Sur le Calcul Formel
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Lille, Avril 2005
Le calcul formel dans l'enseignement des mathématiques
A votre disposition le texte d'une
conférence.
Et si vous avez le logiciel maple une session sur
Quelle théorie de l'intégration ?
Reflexions méthodologiques en Calcul Formel,
Nik Lygeros (IGD), Olivier Marguin (LMD, Université Lyon 1) et
Michel Mizony (IGD).
Paru dans Repères, revue des IREM, en janvier 1999.
Résumé :
Nous montrons à partir de quelques exemples en Maple,
tirés de notre enseignement ces deux dernières années en DEUG première
et deuxième années à l'Université Lyon-I et en
Classes Préparatoires (Math. Sup. et Math. Spé.) au Lycée du Parc et à
celui de la Martinière-Monplaisir, comment le calcul formel peut s'intégrer
dans l'enseignement des mathématiques et comment il peut changer notre
rapport à celles-ci. Nous commencons par examiner quelques préjugés
courants sur l'utilisation de Maple. Ensuite nous abordons différentes applications élémentaires mais
riches en enseignements (nature du tracé d'une courbe et étude de la
suite de Fibonacci) en insistant sur la nécessité d'une compréhension
du fonctionnement interne d'un calcul formel ("boîte noire" de la
factorisation). Puis nous analysons quelques
différences fondamentales qui existent sur le plan du lexique entre un
langage de bas niveau et un calcul formel.
Enfin nous mettons en évidence, grâce à l'exemple des
matrices magiques, l'intérêt heuristique de l'approche formelle. En
annexe, nous développons deux exemples plus complexes du point de vue
technique, comme un problème de factorisation et la
surinterprétation
fractale des commentaires de Conway.
Conclusion :
Nous espérons que les quelques exemples traités
ci-dessous montreront
au lecteur que l'utilisation du calcul formel renouvellera
profondément notre rapport à l'enseignement des mathématiques. Bien
sûr, ces exemples sont des produits manufacturés qui masquent les
nombreux allers-retours entre réflexion théorique et mise en
pratique. Comme le calcul formel permet de par son langage une grande
interaction entre la programmation et les mathématiques, il remet à
l'honneur l'aspect experimental de celles-ci. Mais le
calcul formel change aussi nos pratiques de recherche. Pour le lecteur
intéressé, nous renvoyons à l'article de M. Mizony : Le calcul
formel dans ma pratique d'enseignant et de chercheur.
Actes de l'université d'été : "Développer la recherche
scientifique à travers l'étude de situations mathématiques", IREM de LYON, juillet 1996.
Cliquez pour obtenir le texte :
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L'Enseignement de l'analyse, avec Maple, aux étudiants en
mathématiques
C'est le titre de deux communications faites en juin 2000, à Rennes,
aux journées d'études : Environnements informatiques de
calcul symbolique et apprentissage des mathématiques.
Résumé :
Le but essentiel de cette communication sera d'aborder les problèmes
liés à l'utilisation d'un logiciel de calcul formel pour résoudre
des problèmes d'analyse mathématique. Après plusieurs années
d'enseignement de Maple en Deug, cf. ci-dessus,
je propose une réflexion sur l'utilisation de Maple en analyse,
suite à des enseignements effectués aux étudiants de licence,
maitrise et Agreg de Maths. Les premières fiches de préparation à
l'Agreg donnent l'essentiel de cette réflexion et donc s'adressent
aussi bien, je pense, aux formateurs en Maths qui ont une pratique
du calcul formel.
Introduction
Quelques préjugés :
A- ``Maple peut tout faire'' : c'est manifestement faux, il y a des
probl\`emes pour lesquels le calcul formel n'est pas d'un grand
secours. Exemple :
Intégrer y''(x)=0 dans C^2(R), puis dans C^2(R -Z), puis dans L^1(R) et enfin
dans l'ensemble des fonctions continues sur R et différentiables en
aucun point. (Si, si, cette question a du sens, le mouvement
brownien serait solution, c'est une recherche actuelle).
B- ``Maple ne sait rien faire'' : un préjugé tenace pour ce qui
concerne l'analyse. Alors pourquoi Maple résoud quasiment
instantanément les équations différentielles proposées dans les livres
de base dans la préparation à l'Agrégation ? Pourquoi l'équation au
dérivées partielles, du troisième ordre, provenant d'un problème
de viscoélasticité $u_{xx}-u_{tt}-\alpha u_{xxt}$ est-elle rapidement
intégrée ?
C- ``Maple se trompe souvent'' : ceci est vrai, le préjugé est alors
de croire que l'on n'y peut rien . Cet aspect sera au centre de mon
intervention que l'on peut articuler suivant 4 thèmes:
1- Sur la nécessite du contrôle et de la vérification. (utilisation
de différentes méthodes).
2- Comment réagir vite à une réponse
fausse ou une non-réponse.
3- Les "théorèmes Maple" existent;
exemple : quelle théorie de l'intégration est-elle implémentée dans
Maple ?
4- Du générique au particulier, sur l'exemple des équations
différentielles, (ou la nécessité de recourir aux théorèmes, dans
l'exemple celui de Fuchs).
Il est important de donner, au début, des exercices dont la réponse
sera juste, ou pertinente, et montrant la puissance d'un logiciel de
calcul formel, tout en révisant quelques instructions (procédures)
de l'analyse.
Il est vrai que ma préoccupation, d'abord inconsciente, est :
Comment apprendre, ou comprendre des maths en utilisant un logiciel
de calcul formel. Le logiciel Maple, performant en recherche, ne
peut-etre utilisé qu'avec une ``interface'', ici celle de
l'enseignant, qui me semble irremplacable dans un premier temps.
Rappelons que depuis 1998, le calcul formel a été introduit aussi
bien au CAPES qu'à l'Agrégation, donnant ainsi aux futurs enseignants
une pratique de calcul formel.
Cliquez pour obtenir les textes :
Quelques exemples
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Et l'on peut faire des maths en s'amusant
Drole de nombres palindromes ;