Séminaire de Théorie des Nombres et Combinatoire




Exposés de la saison 2006/2007


  • Lundi 2 juillet 2007 Résumé. MacMahon's Master Theorem is a classical combinatorial result celebrated by its applications to binomial identities. In this talk I will give an introduction to the subject, present an algebraic and a direct bijective proof of the theorem. Then I will also discuss several recent extensions of the Master Theorem.


  • Mardi 19 juin 2007
  • Vendredi 15 juin 2007
  • Mardi 12 juin 2007 Résumé. Répondant à une conjecture d'Erdös , Montgomery et Vaughan ont estimé les moments centrés du nombre d'entiers premiers à un entier q dans un intervalle de longueur donnée. Nous précisons leurs estimations dans le cas où q ne possède pas de petit facteur premier, soulevant des problèmes de probabilités finies et d'analyse combinatoire.


  • Mardi 5 juin 2007
  • Mardi 29 mai 2007 Résumé. Dans cet exposé, on parlera d'automates acceptant des mots indicés par des ordres linéaires. Ces automates sont des objets simples, qui généralisent de faon naturelle les automates sur les mots finis, les mots infinis, les mots bi-infinis et les mots indicés par des ordinaux. Les langages de mots acceptés par ces automates sont aussi les langages décrits par des opérations rationnelles bien choisies (Théorème à la Kleene). Celles-ci généralisent les opérations rationnelles connues pour les mots finis. On parlera aussi du problème de la complémentation de ces ensembles de mots ainsi que des liens avec la logique.


  • Mardi 24 avril 2007 Résumé. En combinant l'approche de Goldston-Yildirim sur les corrélations triples de la fonction de Von Mangoldt tronquée avec la méthode de la matrice de Maier, on démontre que pour tout entier $r \ge 1$ on a $$ \liminf_{n\to +\infty} (p_{n+r} - p_n)/\log p_n \le e^{-\gamma} (r - \sqrt{r}/2), $$ où $p_n$ est le $n$-ième nombre premier et $\gamma$ la constante d'Euler.


  • Mardi 17 avril 2007 Résumé. On montrera comment on en est venu à considérer une description cogébrique des graphes orientés pondérés puis à envisager les pavages cogébriques des $(n^2,1)$ - graphes de de Bruijn. On indiquera une utilisation en combinatoire des mots. Ces pavages nous entrainent vers la notion d'amas associatifs, c'est-à-dire des produits associatifs vus comme somme de plusieurs autres. Avec d'autres exemples, ceci nous amenera à considérer des structures discrètes comme objets libres d'un type d'algèbres à définir. En utilisant la théorie des opérades, on montrera comment concrétiser cette idée en associant aux arbres planaires $m$-aires des opérades. On présentera les opérades duales, reliées aux nombres tetrahédriques et aux polynômes homogènes sur $n$ indéterminées commutatives. On concluera par la présentation d'opérades associées à des structures discrètes inconnues mais dont les duales sont reliées aux nombres polygonaux.


  • Mardi 3 avril 2007 Résumé. Dans cet exposé, nous considérons un entier n impair et nous nous intéressons à la répartition des sommes +-1+-2...-+i...+-(n-1)/2, ou tous les élements i inversibles de 1 à (n-1)/2 sont représentés. Le résultat principal montre que ces 2^{\phi(n)/2} sommes sont équiréparties modulo n. Le problème, qui combine des notions additives et multiplicatives, est de nature combinatoire. La preuve fait appel à des notions variées de théorie algébrique des nombres (structure multiplicative des groupes cycliques, anneau des entiers d'un corps cyclotomique) et en particulier aux propriétés élémentaires des sommes de Ramanujan, que nous présenterons.


  • Mardi 27 mars 2007 Résumé. Dans cet exposé, on s'intéresse à une classe générale de fonctions L ayant des propriétés similaires à celles des fonctions zêta classiques. Dans ce cadre, nous donnons une formulation du critère de positivité de Weil pour l'hypothèse de Riemann en terme de positivité d'une certaine suite facile à calculer.


  • Venderedi 23 mars 2007 à 12h Résumé. 2-énumérations de demi-matrices à signes alternants et (-1)-énumérations des partitions planes auto-complémentaires peut être exprimées par des énumérations des couplages parfaits. Il est possible de prouver des formules explicites en utilisant des manipulations des graphes et de la méthode Hafnienne-Pfaffienne, qui exprime l'énumeration des couplages parfaits par un Pfaffien.


  • Mardi 20 mars 2007
  • Mardi 13 mars 2007 Résumé. Nous donnerons un aperçu des applications de la théorie des représentations du groupe symétrique en combinatoire énumérative. Notre approche est motivée par l'inégalité de Turan-Kubilius.


  • Mardi 6 mars 2007 à 11h45
  • Mardi 6 mars 2007 à 10h30 Résumé. On peut définir de façon standard un système de numération en utilisant une base non-entière. On peut alors généraliser le cadre arithmétique traditionnel en introduisant les notions d'entiers, de décimaux et de rationnels dans la base choisie. Pour certaines bases de numération, l'étude des entiers en base beta fait apparaître des structures discrètes vérifiant de fortes propriétés de régularité. Nous nous intéresserons à caractériser ces propriétés, ainsi qu'à détailler les nombreux liens faisant interagir les cadres arithmétique, géométrique et combinatoire associés à ces systèmes de numération.


  • Mardi 27 février 2007 Résumé. Dans cet exposé nous donnerons un aperçu de la théorie générale des fonctions zêta multivariées à une ou plusieurs variables. Nous montrerons par des exemples comment ces fonctions zêta ont permis de résoudre plusieurs problèmes de comptage provenant de l'arithmétique, de la géométrie arithmétique.


  • Mardi 13 fevrier 2007 à 12h
  • Mardi 13 fevrier 2007 à 10h30 Résumé. Les fonctions J_{\lambda,k,i}(a_1,a_2,...a_{\lambda};x;q) qu'Andrews a développées dans les années 60 ont été utilisées dans de nombreuses études pour prouver des identités de partitions. Par contre jusque récemment ces fonctions ont été peu comprises d'une manière générale (sauf quand lambda = 0). Nous allons discuter le cas lambda = 2 et donner quatre interpretations combinatoires de J_{2,k,i}(a_1,a_2;1;q), trois en termes de paires d'overpartitions et une en termes de chemins.


  • Mardi 6 fevrier 2007 Résumé. Nous étudions la famille infinie des courbes elliptiques associées aux ``simplest quartic fields''. Si le rang de telles courbes vaut 1, nous déterminons la structure complète du groupe de Mordell-Weil et nous trouvons tous les points entiers sur le modèle original de la courbe. Notons toutefois que nous ne sommes pas capables de les trouver sur le modèle de Weierstrass quand le paramètre est pair. Nous obtenons également des résultats similaires pour une sous-famille infinie de courbes de rang 2.


  • Mardi 30 janvier 2007
  • Mardi 23 janvier 2007 Résumé. Soit F(x,y) un polynôme irréductible sur Q tel que F(0,0) = 0 et dF/dy(0,0) est non nul. En 1979, Sprindzhuk a démontré que F(p,y) est irréductible sur Q pour presque tout premier p. Nous proposons une démonstration très simple de ce théorème, ainsi que d'un théorème plus général, aussi dû à Sprindzhuk. Il s'agit d'un travail commun avec D. Masser.


  • Mardi 16 janvier 2007
  • Jeudi 11 janvier 2007
  • Mardi 9 janvier 2007
  • Mardi 19 décembre 2006 Résumé. Dans cet exposé, nous regardons quelques fonctions spéciales q-analogues avec un point de vue équationnel : non seulement nous nous intéressons à l'aspect combinatoire de chaque objet considéré mais surtout à son aspect analytique. Les fonctions abordées contiennent notamment la fonction q-Bessel de Jacobson et une fonction entière de Ramanujan.


  • Vendredi 15 décembre 2006 (à 9h salle 112) Résumé. We extend Gansner and Saks' result on the generic Jordan types of nilpotent matrices whose nonzero entries are allowed only in selected positions to those having additional symmetry and skewsymmetry constraints designated by an oriented graph with partial arrow-reversing fixed-point-free involution. We consider two kinds of such constraints. Prototypical examples arise from Trapa's bijection for the generalized Steinberg variety for the symmetric space GL/Sp, and a similar bijection based on another variety related the same symmetric space considered in the speaker's earlier paper.


  • Mardi 12 décembre 2006 Résumé.


  • Mardi 5 décembre 2006 Résumé. On prolonge certains résultats existant sur les permutations ordinaires aux permutations signées, plus généralement aux mots signés. La statistique de base pour les permutations signées est fmaj (flag-major index), introduite par Adin et Roichman en 2001. Dans cet exposé on va définir d'autres statistiques sur les permutations signées et calculer les fonctions génératrices des statistiques multi-variées.


  • Mardi 28 novembre 2006 Résumé. Soit q un nombre entier fixé supérieur ou égal à 2. L'objet de cet exposé est de présenter la notion de suite de nombres entiers engendrée par un q-automate infini. L'étude des propriétés statistiques, combinatoires et arithmétiques de ces suites constitue un large champs de recherche et conduit à de nombreuses questions difficiles. Nous nous proposons de présenter des premiers résultats obtenus dans cette direction ainsi que plusieurs problèmes ouverts.


  • Mardi 21 novembre 2006 Résumé. We present natural q-analogues of certain mathematical constants: pi, values of the Riemann zeta function at positive integers and values of the logarithmic function. The q-series so defined give rise to several analytic and arithmetic problems. We indicate recent and new results on linear and algebraic independence of the q-series and their values at rational points. If time allows, we also discuss a problem of q-extending the model of multiple zeta values.


  • Mardi 14 novembre 2006 (10h30)
  • Mardi 14 novembre 2006 (11h45)
  • Mardi 7 novembre 2006
  • Mardi 24 octobre 2006 Résumé. We use random matrix theory to give heuristics for the moments of L-values of elliptic curves, and via a BSD-based discretisation proceed to estimate the number of elliptic curves (up to X) with rank 2. We discuss the difference between various ways of ordering the elliptic curves, and present some computational data related the heuristics we derive


  • Mardi 17 octobre 2006 Résumé. Dans cet exposé, nous nous intéresserons aux extensions galoisiennes de corps de nombres ayant pour groupe de Galois un pro-p-groupe. Après avoir fait un rappel sur la notion de ramification pour une extension de corps de nombres, nous montrerons comment celle-ci conditionne la structure du pro-p-groupe en jeu. En particulier, nous ferons ressortir diverses conjectures (Leopoldt, Fontaine-Mazur,...)


  • Mardi 3 octobre 2006
  • Mardi 26 septembre 2006