Soit \(A\) et \(B\) deux matrices, la formule de la résolvante est la relation algébrique suivante \[ (A+B)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}B(A+B)^{-1}. \] Elle est également valables si \(A\) et \(B\) sont des opérateurs linéaires sur un espace de dimension infini. Si l'énoncé et la preuve sont élémentaires, cette formule peut se révéler incroyablement utile, en particulier pour faire des développements perturbatifs. On a en effet en réinjectant la formule dans son dernier terme : \[ (A+\epsilon B)^{-1}=A^{-1}-\epsilon A^{-1}BA^{-1}+\epsilon^{2}A^{-1}BA^{-1}B(A+\epsilon B)^{-1} \] et par itération : \[ (A+\epsilon B)^{-1} =A^{-1}-\epsilon A{}^{-1}BA^{-1}+\epsilon^{2}A^{-1}BA^{-1}BA^{-1}-\epsilon^{3}\cdots \] Je donne ici quelques exemples d'applications plus ou moins directe.
Exemple 1: Calcul perturbatif d'une valeur propre.
Soit \(A\) une matrice ayant une valeur propre simple \(l(0)\) et \(B\) une autre matrice. On souhaiterai avoir le développement en série entière en \(t\) de \(l(t)\) la valeur propre de \(A+tB\). On peut utiliser la formule de Cauchy \[ l(t)=\frac{1}{2i\pi}\oint z\text{Tr}[(z-A-tB)^{-1}]dz \] où on intègre sur un petit cercle dans le plan complexe autour de \(\lambda(0)\) et alors \[ \begin{align*} \lambda(t)= & \frac{1}{2i\pi}\oint z\text{Tr}[(z-A)^{-1}]dz\\ & +t\frac{1}{2i\pi}\oint z\text{Tr}(z-A)^{-1}B(z-A)^{-1}]dz\\ & +t^{2}\frac{1}{2i\pi}\oint z\text{Tr}(z-A)^{-1}B(z-A)^{-1}B(z-A)^{-1}]dz+\cdots \end{align*} \] Et il suffit de faire tendre le rayon du cercle vers \(0\) pour obtenir le développement limité souhaité. Par exemple avec \(A\) la matrice diagonal \((\lambda_{0},\lambda_{1},\cdots,\lambda_{n})\), le terme d'ordre 2 est donné par \[ \frac{1}{2i\pi}\sum_{i,j}\oint\frac{zB_{ij}B_{ji}}{(z-\lambda_{i})^{2}(z-\lambda_{j})}dz=\sum_{j}\frac{-\lambda_{j}B_{0j}B_{j0}}{(\lambda_{0}-\lambda_{j})^{2}}+\frac{\lambda_{0}B_{j0}B_{0j}}{(\lambda_{0}-\lambda_{j})^{2}}=\sum_{j}\frac{B_{0j}B_{j0}}{\lambda_{0}-\lambda_{j}}. \]
Exemple 2 : Une variante du principe Huygens Fresnel.
Une source lumineuse en un point \(x\) émet une onde de fréquence \(\omega\) et se propage dans un milieu selon un opérateur \(H\). La lumière F(y) en tout point \(y\) est alors donnée par \[ F(y)=\langle\delta_{y},(H-\omega^{2})^{-1}\delta_{x}\rangle. \] Imaginons que le milieu est composé d'un espace fermé munie d'une ouverture. Dans notre opérateur, \(H=A\) si l'ouverture \(\mathcal{B}\) est fermé et \(A-B\) si l'ouverture est ouverte (\(B\) décrivant l). Lors que l'ouverture est fermée et que \(y\) se trouve à l'extérieur par rapport à \(x\) aucune lumière n'est reçu. Alors la formule de la résolvante lorsque l'ouverture est ouverte \[ F(y)=\langle\delta_{y},(A-B-\omega^{2})^{-1}\delta_{x}\rangle=\int_{z\in\mathcal{B}}\langle\delta_{y},(A-B-\omega^{2})^{-1}\delta_{z}\rangle\langle\delta_{z},B(A-\omega^{2})^{-1}\delta_{x}\rangle dz \] peut s'interpréter ainsi : \flqq{}les points \(z\) de l'ouverture se comportent comme des sources lumineuses secondaires d'intensité et de phase données par la résolvante lorsque l'ouverture est fermée.
Exemple 3 : les diagrammes de Feynman.
C'est très certainement l'exemple le plus célèbre et probablement le plus impressionnant d'utilisation de la théorie de perturbation en physique. L'évolution d'un système quantique est décrit par un Hamiltonien \(H\) et l'équation de Schrödinger \(idf(t)=Hf(t)dt\) qui donne formellement \(exp(-itH)f\)(t=0) où \(\phi_{0}\) est l'état initial du système. Il est intéressant d'en étudier la transformé de Fourier (Laplace) \[ i\int_{0}^{\infty}exp(itE-t/\tau)exp(-itH)f(0)dt=(H-E_{0}+\frac{i}{\tau})^{-1}f(0) \] La recette pour les diagrammes de Feynman est la suivante:
- Le Hamiltonien se décompose en un terme d'évolution libre des particules \(A\) et un terme d'interaction \(\epsilon B\) qui en théorie quantique des champs s'exprime comme la création et l\textquoteright annihilation de particules. On supposera le paramètre \(\epsilon\) petit et on fera le développement perturbatif.
- Pour les calculs on travaillera dans la base de Fourier dans laquelle les termes d'évolutions libre \(A\) est diagonal. Les termes d'interaction sont ponctuels (local), dans la base de Fourier ils s'expriment sous forme d'intégrale.
Exemple 1: On considère une particule de masse \(M\) au repos qui se désintègre en deux particules \(m_{1}\) et \(m_{2}\) de masses plus petites. Le terme d'ordre 1 fait apparait l'élément \[ (A-z_{0})^{-1}c_{k_{1}}^{+}b_{-k_{1}}^{+}a_{0}(A-z_{0})^{-1}f(0) \] avec \(a,b,c\): les opérateurs de création/annihilation des particule \(M\), \(m_{1}\), et \(m_{2}\) d'impultion \(k\). Il se dessine avec le diagramme de Feynman suivant et permet de calculer le taux de désintégration en choisissant \(z_{0}=M+i\xi\).
Exemple 2 : On considère la diffusion de Compton, c'est à dire le choc entre un électron et un photon. La situation initiale \(f(k_{0},p_{0})\) est un photon d'impulsion \(k_{0}\) et un électron d'impulsion \(p_{0}\). Faire le développement à l'ordre \(2\) donne 4 termes mais seuls les termes \[ (A-z_{0})^{-1}a^{+}ac^{+}(A-z_{0})^{-1}a^{+}ac(A-z_{0})^{-1}f_{(k_{0},p_{0})} \] et \[ (A-z_{0})^{-1}a^{+}ac(A-z_{0})^{-1}a^{+}ac^{+}(A-z_{0})^{-1}f_{(k_{0},p_{0})} \] sont pertinents où \(a\) et \(c\) sont des opérateurs de création/annihilation de l'electron et du photon. Ils correspondent aux diagrammes de Feynman suivant
