Institut Camille Jordan -- MMCS |
Université Jean-Monnet
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Université de Lyon (UCBL - UJM - INSA Lyon - ECL)
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CNRS
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Résumés
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Discrétisation sur maillages anisotropes de problèmes aux limites We present a methodology for generating meshes minimizing the interpolation and discretization errors or their gradients. The key element of this methodology is construction of a space metric from edge-based error estimates. For a mesh with N_h triangles, the error is proportional to N_h^(-1) and the gradient of error is proportional to N_h^{-1/2} which are the optimal asymptotics. The methodology is verified with numerical experiments. Sylvie Benzoni-Gavage Ondes de surface faiblement non-linéaires Les problèmes aux limites découlant d'un principe variationnel sont connus pour admettre «génériquement» des ondes de surface. C'est le cas par exemple pour le mouvement des matériaux élastiques à surface libre, comme la Terre lorsqu'elle est secouée par les ondes sismiques. La théorie linéaire des ondes de surface élastiques remonte à un travail de Rayleigh publié en 1885. Un siècle plus tard, les mécaniciens se sont intéressés aux effets non-linéaires sur ces ondes, aujourd'hui utilisées dans certains dispositifs électromécaniques. La propagation des ondes de surface faiblement non- linéaires s'avère être, de façon générale, régie par des équations non-locales en fréquence. L'exposé portera sur l'obtention et l'analyse mathématique de ces équations. Samuel Bernard Condition optimale de stabilité linéaire asymptotique pour les équations différentielles scalaires à retards distribués Les équations différentielles scalaires linéaires à retards distribués apparaissent dans l’étude de la stabilité locale de systèmes non-linéaires avec feedback qui sont courantes en biologie et en physique. Les feedbacks négatifs tendent à promouvoir les oscillations, et leur stabilité dépend de la forme spécifique de la distribution. Dans les applications, le retard moyen est souvent la seule information fiable disponible sur la distribution ; il est donc essentiel de trouver des conditions de stabilité qui sont indépendantes de la forme de la distribution. Nous montrons ici que pour une moyenne de retard fixée r, l’équation avec retards distribués est asymptotiquement stable si l’équation associée avec un retard discret (masse de Dirac en r) est asymptotiquement stable. Nous illustrons ce critère sur un modèle compartimental pour la dynamique de cellules hématopoïétiques pour obtenir des conditions suffisantes pour la stabilité des points fixes. Travail réalisé avec Fabien Crauste. Charles-Édouard Bréhier Approximation de la loi invariante d'EDP Stochastiques La discrétisation par un schéma de type Euler d'une EDP Stochastique parabolique, semilinéaire, introduit une erreur lorsqu'on s'intéresse au comportement en temps long du système (donné par la convergence vers une distribution invariante). Je décrirai comment l'ordre de convergence est relié à la régularité des solutions, et je proposerai un schéma modifié qui permet d'améliorer cet ordre. Vincent Calvez Ondes de concentration de bactéries à l'échelle mésoscopique. Je présenterai un résultat d'existence d'ondes progressives pour un modèle cinétique dédié au mouvement collectif de bactéries. J'expliquerai les motivations pour analyser ces ondes à l'échelle mésoscopique, et les difficultés mathématiques à surmonter. Je donnerai finalement quelques perspectives vers des modèles encore plus réalistes. Marie-Claude Canon-Viallon Un schéma volumes finis dans un domaine géométriquement multi-échelle On étudie un schéma de type volumes finis pour résoudre un problème modèle posé dans un domaine constitué de parties unidimensionnelles et de parties bidimensionnelles. Dans le cas d'un problème modèle linéaire stationnaire ou non, on établit une estimation d'erreur. On compare avec un schéma volumes finis non conforme, où les parties unidimensionnelles sont remplacées par des "grosses" mailles rectangulaires. On présente une méthode de décomposition de domaine adaptée et on fait le lien avec quelques méthodes classiques. Frédéric Chardard Stabilité des ondes solitaires et périodiques de l'équation de Kawahara L'équation de Kawahara est une généralisation de l'équation de Korteweg-de Vries, qui permet notamment de modéliser des ondes de gravité à la surface de l'eau, lorsque la capillarité est du même ordre que la dispersion. Qualitativement, les solutions stationnaires dans un certain référentiel diffèrent de celles de Korteweg-de Vries par le fait qu'elles peuvent avoir des extrémités oscillantes. Dans cet exposé, nous étudierons la stabilité de certaines de ces solutions, et plus particulièrement des ondes périodiques lorsque ces dernières sont proches d'une onde solitaire. Laurence Grammont Une autre manière d'appliquer la méthode de la projection itérée aux équations nonlinéaires de Fredholm de deuxième expèce. Je présenterai un résultat sur l'approximation des opérateurs intégraux non linéaires. Maxime Herda Limite d’électrons de masse nulle pour un plasma magnétisé Dans cet exposé, on considère un modèle cinétique pour un plasma à deux espèces confinées par un champ magnétique extérieur. Les densités suivent des équations de type Vlasov couplées par l’équation de Poisson. Dans notre modèle, les ions sont supposés non-collisionnels tandis qu’un opérateur de Fokker- Planck est pris en compte dans l’équation des électrons. Lorsque le rapport de masse tend vers 0, nous montrons la convergence vers un système fluide-cinétique où la densité macroscopique d’électrons satisfait une équation de dérive-diffusion anisotrope. Colin Mietka Ondes périodiques et leurs modulations dans les EDP dispersives La catégorie des EDP Hamiltoniennes comprend de nombreux modèles de physique mathématique comme les équations de Korteweg-de Vries (KdV) ou de Schrödinger non-linéaire (NLS). Ces équations sont connues pour admettre une grande variété de solutions périodiques et dans le cadre de mon travail de thèse, je m'intéresse à la stabilité de ces ondes périodiques. Je présenterai deux critères de stabilité, l'un modulationnel et l'autre orbital vis à vis de perturbations co-périodiques, tous deux basés sur une seule intégrale d'action qui est fonction des différents paramètres définissant l'onde. Du point de vue des ondes périodiques, cette intégrale d'action est une généralisation du moment d'instabilité de Boussinesq pour l'étude de stabilité orbitale des solitons. Elle est aussi intimement liée aux équations de Whitham, qui régissent l'évolution des paramètres de train d'ondes modulés. Ces deux critères de stabilité peuvent êtres étudiés numériquement sans avoir à résoudre l'EDP initiale ni même l'EDO qui régit le profil des ondes. La validation de la méthode numérique passe par l'étude des deux exemples (KdV) et (NLS) pour lesquels des solutions analytiques sont connues. On appliquera ensuite la méthode à des systèmes non-intégrables. Andro Mikelic Modélisation champ de phase d'une fracture entraînée par un fluide dans un milieu poroélastique Nous présentons un modèle de champ de phase pour une fracture, en milieu poroélastique, entraînée par un fluide. Nous considérons un système entièrement couplé dans lequel le champ de pression est déterminé en même temps que le déplacement de la structure solide et le champ de phase. Au meilleur de notre connaissance, un tel modèle est nouveau dans la littérature. Le modèle mathématique inclut le système de l'élasticité linéaire avec la détérioration des modules élastiques due à la croissance de la fissure, et ce système est couplé avec une inégalité variationnelle elliptique pour la variable champ de phase d'une part et l'équation de pression contenant la variable champ de phase dans ses coefficients d'autre part. La contrainte convexe dans l’inégalité variationnelle assure l'irréversibilité de la formation de fissures. L'inégalité variationnelle pour le champ de phase contient un terme quadratique en pression et la contrainte entropique. On établit l'existence d'une solution au problème incrémental, via la convergence d’une approximation de dimension finie. En outre, nous construisons la fonctionnelle de Lyapunov correspondante, qui est liée à l'énergie libre. Les résultats des calculs sont fournis qui démontrent l'efficacité de cette approche dans le traitement de la propagation de la fracture entraînée par un fluide. Laurent Seppecher Méthodes perturbatives pour certains problèmes inverses mal posés Certaines méthodes d'imagerie médicale nécessitent la résolution d'un problème inverse de type EDP dit "mal posé". Nous verrons comment l'ajout de perturbations mécaniques permet une augmentation significative de la résolution de la reconstruction. Dans le cas idéal où l'objet est mécaniquement homogène, nous verrons que l'utilisation de perturbations contrôlées conduit à une reconstruction stable à haute résolution du paramètre recherché. Nous montrons une stabilité de type Lipschitz sous des hypothèses de régularité minimales et cohérentes avec la modélisation. |
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