Cours de l'école doctorale proposés pour l'année 2008/2009


Si vous etes interessés, veuillez directement contacter l'enseignant.


Semestre d'automne


  • Géométrie Complexe. Jean-Claude Sikorav (UMPA).

  • Salle A1 à l'ENS Lyon le jeudi de 15h 45 à 17h45. Début 2 octobre.

  • Espaces de Pavages : structure et applications. Eric Rémila (LIP, St. Etienne).

  • Salle B1 à l'ENS Lyon le mardi de 14h 00 à 16h00. Début 23 septembre.

    Ce cours est accessible à tout étudiant ayant une culture de base en algorithmique et en algèbre. Le but du cours est de mettre en exergue les structures des espaces de pavages, et d'utiliser ces propriétés structurelles à des fins algorithmiques: construction de pavages, génération exhaustive ou aléatoire, calcul de distances. Pour ce faire, on utilisera des outils algébriques et combinatoires
    Plan succint :
    Pavages d'une figure finie par des dominos.
  • Notion de hauteur
  • Structure de treillis distributif
  • Algorithme de calcul du pavage minimal
  • Distance entre pavages
  • Génération aléatoire rapide
  • Pavages d'une figure finie par des barres
  • Groupe de pavage et hauteur
  • Algorithme de calcul du pavage minimal
  • Distance entre pavages
  • Extensions de la méthode.
  • Pavages par des rhomboèdres
  • Dimension 2
  • Codimension 1
  • Codimension 2


  • Sur la théorie et l'approximation des équations cinétiques. Francis Filbet (ICJ).

  • Résumé : Ce cours est consacré à l'étude des équations cinétiques que l'on rencontre dans de nombreux domaine en physique des plasmas, astrophysique, dynamique des gaz ou plus récemment en biologie. 
    Dans un premier temps il s'agira de présenter différents modèles classiques comme les équations de Vlasov couplée avec Poisson ou le système de Maxwell, l'équation de Boltzmann ou de Landau pour décrire les collisions. J'aborderai le problème de modélisation comme par exemple la limite du nombre de particules qui tend vers l'infini.
    J'aborderai  le problème de l'existence  de solutions faibles. Il s'agit de présenter la théorie initiée par R. DiPerna & P.-L. Lions dans les années 90  pour l'existence de solutions faibles et de solutions renormalisées. Je détaillerai le cas du système  de Vlasov-Poisson et de Vlasov-Maxwell.
    Ensuite, il s'agit de démontrer l'unicité et de s'interesser au comportement qualitatif des solutions. Un exemple du système de Vlasov-Poisson avec des conditions aux limites d'injection sera détaillé. Plus précisément, je montrerai l'existence et l'unicité de trajectoires, et le développement de discontinuités dans l'espace des phases. Par la suite, je m'interesserai à l'approximation de ce système par la méthode de volumes finis et l'étude de convergence de cette méthode.
    Enfin d'autres problèmes tenant compte des collisions entre les particules via l'opérateur de Boltzmann sera étudié.


    Semestre de printemps


  • Théorie descriptive d'ensemble. Julien Melleray (ICJ).

  • Salle 102 du batiment Forel, la Doua, le vendredi de 10h à 12h, début le 13 février.

    L'objectif du début du cours est de fournir une introduction aux notions de base de la théorie des ensembles (ordinaux, cardinaux, récurrence transfinie), ainsi que de discuter un peu de l'axiome du choix et de ses conséquences. Ensuite on passera à la théorie descriptive des ensembles proprement dite; celle-ci pourrait être définie comme l'étude des ensembles et fonctions définissables dans les espaces polonais (=séparables complètement métrisables). Une des pierres angulaires de cette théorie est le théorème de Baire, qu'on rappellera et dont on présentera des exemples typiques d'application (inversion de quantificateurs, preuves d'existence). Ensuite on développera les bases de la théorie descriptive classique (propriété de Baire, théorèmes de séparation et d'uniformisation), qu'on essaiera d'éclairer autant que possible à travers des exemples d'actions et morphismes de groupes, ainsi qu'en expliquant un peu la dualité mesure/catégorie.
    Les prérequis pour ce cours sont des rudiments d'algèbre (groupes et actions) et de topologie métrique (tous les espaces topologiques qu'on considèrera seront métrisables et séparables, mais on s'autorisera à considérer différentes distances compatibles avec la topologie!)

  • Permutations aléatoires et matrices aléatoires. Alice Guionnet (UMPA).

  • Salle 425 à l'ENS Lyon le jeudi de 10h 00 à 12h00. Début 15 janvier.

    Résumé : L'\'etude des matrices al\'eatoires et des permutations al\'eatoires s'est rapidement d\'evelopp\'ee durant les quinze derni\`eres ann\'ees. Pour certains mod\`eles, incluant les matrices al\'eatoires d'entr\'ees gaussiennes (resp. les permutations al\'eatoires dont la distribution est la mesure de Plancherel), on connait maintenant le comportement global et local des valeurs propres (respectivement des hauteurs des tableaux de Young associ\'es aux permutations). Le but de ce cours sera d'explorer ces r\'esultats et leurs preuves et en particulier de montrer que les fluctuations des plus grandes valeurs propres des matrices al\'eatoires sont du m\^eme type que celles des plus grandes colonnes des tableaux de Young.
    Nous verrons en chemin des notions plus basiques telles que le ph\'enom\`ene de concentration de la mesure, les grandes d\'eviations, et les lois determinantales. Ce cours ne necessitera pas de pre-requis.
    Bibliographie: Sur les matrices al\'eatoires; livre de Mehta (Random Matrices), livre en cours ecrit en collaboration avec G. Anderson et O. Zeitouni (me demander le fichier pdf). Sur les permutations al\'eatoires; articles de Okounkov, Kerov et Vershik (sur arxiv)

  • Géométrie symplectique et homologie de Floer. Francois Lalonde (UMPA et Université de Montréal).

  • Salle 435 à l'ENS Lyon. La prochaine rencontre aura lieu le vendredi 13 février à 13h00 et tous les cours suivants auront lieu le mardi à 12h45. Il n'y a pas de cours la semaine du 16 février (semaine de vacances).

    Résumé : Les variétés symplectiques peuvent être conçues comme généralisation utile des fibrés cotangents, c'est-à-dire des espaces dans lesquels la mécanique hamiltonienne a lieu, mais également comme généralisation des variétés projectives complexes. Cette dualité entre dynamique et géométrie analytique est particulièrement féconde puisqu'elle agit dans les deux directions: la dynamique permet souvent de construire des invariants géométriques alors que la rigidité des variétés analytiques permet de dévoiler certaines propriétés qualitatives des phénomènes de la dynamique. Aucune théorie n'illustre mieux la fécondité de cette dualité que la théorie de Floer (ou la théorie symplectique des champs qui en est issue).
    Par ailleurs, les techniques utilisées en géométrie symplectique -- par exemple celles qui produisent les invariants associés à ses objets d'étude -- suivent une autre dualité qui distinguent les techniques ``souples'' des techniques ``rigides''. Les premières proviennent de la topologie algébrique ou différentielle ordinaire (le h-principe par exemple) alors que les secondes proviennent des méthodes pseudo-holomorphes (EDP elliptiques) ou de celles que l'on voit en théorie de jauge.
    Or ces deux dualités, la première concernant la nature même de la géométrie symplectique et la seconde, plus accidentelle, concernant le choix des techniques, sont dans une certaine mesure indépendantes. C'est pourquoi il est souvent difficile de prévoir si un nouveau problème de géométrie symplectique qui se présente à nous est souple ou rigide. Cette relative indépendance fait le diversité et la richesse de la géométrie symplectique.
    Voici un aperçu du cours:
    1) Présentation des bases de la géométrie symplectique: définitions des objets, méthode de Moser, formes normales près des sous-variétés symplectiques et lagrangiennes, groupes de difféomorphismes, fibrés symplectiques, diverses notions d'indice tirées de la dynamique et de la géométrie des objets.
    2) Souplesse et rigidité en géométrie symplectique: du h-principe de Smale-Gromov à la rigidité d'Eliashberg. Pourquoi la géométrie symplectique ne peut se réduire à de la topologie différentielle.
    3) Eléments de la théorie de Floer et quelques-unes de ses applications: méthodes pseudo-holomorphes dans les cas les plus simples, relations entre théories de Floer et de Morse, homomorphismes de Seidel absolu et relatif, clusters linéaires (ou complexes de perles), aperçu des clusters généraux. Application au scindement homologique des fibrés hamiltoniens dont Deligne, Kirwan, Atiyah-Bott avaient aperçu les premières manifestations. Applications, aussi simples et directes que possible, à la dynamique.
    Comme je m'attends à ce que ceux qui participeront à ce cours n'aient pas tous les mêmes pré-requis, on tentera de faire un cours à deux vitesses qui ne frêne pas les plus avancés sans pour autant décourager ceux pour qui ce cours représenterait une première initiation à la géométrie et la topologie symplectiques. Une façon pratique d'y arriver serait de consacrer chaque semaine deux heures aux paragraphes (1) et (2) de ce programme, et une troisième heure facultative au paragraphe (3) pour les plus avancés (ou les plus téméraires). Les pré-requis sont ceux que Jean-Claude Sikorav indique pour son cours de géométrie kahlérienne de l'automne. Son cours n'est pas un pré-requis, mais on pourra y faire écho en présentant, si le temps le permet, une version pseudo-holomorphe du théorème de Kodaira, due à Donaldson (sans démonstration, mais avec explication des énoncés et de ce qu'ils impliquent). Les références seront données au premier cours (quelques-unes sont introuvables à la bibliothèque ou sur internet). Si l'on veut, on peut se préparer au cours en lisant les sections pertinentes du livre de McDuff et Salamon relatives à la section (1) du cours.

  • Degré topologique (demi-cours). George Dinca (Université de Bucarest).

  • le mardi 12 mai de 10-12 heures, le mercredi 13 mai de 10-12 heures, le lundi 18 mai de 10-12 heures et de 14-16 heures, le mardi 19 mai de 10-12 heures le mercredi 20 mai de 10-12 heures.
    ICJ, en salle 125.

    Résumé : La première partie du cours est consacrée au degré de Brouwer et à ses applications classiques (théorème antipodal, etc.). Par la suite, nous expliquerons la construction du degré de Leray-Schauder et donnerons des applications aux problèmes de valeurs propres et équations aux dérivées partielles. Un support de cours avec des preuves détaillées sera mis à la disposition du public.

  • Théorie spectrale (demi-cours). Dan Timotin (Institut de Mathématique de l'Académie Roumaine et ICJ).

  • le jeudi 28 mai de 10-12 heures et de 14-16 heures (salle 125), le mercredi 3 juin de 10-12 heures et de 14-16 heures (salle 125), le jeudi 4 juin de 10-12 heures (salle Fokko du Cloux) et de 14 - 16 heures (salle 100).

    Résumé : Le cours présentera les résultats fondamentaux de la théorie spectrale des opérateurs. L'exposé sera plutot élémentaire, sans essayer d'atteindre la plus grande généralité possible et en privilégiant les exemples et applications. On demandera un minimum de prérequis: théorèmes fondamentaux de l'analyse fonctionnelle, un peu d'analyse complexe et de théorie de la mesure.
    Chapitres:
    1. Généralités sur le spectre d'un oprateur linéaire dans un espace de Banach.
    2. Calcul fonctionnel holomorphe (de Dunford et Schwartz).
    3. Spectre d'un opérateur compact sur un espace de Banach et alternative de Fredholm.
    4. Théorie spectrale d'un opérateur autoadjoint sur un espace de Hilbert. Extensions aux normaux, unitaires. Applications.
    5. Opérateurs non bornés sur un espace de Hilbert. Théorie spectrale des autoadjoints non bornés.
    Bibliographie: parmi beaucoup d'ouvrages qui traitent le sujet, je me borne a indiquer deux classiques:
    1. W. Rudin: Functional Analysis.
    2. M. Reed, B. Simon: Methods of Mathematical Physics, vol. I.