Référence: Chapitre 5: L Glass, Resetting and entraining biological rhythms, dans A Beuter, L Glass, MC Mackey and MS Titcombe. Nonlinear dynamics in physiology and medicine 25 (2013) Springer.
Fichiers Matlab: resetmap.m et poincare.m.
Soit un système d'EDO qui admet une solution périodique telle que pour toutes condition initiales $x_0$ dans un voisinage, la solution converge vers cette solution. Cette solution est un cycle limite stable, et on dit que le système est un oscillateur. On dénote la période de l'oscillateur (de son cycle limite) par $T_0$. On définit la phase $\phi$ comme la paramétrisation en temps du cycle limite, avec $x(\phi = 0) = x_0$ un point prédéfini sur le cycle limite, et $\phi = \frac{2\pi}{T_0} t \; (\mathrm{mod} 2 \pi)$. Pour chaque point $x(t)$ appartenant au cycle limite, on peut associer une phase $\phi$ unique telle que $x(t) = x(\phi)$. L'ensemble de toutes conditions initiales dont les trajectoires convergent vers le cycle limite est le bassin d'attraction du cycle limite.
Soit $x(t)$ un point sur le cycle limite avec une phase $\phi$ en $t=0$ ($x(0) = x(\phi)$) et $y(t)$ un point dans le bassin d'attraction du cycle limite. Si $$ \lim_{t \to \infty} || x(t) - y(t) || = 0,$$ alors la phase latente de $y$ à $t=0$ est aussi $\phi$. On dit que $y(t)$ est sur même W-isochrone.
On suppose qu'une perturbation est appliquée à un oscillateur sur le cycle limite en phase $\phi$, de sorte que le système est déplacé en phase latente $g(\phi)$. La fonction $g(\phi)$ est appelée courbe de réponse de phase. Si les perturbations déplacent l'oscillateur dans le bassin d'attraction du cycle limite, alors $g$ sera continue. La fonction $g$ est une application du cercle dans le cercle. La courbe de réponse de phase est caractérisée par son indice, le nombre de tours effectué par $g$ quand $\phi$ varie de 0 à $2\pi$.
Pour des pertubations faibles $g(\phi)$ est proche de $\phi$ et l'indice est 1. Pour des stimuli plus plus fort, l'indice peut être 0. En ce cas, il existe un stimulus intermédiaire qui fait sortir l'oscillateur de son bassin d'attraction
On considère une succession de perturbation avec courbe de réponse de phase $g$, données à intervalles $t_s$. On suppose que l'oscillateur retourne sur le cycle limite assez rapidement entre chaque perturbation. Alors, l'effet des perturbations périodiques est $$\phi_{n+1} = g(\phi_n) + \tau \; (\mathrm{mod} 2\pi),$$ où $\tau = 2\pi t_s/T_0$ est la fréquence des perturbations.
La suite $\phi_n$ est bien définie tant que l'oscillateur ne sort pas de son bassin d'attraction. La suite $\phi_n$ est $p$-périodique si $\phi_p = \phi_0$ pour $p \geq 1$ et $\phi_j \neq \phi_0$ pour $j$ < $p$. Une solution $p$-périodique stable est associée à un verrouillage de phase $p:m$, où l'oscillateur fait $m$ cycles chaque $p$ perturbations.
L'oscillateur de Poincaré est donnée par le système en coordonnées polaires: $$\frac{dr}{dt} = kr(1-r),$$ $$\frac{d\phi}{dt} = 2\pi.$$ Pour $k$ > 0, le rayon $r(t)$ converge toujours vers $r=1$, sauf pour $r(0) = 0$, qui est un point fixe instable.
Pour une perturbation selon l'axe des $x$ de taille $b$, la courbe de réponse de phase est $$g(\phi) = \arccos \frac{\cos \phi + b}{(1+b^2+2b\cos \phi)^{1/2}} \; (\mathrm{mod} 2 \pi).$$
Pour $b \leq 1$, $g$ est différentiable et continue. Une Langue d'Arnold pour verrouillage de phase $p:m$ est l'ensemble des points dans l'espace $(\tau,b)$ pour lesquels le verrouillage est $p:m$.
Retrouvez la courbe de réponse de phase de l'oscillateur de Poincaré. Calculez les frontières de la langue d'Arnold 1:1.
Utilisez resetmap pour calculer les courbes de réponse de phase pour différentes valeurs de $b$.
Testez la périodicité de la période de $\phi$, en utilisant poincare.
Déterminez la dynamique de l'oscillateur de Poincaré dans le plan $(\tau, b)$.