Analyse et Convergence 2, L2, Math-Info et Math-Physique, Orsay

Un cours d'analyse en L2 qui porte surtout sur la convergence simple et uniforme de fonctions, les série des fonctions, jusqu'au séries de Fourier.

Structure du cours et informations pratiques

CM: il y aura 11 séances de CM de 1h50 (pour environ 20h au total), le mercredi matin de 10h30 à 12h20 en salle 036, bât 336 (sauf exceptions : absences, vacances, report de cours...).
TD: quatre groupes de TD. Les chargés de TD sont Pascal Gamblin, Bernard Heron et Vincent Pecastaing pour les L2 MI (lundi à 9h) et Olivier Bouillot pour les L2 MP (lundi à 15h45). Les séances de TD sont 12 et font 30h au total.
Modalités d'évaluation: examen + partiel + contrôle continu. Le contrôle continu se base sur des tests fait en classe, ainsi que sur la participation. La régularité dans les devoirs maisons est prise en compte dans la participation, alors que leur note est seulement indicative.
Secrétariat: Mme Oliva Carter (MI), Mme Caroline Bois (MP).

Programme des cours et calendrier

Le cours consiste en 11 séances, organisées plus ou moins comme ça (programme susceptible d'être modifié) :
  • 1) (exceptionnellement le lundi 18/1, 15h45-17h35, Amphi Cartan bât 427) Rappels de convergence, notion de suite de fonctions, convergence simple et uniforme
  • 2) (27/1) Exemples de convergence simple vs uniforme, propriétés qui passent à la limite: continuité, valeur de l'intégrale, dérivabilité (dans le cas d'une limite de fonctions C1).
  • 3) (3/2) Critère de Cauchy pour la convergence uniforme. Introduction aux séries de fonctions (rappels de convergence de séries, convergence normale).
  • 4) (10/2) Propriétés des séries uniformement convergentes ; exemple de la fonction exponentielle approchée comme série o comme suite des fonctions ; introduction aux séries entières.
  • 5) (17/2) Rayon de convergence des séries entières (avec formule par limite ou limsup). Dérivées et primitives des séries entières.
  • 6) (2/3) Intégrales dépendant d'un paramètre : continuité et dérivabilité. Cas des intégrales généralisées.
    • Attention : pas de cours le 24/2 (vacances), ni le 9/3 (semaine des partiels)
  • 7) (16/3) Convergence normale d'intégrales généralisées dépendant d'un paramètre. Exemple. discussion du partiel du 10/3.
  • 8) (23/3) Séries et coefficients de Fourier. Expressions trigonométrique et exponentielle. Les coefficients cn tendent vers 0.
  • 9) (30/3) Les coefficients cn et sont suffisants pour identifier une fonction. Décroissance des coefficients cn(f) pour f régulière. Convergence unforme des sommes partielles pour f C2. Théorème de Dirichlet: convergence simple vers (f(x+)+f(x-))/2 si f est C1 par morceaux.
  • 10) (6/4) Méthodes hilbertiennes pour les séries de Fourier: produti scalaire et norme L2, projection orthogonale, inégalité de Bessel et identité de Parseval.
  • 11) (13/4) Exercices : annales (examen 2015), quelques exos de la feuille 5.

    • Poly, feuilles d'exercices, partiel

    Pour le cours, je suivrai plus ou moins les notes relatives aux cours des ans derniers. Le poly sera mis en ligne et distribué prochainement, au fur et à mesure de l'avancement du cours.

    Version finale du poly.

    Feuilles de TD et DM

    Feuille TD 1
    Feuille TD 2
    Feuille TD 3
    Feuille TD 4
    Feuille TD 5

    DM 1 (pour la semaine du 15 février)
    DM 2 (pour le 7 mars; ici le corrigé).

    Partiel

    Sujet et Corrigé du partiel du 10 mars 2016.

    Sujet et Corrigé de l'examen final du 13 mai 2016.

    Annales

    Attention : le prof chargé de ce cours n'était pas le même en 2013/14 ; regarder les sujets des années précédentes est très utile, mais on ne garantit pas que les sujets de cette année suivront le même format.

    Partiel de 2011 avec Corrigé
    Partiel de 2012 avec Corrigé
    Partiel de 2014 avec Corrigé
    Partiel du 11/3/2015 avec Corrigé
    Examen final de 2015.
    Examen de deuxième session de 2015.

    Examen de 2012
    Examen de 2013
    Examen de 2014
    Examen de 2014 (rattrapage)