Sur le Calcul Formel


Lille, Avril 2005

Le calcul formel dans l'enseignement des mathématiques

A votre disposition le texte d'une conférence.
Et si vous avez le logiciel maple une session sur Quelle théorie de l'intégration ?


Reflexions méthodologiques en Calcul Formel,

Nik Lygeros (IGD), Olivier Marguin (LMD, Université Lyon 1) et Michel Mizony (IGD).
Paru dans Repères, revue des IREM, en janvier 1999.

Résumé :

Nous montrons à partir de quelques exemples en Maple, tirés de notre enseignement ces deux dernières années en DEUG première et deuxième années à l'Université Lyon-I et en Classes Préparatoires (Math. Sup. et Math. Spé.) au Lycée du Parc et à celui de la Martinière-Monplaisir, comment le calcul formel peut s'intégrer dans l'enseignement des mathématiques et comment il peut changer notre rapport à celles-ci. Nous commencons par examiner quelques préjugés courants sur l'utilisation de Maple. Ensuite nous abordons différentes applications élémentaires mais riches en enseignements (nature du tracé d'une courbe et étude de la suite de Fibonacci) en insistant sur la nécessité d'une compréhension du fonctionnement interne d'un calcul formel ("boîte noire" de la factorisation). Puis nous analysons quelques différences fondamentales qui existent sur le plan du lexique entre un langage de bas niveau et un calcul formel.
Enfin nous mettons en évidence, grâce à l'exemple des matrices magiques, l'intérêt heuristique de l'approche formelle. En annexe, nous développons deux exemples plus complexes du point de vue technique, comme un problème de factorisation et la surinterprétation fractale des commentaires de Conway.

Conclusion :

Nous espérons que les quelques exemples traités ci-dessous montreront au lecteur que l'utilisation du calcul formel renouvellera profondément notre rapport à l'enseignement des mathématiques. Bien sûr, ces exemples sont des produits manufacturés qui masquent les nombreux allers-retours entre réflexion théorique et mise en pratique. Comme le calcul formel permet de par son langage une grande interaction entre la programmation et les mathématiques, il remet à l'honneur l'aspect experimental de celles-ci. Mais le calcul formel change aussi nos pratiques de recherche. Pour le lecteur intéressé, nous renvoyons à l'article de M. Mizony : Le calcul formel dans ma pratique d'enseignant et de chercheur. Actes de l'université d'été : "Développer la recherche scientifique à travers l'étude de situations mathématiques", IREM de LYON, juillet 1996.

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L'Enseignement de l'analyse, avec Maple, aux étudiants en mathématiques

C'est le titre de deux communications faites en juin 2000, à Rennes, aux journées d'études : Environnements informatiques de calcul symbolique et apprentissage des mathématiques.

Résumé :

Le but essentiel de cette communication sera d'aborder les problèmes liés à l'utilisation d'un logiciel de calcul formel pour résoudre des problèmes d'analyse mathématique. Après plusieurs années d'enseignement de Maple en Deug, cf. ci-dessus, je propose une réflexion sur l'utilisation de Maple en analyse, suite à des enseignements effectués aux étudiants de licence, maitrise et Agreg de Maths. Les premières fiches de préparation à l'Agreg donnent l'essentiel de cette réflexion et donc s'adressent aussi bien, je pense, aux formateurs en Maths qui ont une pratique du calcul formel.

Introduction

Quelques préjugés :
A- ``Maple peut tout faire'' : c'est manifestement faux, il y a des probl\`emes pour lesquels le calcul formel n'est pas d'un grand secours. Exemple : Intégrer y''(x)=0 dans C^2(R), puis dans C^2(R -Z), puis dans L^1(R) et enfin dans l'ensemble des fonctions continues sur R et différentiables en aucun point. (Si, si, cette question a du sens, le mouvement brownien serait solution, c'est une recherche actuelle).
B- ``Maple ne sait rien faire'' : un préjugé tenace pour ce qui concerne l'analyse. Alors pourquoi Maple résoud quasiment instantanément les équations différentielles proposées dans les livres de base dans la préparation à l'Agrégation ? Pourquoi l'équation au dérivées partielles, du troisième ordre, provenant d'un problème de viscoélasticité $u_{xx}-u_{tt}-\alpha u_{xxt}$ est-elle rapidement intégrée ?
C- ``Maple se trompe souvent'' : ceci est vrai, le préjugé est alors de croire que l'on n'y peut rien . Cet aspect sera au centre de mon intervention que l'on peut articuler suivant 4 thèmes:
1- Sur la nécessite du contrôle et de la vérification. (utilisation de différentes méthodes).
2- Comment réagir vite à une réponse fausse ou une non-réponse.
3- Les "théorèmes Maple" existent; exemple : quelle théorie de l'intégration est-elle implémentée dans Maple ?
4- Du générique au particulier, sur l'exemple des équations différentielles, (ou la nécessité de recourir aux théorèmes, dans l'exemple celui de Fuchs).
Il est important de donner, au début, des exercices dont la réponse sera juste, ou pertinente, et montrant la puissance d'un logiciel de calcul formel, tout en révisant quelques instructions (procédures) de l'analyse.
Il est vrai que ma préoccupation, d'abord inconsciente, est : Comment apprendre, ou comprendre des maths en utilisant un logiciel de calcul formel. Le logiciel Maple, performant en recherche, ne peut-etre utilisé qu'avec une ``interface'', ici celle de l'enseignant, qui me semble irremplacable dans un premier temps.
Rappelons que depuis 1998, le calcul formel a été introduit aussi bien au CAPES qu'à l'Agrégation, donnant ainsi aux futurs enseignants une pratique de calcul formel.
Cliquez pour obtenir les textes : Quelques exemples


Et l'on peut faire des maths en s'amusant

Drole de nombres palindromes ;