Cours de Master Recherche et de DEA

Cours de Master Recherche intensif comme professeur invité à l'université de Monastir , année 2009-2010 : Introduction aux espaces de Hardy et à la théorie des opérateurs.

Gilles Cassier, chercheur CNRS à l'Institut Camille Jordan.

Cours de Master Recherche 1er semestre, année 2008-2009 : Opérateurs polynomialement bornés sur l'espace de Hilbert.

• Théorèmes de dilatation :

  Le théorème de dilatation de Stinespring, les dilatations de Nagy et de Ando pour les contractions, le relèvement du commutant d'une contraction, le théorème de Berger-Foias-Lebow, la dilatation des représentations complètement positives des groupes topologiques, dilatation et calcul $H^{\infty }$ pour les semi-groupes de contractions, inégalités opératorielles de Harnack et versions fortes de l'inégalité de von Neumann avec des exemples d'applications à l'analyse harmonique.
  
  

• Théorèmes d'extension et applications complètement bornées :

  Les théorèmes d'extension d'Arveson et de Wittstock, critères de similarité à une contraction de Hoolbrook et de Paulsen, critères de similarité à des isométries.
  
  

• Problèmes de similarité :

  Opérateurs de Hankel vectoriel, théorème de Nehari Page, le contre-exemple de Pisier et son théorème de caractérisation des opérateurs de Foguel-Hankel polynomialement bornés, les problèmes de similarité dans les algèbres de von Neumann finies avec la solution d'une conjecture de Kovac.
  
  

• Décompositions canoniques et calcul fonctionnel :

  Description complète du treillis des sous-espaces invariants d'une isométrie, partie complètement non unitaire et opérateurs de défaut pour une contraction, décomposition en partie absolument continue (notation $PB_{abs}(H)$) et en partie singulière d'un opérateur polynomialement borné, le calcul fonctionnel $H^{\infty }$ pour les opérateurs de $PB_{abs}(H)$, les opérateurs de Toeplitz généralisés et leurs applications à l'étude du comportement asymptotique d'un opérateur polynomialement borné.
  
  

• Sous espaces invariants :

  Existence de sous espaces invariants pour les opérateurs polynomialement bornés qui ont un spectre contenant le tore (d'après C. Ambrosie et V. Muller).
  
  

• Principaux ouvrages et travaux utilisés :

  1. Y. A. Abramovich and C. D. Aliprantis, An invitation to operator theory, Academic Press. New York and London, 1972.
  2. C. Ambrosie and V. Muller, Invariant subspaces for polynomially bounded operators, J. Funct. Anal. 213 (2004), 321-345.
  3. C. Badea and G. Cassier, Constained von Neumann inequalities, Advances in Mathematics, 166 (2002), 145-162.
  4. G.~Cassier. Semigroups in finite von Neumann algebras, Operator Theory: Advances and Applications, 104 (2001), 145-162.
  5. G. Cassier, Generalized Toeplitz operators, restrictions to invariant subspaces and similarity problems, J. Operator Theory 53:1 (2005), 49-89.
  6. G.~Cassier and T.~Fack. On power-bounded operators in finite von Neumann algebras, J. Funct. Analysis, vol. 141, $No 1$, 10 octobre 1996, 133-158.
  7. G. Cassier and N. Suciu, Mapping theorems and Harnack ordering for $\rho $-contractions, Indiana Univ. Math. J. , Vol. 55, No 2 (2006), 483-523.
  8. G. Cassier and N. Suciu, Sharpened forms of an inequality of von Neumann for $\rho$-contractions, Mathematica Scandinavica, à paraître, 17 pages.
  9. G. Cassier and Dan Timotin, Power boundedness and similarity to contractions for some perturbations of isometries, J. Math. Anal. Appl. 293 (2004), 160-180.
  10. R. Douglas, Banach algebra techniques in operator theory, Academic Press. New York and London, 1972.
  11. J. B. Garnett, Bounded analytic functions, Academic press, New York, 1964.
  12. B. Sz-Nagy and C. Foias, Analyse harmonique des opérateurs de l'espace de Hilbert, Masson et Akad. Kiado, Paris, 1967.
  13. Vern Paulsen, Completely bounded maps and operator algebras, Cambridge Studies in Advances Mathematics, 2002.
  14. N. Nikolski, Operators, functions and systems: an easy reading, Mathematical survey and Monograhs, vol. 92, 2002.
  15. G. Pisier, A polynomially bounded operator on Hilbert space which is not similar to a contraction, J. Amer. Math. Soc. 10 (1996), 351-369.
  16. G. Pisier, Similarity problems and completely bounded maps, Lecture Notes in Mathematics, 2001.

Cours de Master Recherche 1er semestre, année 2005-2006 : Calcul fonctionnel et applications.

• Introduction à la théorie des opérateurs :

  Rappels sur les notions basiques concernant les opérateurs compacts, opérateurs de Hilbert-Schmidt, opérateurs à trace et dualité de Schatten, calcul fonctionnel classique.
  
  

• Isométries :

  Décomposition de Wold d'une isométrie avec des illustrations au moyen d' exemples, factorisation par rapport au commutant et description complète du treillis des sous-espaces invariants d'une isométrie, applications à la théorie des fonctions (espace de Hardy).
  
  

• Espaces de Hardy :

  Dualité, fonctions intérieures et extérieures, factorisation, théorème de Beurling, théorème de Helson-Szego, exemples d'opérateurs sur les espaces de Hardy (opérateurs deToeplitz et opérateurs de composition).
  
  

• Dilatation et extensions :

  Théorème d'Arveson, dilatation et calcul $H^{\infty }$ pour les semi-groupes de contractions, critères de similarité à une contraction de Hoolbrook et de Paulsen, inégalités opératorielles de Harnack et du type von Neumann avec des exemples d'applications à l'analyse harmonique.
  
  

• Opérateurs polynômialement bornés :

  Calcul fonctionnel $H^{\infty }$ pour les opérateurs polynômialement bornés, étude de l'exemple de Pisier d'opérateur polyômialement borné qui n'est pas similaire à une contraction, existence de sous espaces invariants pour les opérateurs polynômialement bornés qui ont un spectre contenant le tore (d'après C. Ambrosie et V. Müller).
  
  

• Principaux ouvrages et travaux utilisés :

  1. C. Ambrosie and V. Müller, Invariant subspaces for polynomially bounded operators, J. Funct. Anal. 213 (2004), 321-345.
  2. C. Badea and G. Cassier, Constained von Neumann inequalities, Advances in Mathematics, 166 (2002), 145-162.
  3. G. Cassier, Generalized Toeplitz operators, restrictions to invariant subspaces and similarity problems, J. Operator Theory 53:1 (2005),49-89.
  4. G. Cassier and N. Suciu, Mapping theorems and Harnack ordering for rho-contractions, Indiana Univ. Math. J., à paraître.
  5. G. Cassier and Dan Timotin, Power boundedness and similarity to contractions for some perturbations of isometries, J. Math. Anal. Appl. 293 (2004), 160-180.
  6. J. B. Garnett, Bounded analytic functions, Academic press, New York, 1964.
  7. B. Sz-Nagy and C. Foias, Analyse harmonique des opérateurs de l'espace de Hilbert,Masson et Akad. Kiado, Paris, 1967.
  8. Vern Paulsen, Completely bounded maps and operator algebras, Cambridge Studies in Advances Mathematics, 2002.
  9.N. Nikolski, Operators, functions and systems: an easy reading, Mathematical survey and Monograhs, vol. 92, 2002.
  10. G. Pisier, A pollynomially bounded operator on Hilbert space which is not similar to a contraction, J. Amer. Math. Soc. 10 (1997), 351-369.
  11. G. Pisier, Similarity problems and completely bounded maps, Lecture Notes in Mathematics, 1996.

Cours de DEA du 2nd semestre 2000 : Similarité, opérateurs polynomialement bornés et applications.

• Espaces de Hardy :

  Dualié, fonctions intérieures, fonctions extérieures, factorisation, formule de Szëgo, théorème de Beurling, théorème de Frostman, opérateurs de composition, interpolation de Carleson.
  
  

• Similarité :

  Critères de similarité à des opérateurs unitaires. Algèbres d'opérateurs , théorèmes de Stinespring, Averson, Wittstock et Paulsen. Etude d'exemples et applications.
  
  

• Inégalités opératorielles :

  Estimées sur le rayon numérique dun opérateur, inégalité de von Neumann avec des généralisations et des variantes sous contraintes.
  
  

• Opérateurs polynomialement bornés :

  Décomposition en partie absolument continue et en partie singulière. Nouvelles techniques de calcul fonctionnel $H^\infty$ pour les opérateurs polynomialement bornés absolument continus. Applications aux exemples de G. Pisier d'opérateurs polynomialement bornés qui ne sont pas similaires à des contractions. Etude du treillis des sous espaces invariants pour de larges classes d'opérateurs de ce type.
  
  

• Applications :

  Générateur et co-générateur de semi-groupes. Théorie de la dilatation et calcul H pour les semi-groupes. Application du calcul fonctionnel$H^\infty$ aux équations différentielles et au contrôle robuste.

Cours de DEA du 2nd semestre 1999 : Théorie des opérateurs et applications

• Isométries :

  Décomposition de Wold d'une isométrie avec illustration sur des exemples et applications à la théorie des fonctions (espaces de Hardy), factorisation par rapport au commutant d'une isométrie et description complète du treillis des sous-espaces invariants d'une isométrie.
  
  

• Calcul fonctionnel $H^\infty$ pour les opérateurs polynômialement bornés :

  Décomposition de Nagy-Foias d'un opérateur à puissances bornées selon le comportement de ses itérés, inégalité de von Neumann pour les contractions et variantes, partie singulière et absolument continue, construction et application du calcul fonctionnel $H^\infty$.
  
  

• Problème du sous-espace invariant :

  Existence et description des sous-espaces invariants pour les opérateurs à puissances bornées de classe $C_{1,1}$, méthode d'approximation de S. Brown, algèbre duale et application au problème du sous-espace invariant.

Cours de DEA du 2nd semestre 1998 : Théorie des opérateurs et applications

• Introduction à la théorie des opérateurs :

  Notions basiques, opérateurs compacts, opérateurs de Hilbert-Schmidt, opérateurs à trace et dualité de Schatten.
  
  

• Calcul fonctionnel :

  Théorie spectrale, calcul fonctionnel classique et calcul fonctionnel $H^\infty$ de Nagy-Foias pour les contractions.
  
  

• Méthode d'approximation de Brown :

  systèmes fonctionnels, classification et factorisation pour le calcul fonctionnel isométrique, applications au problème du sous-espace invariant, théorème de Bercovici-Chevreau et factorisation spatiale.
  
  

• Résolubilité de systèmes fonctionnels.

Page modifiée le 10 mai 2010