Page modifiée le 7 juin 2018
Les représentations d'un groupe réductif complexe G se décomposent en somme directe de représentations irréductibles, ces dernières étant paramétrées par les poids entiers dominants de G.
Dans le cas où on s'intéresse à une représentation irréductible d'un groupe réductif G' contenant G, donnée par un poids entier dominant λ' de G', décomposer celle-ci en somme directe de représentations iréductibles de G revient à déterminer, pour tout poids entier dominant λ de G, la multiplicité c(λ,λ') de la représentation de plus haut poids λ dans cette décomposition. L'étude des coefficients c(λ,λ') (que l'on appelle parfois coefficients de branchement) s'appelle le problème de branchement.
On peut s'intéresser à diverses propriétés de ces coefficients : on sait par exemple que l'ensemble des couples (λ,λ') pour lesquels c(λ,λ') est non nul forme un monoïde de type fini. On peut alors se demander dans quels cas celui-ci est saturé. Cela n'est pas toujours vrai, mais il est connu depuis 1998 que c'est par exemple le cas pour les coefficients de Littlewood-Richardson (c'est-à-dire lorsque G est un groupe général linéaire et G'=GxG).
Il existe de nombreuses méthodes différentes pour essayer d'obtenir des résultats de ce type. L'objectif de ma thèse était plutôt d'appliquer des méthodes géométriques : on peut relier les coefficients c(λ,λ') à des dimensions d'espaces de sections de certains fibrés en droites sur des variétés de drapeaux. Je me suis alors surtout concentré sur des coefficients de branchement particuliers, que l'on appelle coefficients de Kronecker. Plus précisément j'ai travaillé sur des notions de stabilité de ces derniers.