Équipe pédagogique

• Responsable du cours : Todor Tsankov
• Travaux dirigés :
  • Groupe A : Amandine Escalier
  • Groupe B : Rouchdi Bahloul
  • Groupe C : Todor Tsankov

Avancement du cours

• 11/09 [3h] : Opérations sur un ensemble. Opérations associatives et commutatives. Définition d’un groupe, exemples, règles algébriques de base. Notation multiplicative et additive. Ordre d’un groupe et d’un élément. Le groupe symétrique, définition. Support d’un élément. Permutations de supports disjoints commutent. Cycles. Ordre d’un cycle. Décomposition d’une permutation en cycles disjoints (algorithme sans preuve). Sous-groupes, exemples. Critère pour être un sous-groupe.

• 18/09 [3h] : Groupes cycliques. Générateurs d’un groupe cyclique. Sous-groupes d’un groupe cyclique. Le groupe diédral $D_{2n}$. Définition de $D_{2n}$ comme un sous-groupe de $S_n$. Éléments et ordre du groupe diédral. Définition d’un morphisme de groupes. Isomorphisme, automorphisme. Exemples de groupes isomorphes. Critères simples pour que deux groupes ne soient pas isomorphes. Isomorphisme est une relation d’équivalence.

• 25/09 [3h] : Sous-groupe engendré par un ensemble. Le sous-groupe engendré par $S$ est égal à l’ensemble de produits d’éléments de $S$ et leurs inverses. Classification des groupes cycliques à isomorphisme près. Relations d’équivalence. Fonctions « bien définies » sur les classes d’équivalence. Classes modulo un sous-groupe. Indice d’un sous-groupe. Théorème de Lagrange. L’ordre d’un élément divise l’ordre du groupe. Classification des groupes d’ordre $p$ pour $p$ premier. Corps, définition. Le corps $\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$. Groupes de matrices : $\mathrm{GL}(n, F), \mathrm{SL}(n, F), \mathrm{O}(n), \mathrm{SO}(n)$. Morphismes : image et noyau.

• 02/10 [3h] : Sous-groupes distingués. Conditions équivalentes pour qu’un sous-groupe soit distingué. Quotient d’un groupe par un sous-groupe distingué et structure de groupe sur le quotient. Exemples. Produit de deux sous-groupes, critères pour que ce soit un sous-groupe. Premier théorème d’isomorphisme. Deuxième théorème d’isomorphisme.

• 09/10 [1h30] : Troisième théorème d’isomorphisme. Définition d’un groupe simple. $\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$ est simple. Signature d’une permutation. La signature est un morphisme. Calcul des signatures. Définition du groupe alterné. Définition d’action d’un groupe sur un ensemble.

• 16/10 [1h30] : Action d’un groupe sur un ensemble et le morphisme dans le groupe symétrique associé. Exemples d’actions. Le noyau d’une action et actions fidèles. Stabilisateur et orbite. Identité $|G \cdot a| \cdot |G_a| = |G|$.

• 23/10 [1h30] : Décomposition d’une permutation en cycles disjoints (preuve). Actions transitives. Action $G \curvearrowright G/H$ par translation à gauche. Théorème de Cayley. Action par conjugaison. Centralisateurs et normalisateurs. Équation des classes. Tout groupe d’ordre $p^n$ a un centre non trivial. Classification des groupes d’ordre $p^2$.

• 06/11 [1h30] : Classes de conjugaison dans le groupe symétrique. Description et cardinaux des classes de conjugaison dans $S_5$ et dans $A_5$. Le groupe $A_5$ est simple.

• 13/11 [1h30] : $p$-groupes, $p$-sous-groupes, sous-groupes de Sylow. Théorème de Sylow.

Programme

• Groupes, premières propriétés, exemples.
• Groupe symétrique. Groupe diédral. Groupes de matrices.
• Groupes cycliques et abéliens.
• Sous-groupes, classes modulo un sous-groupe. Théorème de Lagrange.
• Morphismes et quotients, sous-groupes distingués. Les théorèmes d’isomorphisme.
• Actions d’un groupe. Orbites et stabilisateurs.
• Action par conjugaison. Centralisateurs et normalisateurs.
• Théorèmes de Sylow.
• Produits semi-directs.

Calendrier

• 11/09, 18/09, 25/09, 02/10 : cours 8h–11h15
• 09/10, 16/10, 23/10, 06/11, 13/11, 20/11, 27/11, 04/12 : cours 9h45–11h15
• Contrôle partiel : 13/11 8h–9h30 Sujet Corrigé

Modalités de contrôle

• Contrôle partiel et Contrôle terminal
• Note finale = MAX(CT, 0.49$\times$CP+0.51$\times$CT)

Feuilles de TD

• Feuille 1
• Feuille 2
  
• Feuille 3
  
• Feuille 4

Contrôles des années antérieures

• 2023 Partiel Corrigé
• 2022 Partiel

Bibliographie

• Itaï Ben Yaacov, Cours de groupes, Polycopié (pdf).
• David Dummit et Richard Foote, Abstract algebra, John Wiley & Sons.
• Felix Ulmer, Théorie des groupes, Ellipses.
• Daniel Perrin, Cours d’algèbre, Ellipses.