Cours de l'école doctorale proposés pour l'année 2008/2009
Si vous etes interessés, veuillez directement contacter l'enseignant.
Semestre d'automne
Géométrie Complexe.
Jean-Claude Sikorav (UMPA).
Salle A1 à l'ENS Lyon le jeudi de 15h 45 à 17h45.
Début 2 octobre.
Espaces de Pavages : structure et applications.
Eric Rémila (LIP, St. Etienne).
Salle B1 à l'ENS Lyon le mardi de 14h 00 à 16h00.
Début 23 septembre.
Ce cours est accessible à tout étudiant ayant une culture de
base en algorithmique et en algèbre.
Le but du cours est de mettre en exergue les structures
des espaces de pavages, et d'utiliser ces propriétés structurelles à des
fins algorithmiques: construction de pavages, génération
exhaustive ou aléatoire, calcul de distances.
Pour ce faire, on utilisera des outils algébriques et combinatoires
Plan succint :
Pavages d'une figure finie par des dominos.
Notion de hauteur
Structure de treillis distributif
Algorithme de calcul du pavage minimal
Distance entre pavages
Génération aléatoire rapide
Pavages d'une figure finie par des barres
Groupe de pavage et hauteur
Algorithme de calcul du pavage minimal
Distance entre pavages
Extensions de la méthode.
Pavages par des rhomboèdres
Dimension 2
Codimension 1
Codimension 2
Sur la théorie et l'approximation des équations cinétiques.
Francis Filbet (ICJ).
Résumé :
Ce cours est consacré à l'étude des équations cinétiques que l'on
rencontre dans de nombreux domaine en physique des plasmas,
astrophysique, dynamique des gaz ou plus récemment en biologie.
Dans un premier temps il s'agira de présenter différents modèles
classiques comme les équations de Vlasov couplée avec Poisson ou le
système de Maxwell, l'équation de Boltzmann ou de Landau pour décrire
les collisions. J'aborderai le problème de modélisation comme par
exemple la limite du nombre de particules qui tend vers l'infini.
J'aborderai le problème de l'existence de solutions faibles. Il
s'agit de présenter la théorie initiée par R. DiPerna & P.-L. Lions
dans les années 90 pour l'existence de solutions faibles et de
solutions renormalisées. Je détaillerai le cas du système de
Vlasov-Poisson et de Vlasov-Maxwell.
Ensuite, il s'agit de démontrer l'unicité et de s'interesser au
comportement qualitatif des solutions. Un exemple du système de
Vlasov-Poisson avec des conditions aux limites d'injection sera
détaillé. Plus précisément, je montrerai l'existence et l'unicité de
trajectoires, et le développement de discontinuités dans l'espace des
phases. Par la suite, je m'interesserai à l'approximation de ce
système par la méthode de volumes finis et l'étude de convergence de
cette méthode.
Enfin d'autres problèmes tenant compte des collisions entre les
particules via l'opérateur de Boltzmann sera étudié.
Semestre de printemps
Théorie descriptive d'ensemble.
Julien Melleray (ICJ).
Salle 102 du batiment Forel, la Doua,
le vendredi de 10h à 12h, début le 13 février.
L'objectif du début du cours est de fournir une introduction aux notions de
base de la théorie des ensembles (ordinaux, cardinaux, récurrence
transfinie), ainsi que de discuter un peu de l'axiome du choix et de ses
conséquences.
Ensuite on passera à la théorie descriptive des ensembles proprement dite;
celle-ci pourrait être définie comme l'étude des ensembles et fonctions
définissables dans les espaces polonais (=séparables complètement
métrisables). Une des pierres angulaires de cette théorie est le théorème de
Baire, qu'on rappellera et dont on présentera des exemples typiques
d'application (inversion de quantificateurs, preuves d'existence). Ensuite
on développera les bases de la théorie descriptive classique (propriété de
Baire, théorèmes de séparation et d'uniformisation), qu'on essaiera
d'éclairer autant que possible à travers des exemples d'actions et
morphismes de groupes, ainsi qu'en expliquant un peu la dualité
mesure/catégorie.
Les prérequis pour ce cours sont des rudiments d'algèbre (groupes et
actions) et de topologie métrique (tous les espaces topologiques qu'on
considèrera seront métrisables et séparables, mais on s'autorisera à
considérer différentes distances compatibles avec la topologie!)
Permutations aléatoires et matrices aléatoires.
Alice Guionnet (UMPA).
Salle 425 à l'ENS Lyon le jeudi de 10h 00 à 12h00.
Début 15 janvier.
Résumé :
L'\'etude des matrices al\'eatoires et des permutations al\'eatoires
s'est rapidement d\'evelopp\'ee durant les quinze derni\`eres ann\'ees.
Pour certains mod\`eles, incluant les matrices al\'eatoires d'entr\'ees
gaussiennes (resp. les permutations al\'eatoires dont la distribution est
la mesure de Plancherel), on connait maintenant le comportement global
et local des valeurs propres (respectivement des
hauteurs des tableaux de Young associ\'es aux permutations).
Le but de ce cours sera d'explorer ces r\'esultats et leurs preuves
et en particulier de montrer que les fluctuations des plus grandes valeurs
propres des matrices al\'eatoires sont du m\^eme type que celles des plus
grandes colonnes des tableaux de Young.
Nous verrons en chemin des notions plus basiques telles que
le ph\'enom\`ene de concentration de la mesure, les grandes d\'eviations,
et les lois determinantales.
Ce cours ne necessitera pas de pre-requis.
Bibliographie: Sur les matrices al\'eatoires; livre de Mehta (Random
Matrices), livre en cours ecrit en collaboration avec G. Anderson et
O. Zeitouni (me demander le fichier pdf).
Sur les permutations al\'eatoires; articles de Okounkov, Kerov et Vershik
(sur arxiv)
Géométrie symplectique et homologie de Floer.
Francois Lalonde (UMPA et Université de Montréal).
Salle 435 à l'ENS Lyon.
La prochaine rencontre aura lieu le
vendredi 13 février à 13h00 et tous les cours suivants auront lieu le
mardi à 12h45. Il n'y a pas de cours la semaine du 16 février
(semaine de vacances).
Résumé :
Les variétés symplectiques peuvent être conçues comme
généralisation utile des fibrés cotangents, c'est-à-dire des
espaces dans lesquels la mécanique hamiltonienne a lieu, mais
également comme généralisation des variétés projectives
complexes. Cette dualité entre dynamique et géométrie analytique
est particulièrement féconde puisqu'elle agit dans les deux
directions: la dynamique permet souvent de construire des invariants
géométriques alors que la rigidité des variétés analytiques permet
de dévoiler certaines propriétés qualitatives des phénomènes de la
dynamique. Aucune théorie n'illustre mieux la fécondité de cette
dualité que la théorie de Floer (ou la théorie symplectique des
champs qui en est issue).
Par ailleurs, les techniques utilisées en géométrie symplectique --
par exemple celles qui produisent les invariants associés à ses
objets d'étude -- suivent une autre dualité qui distinguent les
techniques ``souples'' des techniques ``rigides''. Les premières
proviennent de la topologie algébrique ou différentielle ordinaire
(le h-principe par exemple) alors que les secondes proviennent des
méthodes pseudo-holomorphes (EDP elliptiques) ou de celles que l'on
voit en théorie de jauge.
Or ces deux dualités, la première concernant la nature même de la
géométrie symplectique et la seconde, plus accidentelle, concernant
le choix des techniques, sont dans une certaine mesure indépendantes.
C'est pourquoi il est souvent difficile de prévoir si un nouveau
problème de géométrie symplectique qui se présente à nous est
souple ou rigide. Cette relative indépendance fait le diversité et la
richesse de la géométrie symplectique.
Voici un aperçu du cours:
1) Présentation des bases de la géométrie symplectique: définitions
des objets, méthode de Moser, formes normales près des sous-variétés
symplectiques et lagrangiennes, groupes de difféomorphismes, fibrés
symplectiques, diverses notions d'indice tirées de la dynamique et de la
géométrie des objets.
2) Souplesse et rigidité en géométrie symplectique: du h-principe de
Smale-Gromov à la rigidité d'Eliashberg. Pourquoi la géométrie
symplectique ne peut se réduire à de la topologie différentielle.
3) Eléments de la théorie de Floer et quelques-unes de ses applications:
méthodes pseudo-holomorphes dans les cas les plus simples, relations
entre théories de Floer et de Morse, homomorphismes de Seidel absolu et
relatif, clusters linéaires (ou complexes de perles), aperçu des
clusters généraux. Application au scindement homologique des fibrés
hamiltoniens dont Deligne, Kirwan, Atiyah-Bott avaient aperçu les
premières manifestations. Applications, aussi simples et directes que
possible, à la dynamique.
Comme je m'attends à ce que ceux qui participeront à ce cours n'aient
pas tous les mêmes pré-requis, on tentera de faire un cours à deux
vitesses qui ne frêne pas les plus avancés sans pour autant
décourager ceux pour qui ce cours représenterait une première
initiation à la géométrie et la topologie symplectiques. Une façon
pratique d'y arriver serait de consacrer chaque semaine deux heures aux
paragraphes (1) et (2) de ce programme, et une troisième heure
facultative au paragraphe (3) pour les plus avancés (ou les plus
téméraires).
Les pré-requis sont ceux que Jean-Claude Sikorav indique pour son
cours de géométrie kahlérienne de l'automne. Son cours n'est pas un
pré-requis, mais on pourra y faire écho en présentant, si le temps
le permet, une version pseudo-holomorphe du théorème de Kodaira, due
à Donaldson (sans démonstration, mais avec explication des énoncés
et de ce qu'ils impliquent).
Les références seront données au premier cours (quelques-unes sont
introuvables à la bibliothèque ou sur internet). Si l'on veut, on
peut se préparer au cours en lisant les sections pertinentes du livre
de McDuff et Salamon relatives à la section (1) du cours.
Degré topologique (demi-cours).
George Dinca (Université de Bucarest).
le mardi 12 mai de 10-12 heures,
le mercredi 13 mai de 10-12 heures,
le lundi 18 mai de 10-12 heures et de 14-16 heures,
le mardi 19 mai de 10-12 heures
le mercredi 20 mai de 10-12 heures.
ICJ, en salle 125.
Résumé :
La première partie du cours est consacrée au degré de Brouwer et
à ses applications classiques (théorème antipodal, etc.). Par la
suite, nous expliquerons la construction du degré de Leray-Schauder
et donnerons des applications aux problèmes de valeurs propres et
équations aux dérivées partielles. Un support de cours avec des
preuves détaillées sera mis à la disposition du public.
Théorie spectrale (demi-cours).
Dan Timotin (Institut de Mathématique de l'Académie
Roumaine et ICJ).
le jeudi 28 mai de 10-12 heures et de 14-16 heures (salle 125),
le mercredi 3 juin de 10-12 heures et de 14-16 heures (salle 125),
le jeudi 4 juin de 10-12 heures (salle Fokko du Cloux) et de 14 - 16
heures (salle 100).
Résumé :
Le cours présentera les résultats fondamentaux de la théorie spectrale
des opérateurs. L'exposé sera plutot élémentaire, sans essayer
d'atteindre la plus grande généralité possible et en privilégiant les
exemples et applications. On demandera un minimum de prérequis:
théorèmes fondamentaux de l'analyse fonctionnelle, un peu d'analyse
complexe et de théorie de la mesure.
Chapitres:
1. Généralités sur le spectre d'un oprateur linéaire dans un
espace de Banach.
2. Calcul fonctionnel holomorphe (de Dunford et Schwartz).
3. Spectre d'un opérateur compact sur un espace de Banach et
alternative de Fredholm.
4. Théorie spectrale d'un opérateur autoadjoint sur un espace de
Hilbert. Extensions aux normaux, unitaires. Applications.
5. Opérateurs non bornés sur un espace de Hilbert. Théorie
spectrale des autoadjoints non bornés.
Bibliographie: parmi beaucoup d'ouvrages qui traitent le sujet, je me
borne a indiquer deux classiques:
1. W. Rudin: Functional Analysis.
2. M. Reed, B. Simon: Methods of Mathematical Physics, vol. I.