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| Magali Mercier Mail : mercier(at)math.univ-lyon1(.)fr |
Un de mes domaines d'intérêt concerne la mécanique des fluides compressibles. Plus précisément, je m'intéresse au temps d'existence des solutions régulières ou régulières par morceaux des équations d'Euler compressibles. Je travaille plus particulièrement sur les gaz de Van der Waals qui ont un comportement plus proche de la réalité que celui des gaz parfaits. J’ai démontré une extension d’un théorème de M. Grassin à des gaz de Van der Waals. J’ai ensuite étudié les solutions ondes de chocs : j’ai poursuivi d’une part l’approche de T. T. Li pour estimer leur temps d’exis- tence dans le cas isentropique à symétrie sphérique, et d’autre part l’approche de Whitham afin d’obtenir une équation approchée vérifiée par la surface de discontinuité. Ces résultats, décrits dans la première partie de ma thèse, font l’objet d’un article accepté pour publication [Global smooth solutions of Euler equations for Van der Waals gases, SIAM Journal of Mathematical Analysis]. Concernant les ondes des choc, la théorie classique des systèmes hyperboliques nous assure de l’existence locale en temps de telles solutions : le but maintenant est d’obtenir des solutions ondes de choc ayant un long temps d’existence dans divers cas particuliers. Je m’intéresse de plus à la stabilité des solutions ondes de choc à symétrie sphérique : si la condition initiale est presque radiale, la solution correspondante reste-t-elle proche d’une solution à symétrie sphérique pour des temps longs ? Une question similaire se pose pour les gouttes ou bulles comme solutions des équations de Euler–Korteweg.
Suite à une collaboration avec Rinaldo M. Colombo lors d’un séjour « pré-doc » à Brescia (Italie), je me suis intéressée aux équations hyperboliques scalaires multidimensionnelles avec terme source. La première question abordée est la stabilité dans L1 des solutions entropiques par rapport aux conditions initiales, au flux et à la source. Les résultats obtenus sont décrits dans la note publiée [Stability estimates on general scalar balance laws, CRASS] et sont prouvés de manière détaillée dans l’article publié [Stability and Total Variation estimates on general scalar balance laws, Comm. in Math. Sc.], obtenus en collaboration avec R. Colombo et M. Rosini. J’ai par la suite amélioré ces estimations, ce qui a fait l’objet d’un article soumis [Improved stability estimates on general scalar balance laws]. En collaboration avec Rinaldo M. Colombo et Michael Herty, j’ai également étudié des équations avec une source non-locale. De telles équations apparaissent par exemple dans un modèle de chaîne de montage et dans un modèle de trafic piéton. Une fois établi le caractère bien posé de ce type d’équations non-locales, nous avons montré dans l’article publié [Control of the continuity equation with a non-local flow, ESAIM-COCV] la différentiabilité au sens de Gâteaux du semi-groupe obtenu par rapport aux conditions initiales, ce qui permet de caractériser les maxima et minima de fonctionnelles de coût sur la solution. En prolongement de cette étude, avec Rinaldo M. Colombo, nous nous sommes intéressées au couplage d’une loi de conservation scalaire à une EDO, ce qui peut modéliser en particulier l’interaction d’un groupe avec un leader ou un prédateur. Ce travail a fait l’objet d’un article soumis [An analytical framework to describe the interactions between individuals and a continuum]. Mes projets de recherche dans ce domaine concernent l’étude du trafic routier ou piéton, la modélisation de différents aspects de trafic routier, de mouvements de foule ou encore d’interaction entre un groupe et un agent isolé (leader ou prédateur). Les questions qui se posent sont : la justification du modèle introduit, éventuellement par des études numériques, l’existence et l’unicité de solutions ainsi que leur comportement en temps long, et enfin la contrôlabilité de ces équations. Par exemple, je voudrais étudier le comportement des foules modélisées par une loi de conservation avec flux non-local. Plus précisément, j’aimerais préciser le temps d’existence de ces solutions (y a-t-il existence globale de solution ? explosion en temps fini ?) et savoir sous quelles conditions le problème à bord peut être traité.
Motivée par la modélisation d’un rond-point en trafic routier, j’ai étudié une extension multi-classe du modèle macroscopique de Lighthill–Whitham–Richards sur une route infinie avec des jonctions. Pour ce nouveau modèle, les véhicules sont différenciés selon leur origine et leur destination, et des conditions aux bord adaptées au niveau des jonctions sont introduites. J’ai montré dans l’article publié [Traffic flow modelling with junctions, JMAA] existence et unicité d’une solution au problème de Riemann pour ce modèle. Des simulations numériques attestent que les solutions obtenues existent en temps long. J’ai enfin abordé le problème de Cauchy par la méthode de front tracking. Désormais, je voudrais modéliser l’impact d’une bretelle d’insertion sur le trafic autoroutier et étudier les solutions en temps long pour un tel modèle. Ceci correspond à un couplage de deux lois de conservation différentes de part et d’autre d’une interface fixe.