GAFA, Geometric And Functional Analysis, t. 15, p. 453-475, 2005.
Bodo Lass
The N-dimensional matching polynomial
Résumé.
Heilmann et Lieb ont introduit le polynôme de couplage µ(G,x) d'un graphe G = (V,E).
Nous prolongeons leur définition en munissant chaque sommet de G d'une forme linéaire N-dimensionnelle
(ou bien d'un vecteur) et chaque arête d'une forme symétrique bilinéaire.
On attache donc à tout r-couplage de G le produit des formes linéaires des sommets
qui ne sont pas saturés par le couplage, multiplié par le produit des poids des r arêtes du couplage,
où le poids d'une arête est la valeur de sa forme
évaluée sur les deux vecteurs de ses extrémités.
En multipliant par (-1)^r et en sommant sur tous les couplages, nous obtenons notre polynôme de couplage N-dimensionnel.
Si N = 1, le théorème principal de l'article de Heilmann et Lieb affirme
que tous les zéros de µ(G,x) sont réels.
Si N = 2, cependant, nous avons trouvé des graphes exceptionnels où il n'y a aucun zéro réel,
même si chaque arête est munie du produit scalaire canonique.
Toutefois, la théorie de la dualité développée dans [12] reste valable en N dimensions.
Elle donne notamment une nouvelle interprétation à la transformation de Bargmann-Segal,
aux diagrammes de Feynman et aux produits de Wick.
Abstract.
Heilmann and Lieb have introduced the matching polynomial µ(G,x) of a graph G = (V,E).
We extend their definition by associating to every vertex of G an N-dimensional linear form
(or a vector) and to every edge a symmetric bilinear form.
For every r-matching of G we define its weight as the product of the linear forms of the vertices
not covered by the matching, multiplied by the product of the weights of the r edges of the matching,
where the weight of an edge is the value of its form
evaluated at the two vectors of its end points.
Multiplying by (-1)^r and summing over all matchings, we get our N-dimensional matching polynomial.
If N = 1, the Heilmann-Lieb theorem affirms
that all zeroes of µ(G,x) are real.
If N = 2, however, there are exceptional graphs whithout any real zero at all,
even if the canonical scalar product is associated to every edge.
Nevertheless, the duality theory developed in [12] remains valid in N dimensions.
In particular, it brings new light to the Bargmann-Segal transform,
to the Feynman diagrams, and to the Wick products.
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