ANR-10-JCJC 0102
La prépublication [MNW] de Patrick Massot et Klaus Niederkrüger (membres du projet ANR) et Chris Wendl démontre l’existence en grandes dimensions d’un certain nombre des phénomènes de la dimension 3 décrits dans la section précédente.
Le premier outil introduit est une notion de remplissage symplectique faible en grandes dimensions. Nous montrons que les différentes notions de structures de contact vrillées proposées par Giroux et Niederkrüger interdisent toutes deux l’existence de tels remplissages. Outre l’intérêt intrinsèque d’avoir une notion plus faible mais toujours non triviale, cette étude permet de démontrer indirectement que certaines variétés de contact ne sont pas fortement (ou a fortiori holomorphiquement) remplissables. La stratégie consiste à montrer que tout remplissage fort pourrait être étendu par un cobordisme symplectique en remplissage faible d’une nouvelle variété de contact qui est vrillée au sens de Niederkrüger.
On ouvre ainsi la possibilité de montrer que certaines structures de contact ne sont pas fortement remplissables bien que n’ayant pas d’autre caractéristique des structures vrillées puisqu’elles ne sont pas flexibles et ont des champs de Reeb sans orbite périodique contractile. En cela la référence évidente en dimension 3 est l’exemple emblématique décrit dans la section 1.3. Pour construire des exemples analogues en grandes dimensions, nous faisons un détour par les groupes de Lie et la théorie des nombres. Avant l’énoncé, rappelons qu’un sous-corps de ℂ contient nécessairement ℚ et que son degré est, par définition, sa dimension en tant que ℚ-espace vectoriel. Un corps de nombres est un sous-corps de ℂ qui est de degré fini. Le corps ℝ contient des corps de nombres de degré arbitrairement grand.
À tout corps de nombres k de degré n, on peut associer canoniquement une variété de contact Mk de dimension 2n − 1. Si k peut se plonger dans ℝ alors Mk porte deux 1–formes α+ et α− telles que la formule :
| ξn := ker |
⎛ ⎜ ⎜ ⎝ |
|
α+ + |
|
α− + sin(ns) dt |
⎞ ⎟ ⎟ ⎠ |
(avec (s,t) ∈ T2) définisse, pour n ∈ ℕ*, une famille de structures de contact sur T2× Mk ayant les propriétés suivantes :
On retrouve l’exemple emblématique de la dimension 3 pour k = ℚ. On a ainsi obtenu l’existence de domaines généralisant les domaines de torsion de Giroux en grandes dimensions. Notons que, dans le premier point du théorème, on distingue les classes d’isomorphisme par un calcul d’homologie de contact, donc via un invariant dynamique.
Au fil de la construction de ces exemples, on répond à la question de l’existence de variétés symplectiques exactes dont le bord n’est pas connexe mais dont chaque composante est convexe (au sens symplectique du terme). De tels exemples ne peuvent pas exister dans la catégorie des variétés de Stein et, dans le cadre plus large des variétés symplectiques, les seuls exemples compacts connus étaient en dimension 4 et 6 [McD91, Gei94]. Dans notre travail, ces variétés symplectiques exotiques apparaissent plongées dans les variétés de contact étudiées. On peut les qualifier d’internes pour les distinguer des variétés « externes » apparaissant comme remplissages ou cobordismes. Traditionnellement les résultats utilisant les variétés symplectiques internes et externes étaient essentiellement disjoints, au moins si l’on exclue le cas de la dimension 3 pour laquelle les variétés internes sont des surfaces donc des variétés symplectiques très dégénérées. Ici on a une interaction directe entre la présence d’exemples internes exotiques et la non-existence de variété symplectique externe.
Ce document a été traduit de LATEX par HEVEA