(\mathbb{P}_{z}=\mathbb{P}_{x}\star\mathbb{P}_{y}\). Un cas particulier de \(t:=(\beta\log p)_{p\in{\cal P}}\in\mathbb{C}^{{\cal P}}\) \[ \mathbb{E}e^{t.\boldsymbol{Z}}=\sum_{n\geq1}\mathbb{P}(z=n)e^{\beta\sum_{p\in{\cal P}}v_{p}(n)\log p}=\sum_{n\geq1}\frac{\mathbb{P}(z=n)}{n^{\beta}} \] ''Transformé de Fourier'' sur les entiers. Cette transformé se comporte correctement vis à vis de la convolution de Dirichlet de la mème manière que la transformé de Fourier vis à vis de la convolution dans \(\mathbb{R}^{n}\). \[ \sum_{n\geq1}\frac{\mathbb{P}(z=n)}{n^{\beta}}=\left(\sum_{n\geq1}\frac{\mathbb{P}(x=n)}{n^{\beta}}\right)\left(\sum_{n\geq1}\frac{\mathbb{P}(y=n)}{n^{\beta}}\right) \] Plus généralement \[ h=f\star g\quad\Rightarrow\quad\sum_{n\geq1}\frac{h(n)}{n^{\beta}}=\left(\sum_{n\geq1}\frac{f(n)}{n^{\beta}}\right)\left(\sum_{n\geq1}\frac{g(n)}{n^{\beta}}\right) \] Je termine ce post par une remarque : Tout ce que a été fait ici utilise la décomposition en nombre premier mais pas leur valeur particulières. On ne donc pas utiliser ces outils pour estimer la répartition des nombres premiers... à moins d'avoir d'autres moyen d'estimer la fonction \(\zeta\) !