Un vecteur est défini par sa direction, son sens et sa longueur. On le représente par une flèche reliant un point de départ A et un point d'arrivée B, notée .
Un vecteur n'étant défini que par sa direction, son sens et sa longueur, il existe une infinité de flèches qui représentent le même vecteur. Les flèches et représentent le même vecteur si et seulement si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati, lorsque les quatre points sont alignés).
Sur la première figure et sont deux représentants d'un même vecteur u. est le représentant de u d'origine A et le représentant d'origine C.
Le module ou la longueur du vecteur représenté par est la longueur du segment AB.
Pour additionner deux vecteurs on les met bout à bout. Pour additionner les vecteurs u et v de la figure précédente on part du représentant de u, puis on construit le représentant de v dont l'origine est B. La somme de u et v est le vecteur w représenté par .
L'opposé d'un vecteur est le vecteur de même direction mais
de sens opposé.
Si u est le vecteur défini par ,
son opposé est le vecteur -u défini par
.
Retrancher v de u c'est ajouter l'opposé de v à u, c'est-à-dire calculer le vecteur u + (-v) qu'on abrège en u -v.
La troisième figure montre le calcul de u -v .
On peut multiplier un vecteur par un nombre, et le diviser par un nombre non nul.
Multiplier un vecteur par un nombre positif k c'est
conserver son sens et sa direction mais multiplier sa longueur
par k.
Si k est négatif, par exemple k=-3, -3 u est l'opposé de 3 u.
On peut aussi diviser un vecteur par un nombre non nul. Diviser le vecteur u par k c'est le multiplier par 1/k.
Le radian est l'unité la plus utilisée en mathématique et en physique pour la mesure des angles. C'est l'unité du Système international SI.
Soit D et D' deux demi-droites qui se coupent en O et C un cercle de centre O et de rayon R. D et D' rencontrent C en A et B. La mesure, en radian, de l'angle de D vers D' est obtenue en divisant par R la longueur de l'arc de cercle qui va de A à B en tournant dans le sens contraire des aiguilles d'une montre qu'on appelle encore sens trigonométrique ou le sens direct.
Lorsque le point B se déplace sur C en faisant un tour complet de A jusqu'à A, la longueur de l'arc circulaire AB croît de 0 à 2πR et donc la mesure de l'angle α croît de 0 à 2π.
La mesure de l'angle droit, quand B a fait un quart de tour est donc π/2 radians, et la mesure de l'angle plat, après un demi-tour est π radians.
Le degré (°), obtenu en partageant le cercle en 360 secteurs
angulaires égaux, est l'unité la plus utilisée dans la
vie quotidienne. Il est traditionnellement utilisé en
conjonction avec deux sous-unités la minute ('), et
la seconde (''). Un degré est égal à 60' et une minute
à 60''. Le degré est donc égal à 3600''.
La notation en degrés, minutes, secondes était la seule utilisée jusqu'à récemment. On a tendance à la simplifier aujourd'hui en utilisant la notation en degré décimal. La latitude du point zéro des routes de France sur le parvis de Notre-Dame est α = 48° 51' 12.92''. Son écriture en degrés décimaux est α = (48 + 51/60 + 12.92/3600)° = 48.853589°.
La mesure en radians du tour complet du cercle est 2π rad, sa mesure en degrés est 360°. On en déduit l'équivalence un radian = (360/2π)° ≈ 57.2958°.
Remarque. Pour la navigation, aérienne ou maritime, l'orientation du cercle est le sens horaire, c'est-à-dire le sens des aiguilles d'une montre. Le marin ou le pilote qui se dirige vers l'est dit que sa route, ou son cap, l'angle entre la direction Nord et sa direction, est de 90°. Si on utilise le sens trigonométrique se diriger vers l'est c'est pivoter de -90° en partant du nord.
Si on utilise le sens inverse des aiguilles d'une montre en physique ou en mathématiques c'est probablement parce que c'est dans ce sens que tourne la Terre pour un observateur dressé le long de l'axe des pôles, les pieds au sud et la tête au nord.