Recherche de problèmes au collège avec un logiciel de géométrie dynamique

Fichiers associés

Fiche-élève
Fiche-professeur
Figure Cabri
Figure Geogebra

Présentation

Contenu mathématique

Dans cette activité on traite le problème suivant :

Dans un triangle ABC rectangle en C, M est un point mobile sur l'hypoténuse, H et K sont sur les côtés de l'angle droit et tels que HMKC est un rectangle. On demande de déterminer la position du point M telle que la longueur du segment [HK] soit la plus petite possible.
La résolution s'appuie sur l'isométrie des diagonales d'un rectangle et sur la notion de distance d'un point à une droite. Le point solution est le pied de la hauteur issue de l'angle droit.

Intérêt

Ce problème a les caractéristiques d'un problème ouvert. L'utilisation d'un logiciel de géométrie dynamique permet aux élèves de l'aborder de façon assez ludique, de prendre des initiatives, et tester facilement les constructions.
Le logiciel aide aussi à séparer les différentes étapes de la recherche :

- localisation,
- caractérisation,
- construction,
- justification de la construction.
Le problème permet de donner du sens à la démonstration et le logiciel facilite cette tâche notamment en opposant la notion de figure générique au simple dessin.

Description

Il faut disposer d'une salle équipée d'ordinateurs pour les élèves et d'un ensemble ordinateur et vidéo projecteur pour le professeur. Deux séances d'une heure sont nécessaires.

Les élèves construisent la figure avec un logiciel de géométrie dynamique. Ils déplacent le point M en observant les variations de la longueur HK affichée sur l'écran.
Après être convaincus de l'existence d'un point solution, ils cherchent comment construire ce point et comment le caractériser à l'aide du logiciel et du support papier.
Le travail se termine par l'élaboration d'une démonstration.

Cédérom conçu par Alain Colonna, Maryvonne Le Berre, Béatrice Legoupil, Jean-François Zucchetta — IREM de Lyon