Analyse de formes en anatomie numérique via des distributions généralisées.

Résumé : Cet exposé a pour but de motiver l'intérêt des représentations et outils de la théorie géometrique de la mesure (courants, varifolds...) pour l'étude de variations morphologiques dans le domaine de l'anatomie numérique. On s'intéressera en particulier au modèle général des varifolds orientés sur des espaces de fonctions test a noyau et des métriques sur l'ensemble des courbes et surfaces qui en résultent. On verra ensuite quelques exemples d'utilisation de ces métriques pour des problèmes de classification de formes et de recalage difféomorphe.

À propos de la conjecture de Kelvin : une approche par goutte-à-goutte

Résumé : Nous proposons un modèle pour décrire l'évolution d'une partition selon le flot de courbure moyenne (minimisation du périmètre) sous contrainte de volume. Chaque région de la partition est représentée par une fonction champ de phase dont l'évolution est décrite par l'équation d'Allen-Cahn.
Afin de traiter un grand nombre de régions sur des domaines haute résolution, nous proposerons une stratégie de stockage creux qui se focalise sur les valeurs significatives. Nous montrerons que les modèles champ de phase classiques sont inefficaces dans ce contexte à cause de termes non-locaux et d'un faible taux de convergence. Nous décrirons alors un nouveau modèle champde phase adapté à notre stratégie de stockage.
Afin d'illustrer notre approche, nous nous intéresserons au problème de Kelvin qui concerne l'étude des partitions de R^d par des régions de volume identique et de surface minimale. Nous tenterons de retrouver certaines solutions connues ou nouvelles en partant de bruit aléatoire.

Équations d’agrégation

Résumé : Les équations d’agrégation sont des EDP non linéaires de type transport où la vitesse dépend globalement de la solution : elle s'exprime comme la convolution d'un noyau donné et de cette solution. La particularité, et la principale source des difficultés mathématiques et numériques de ces équations, est l'apparition de masses de Dirac.
Dans cette présentation, on s'intéresse à l'étude de schémas 1D pour la simulation de ces équations. On regarde tout d'abord le cas d'un schéma upwind pour lequel on montre que l'on a convergence à condition de ne pas calculer, comme habituellement, la vitesse aux interfaces. Pour ce schéma, on présente des résultats numériques sur son extension au cas 2D sur maillage non cartésien. On propose dans un deuxième temps un schéma 1D d'ordre 2 pour lequel on vérifie la positivité.

Hystérésis pour le modèle de Landau-Lifshitz

Résumé : Des "effets mémoire" sont observés sur l'aimantation des matériaux ferromagnétiques lorsqu'un champ magnétique extérieur dépendant du temps leur est appliqué. L'aimantation de tels matériaux est décrite par l'équation de Landau-Lifshitz. Dans un travail en collaboration avec Eric Dumas et Stéphane Labbé, nous montrons que ces phénomènes d'hystérésis peuvent être obtenus via un modèle de Landau-Lifshitz à deux échelles de temps (le champ extérieur variant lentement).

Modélisation mathématique de la coagulation sanguine

Résumé : Je vais considérer quelques modèles mathématiques pour la formation de caillots dans les vaisseaux sanguins due aux réactions biochimiques de la cascade de coagulation. La dynamique de la formation de caillots est déterminée par la distribution de la concentration dans le plasma d'une enzyme thrombine. La propagation de la thrombine depuis le site endommagé à vitesse constante peut être décrite par une onde de réaction-diffusion. Nous dérivons analytiquement les conditions d’existence de ce type de solutions et étudions leur stabilité et leur vitesse de propagation. Puis on considère les conditions de convergence de solutions du modèle présenté vers les solutions en ondes et on montre l’existence de solutions en pulse du système stationnaire déterminant la valeur critique des condition initiales.

Utilisation de prédicteurs sinusoïdaux pour la simulation temporelle de systèmes électriques en courant alternatif

Résumé : RTE, l’entreprise de service public en charge de la gestion et de l’exploitation du réseau de transport d’électricité, réalise de nombreuses simulations temporelles du système électrique afin d’en étudier le comportement dynamique et notamment d’inférer sur sa stabilité, par exemple suite à la perte d’un ouvrage.
La difficulté est alors que la fréquence d’oscillation (par ex. 50 Hz pour l’Europe continentale) de certaines grandeurs simulées, telles que les courants et tensions triphasés, limite fortement le pas de calcul et ainsi les performances des schémas d’intégration numérique.
Afin de remédier à cela, des méthodes telles que les phaseurs dynamiques et la simulation hybride existent mais consistent généralement à réécrire les équations modélisant le système électrique à simuler, à partir d’hypothèses fortes sur la forme ou la dynamique de la solution, ce qui restreint évidemment la généralité des résultats produits dans la mesure où le problème ainsi réécrit n’est plus strictement équivalent au problème original.
Au contraire, la méthode que nous proposons, dite des "prédicteurs sinusoïdaux", vise à accélérer ces simulations par le biais du solveur. L’idée est alors de décomposer la solution en deux parties : une composante oscillante à 50 Hz, que l’on met à jour par estimation paramétrique, et un terme de correction, sur lequel on réécrit les équations et qui est intégré à l’aide d’une méthode de type prédicteur-correcteur à pas adaptatif. Sur nos premiers cas tests, cette approche nous permet d’obtenir des facteurs de gains de performances, aussi bien en termes de nombre d’itérations que de temps CPU, allant de 10 à 50.

Analyse asymptotique d'un processus de diffusion anormale

Résumé : Je m'intéresse à des équations aux dérivées partielles structurées faisant intervenir des noyaux à queue lourde dans leurs termes de bord en la variable structurelle. Il s'agit de modèles de déplacement sous-diffusif issus de la biologie cellulaire, motivés par de nombreuses observations récentes de protéines cytoplasmiques dont le déplacement aléatoire dévie de la diffusion fickienne normale. Les résultats que j'exposerai ont été obtenus en collaboration avec H. Berry, V. Calvez, P. Gabriel et T. Lepoutre au cours de ma thèse.
En premier lieu, je présenterai la décroissance auto-similaire de la solution d'une équation de renouvellement à queue lourde vers un état stationnaire. Les idées mises en jeu sont inspirées de méthodes d'entropie relative. Nos principaux apports sont la preuve d'un taux de décroissance en norme L1 vers la loi de l'arc-sinus et l'introduction d'une fonction pivot spécifique dans une méthode d'entropie relative.
Une seconde partie de ma présentation portera sur la limite hyperbolique d'une équation de renouvellement structurée en âge et à sauts en espace. Nous y prouvons que les solutions des problèmes rééchelonnés à eps> 0 convergent lorsque eps->0 vers la solution de viscosité de l'équation de Hamilton-Jacobi limite des problèmes à eps> 0. Les outils mis en jeu proviennent de la théorie des équations de Hamilton-Jacobi. Ce travail présente trois idées intéressantes. La première est celle de prouver le résultat de convergence sur la condition de bord du problème plutôt que d'utiliser des fonctions test perturbées. La deuxième consiste en l'introduction de termes correcteurs logarithmiques en temps dans des estimations a priori ne découlant pas directement du principe du maximum. Cela est dû à la non-existence d'un équilibre du problème homogène en espace. La troisième est une estimation précise de la décroissance de l'influence de la condition initiale sur le terme de renouvellement.
Mots clés : Analyse asymptotique, équations aux dérivées partielles, diffusion anormale, équations structurées, entropie relative, équations de Hamilton-Jacobi, sous-diffusion en biologie cellulaire

Un schéma numérique pour une modélisation cinétique de phénomènes de propagation

Résumé : La propagation de bactéries E. coli peut être modélisée par une équation cinétique, prise dans un scaling hyperbolique pour faire apparaître un phénomène de transport. En utilisant une transformation de Hopf-Cole pour mettre en évidence la propagation de fronts, on peut montrer que le régime asymptotique est gouverné par une équation de Hamilton-Jacobi. L'analyse numérique des équations cinétiques est compliquée par l'apparition de termes raides lorsqu'on s'approche des régimes asymptotiques. Les schémas Asymptotic Preserving (AP) permettent de s'affranchir de ces problèmes, puisqu'ils assurent la stabilité du schéma le long de la transition vers les régimes asymptotiques.
Après avoir rappelé brièvement le modèle et les particularités de l'asymptotique considérée, je présenterai la construction d'un schéma AP pour ce cadre dans lequel le problème considéré est non-linéaire.