Programme :

• Théorie de Galois et applications
  Extensions de corps, groupe de Galois d'une extension.
  Extensions algébriques, transcendantes. Clôture algébrique.
  Extension galoisiennes, théorie de Galois des extensions finies.
• Ensembles algébriques affines et bases de Gröbner
  Anneaux de polynômes à plusieurs indéterminées, ensembles algébriques affines, idéaux.
  Algorithme de division multivarié, ordre monomiaux.
  Idéaux monomiaux, théorème de la base de Hilbert, bases de Gröbner, algorithme de Buchberger.
  Théorème d'élimination, théorème d'extension.
  Applications : appartenance à un idéal, description d'un idéal, calcul d'intersections et de quotients d'idéaux, implicitation de représentation paramétrée, calcul de points singuliers, calcul d'enveloppe.

Horaires:

Contrôles:

Documents :

T. Blossier et P. Malbos : Introduction aux bases de Gröbner et à leurs applications
P. Elbaz-Vincent : Bases de Gröbner et leurs applications
Denis Monasse : Introduction aux bases de Grobner: théorie et pratique

1er partiel 2016 et corrigé
2me partiel 2016
examen 2016 et corrigé

Avancement du cours :

• 25 janvier : Corps : définition, exemples. Extensions de corps : degré, multiplicativité. Extension engendrée. Éléments algébriques, polynôme minimal. Extensions algébriques : extension engendré par un seul élément algébrique, extension engendré par un uplet d'éléments algébriques. Tour d'extensions algébriques. Sous-corps des éléments algébriques. Contenu d'un polynôme. Irréducibilité dans Z[X] et dans Q[X]. Critères d'irréducibilité : facteurs linéaires, critère d'Eisenstein, réduction modulo p. Corps de rupture : Existence (construction) et unicité à K-homomorphisme près.
• 1 février : K-homomorphisme, extension d'un homomorphisme. Clôture algébrique d'un corps, existence et unicité à K-homomorphisme près. Rappel sur le lemme de Zorn et l'axiome du choix. Cardinal de la clôture algébrique dans le cas dénombrable et dans le cas général. Quelques exemples de corps et de leurs clôtures algébriques : C, R, Q, F_p. Nombres absolument algébriques, nombres transcendants. Corps de décomposition, existence et unicité à K-homomorphisme près.
• 8 février : Nombres conjugués ; caractérisation par le même polynôme minimal, ou par conjugaison par un K-automorphisme de la clôture algébrique de K. Éléments séparables, extensions séparables. Égalité pour une extension séparable finie L de K entre le degré [L:K] et le nombre de K-homomorphismes de L dans la clôture algébrique de K. Théorème de l'élément primitif pour une extensin séparable finie d'un corps infini. Définition d'un caractère d'un groupe dans un corps; indépendance linéaire des caractères.
• 15 février : Théorème de Dedekind. Extensions normales d'un corps K : définition, caractérisation par K-homomorphismes dans une clôture algébrique de K. Extensions normales comme (limite d'une tour de) corps de décomposition, extensions séparables, extensions galoisiennes. Groupe de Galois d'une extension séparable finie, |Gal(L:K)|=[L:K] si L est une extension galoisienne finie de K. Groupe de Galois d'un polynôme séparable. Groupe de Galois comme sous-groupe du groupe de permutations des racines du polynôme minimal d'un élément primitif. Corps des invariants I(H) d'un sous-groupe H d'un groupe de Galois Gal(L:K).
• 1ier mars : Normalité de [L:I(H)], et Gal(L:I(H))=H. La correspondance de Galois entre les sous-groupes du groupe de Galois d'une extensions galoisienne finie et les extensions intermédiaires ; équivalence entre la normalité de l'extension intermédiaire et le fait que son groupe de Galois soit distingué. Exemples : Les corps de rupture de X³-2 sur Q et ses extensions intermédiaires. Fonctions multiplicatives : indicateur d'Euler φ et fonction de Möbius μ.
• 8 mars : Formule d'inversion de Möbius. Racines de l'unité, racines primitives de l'unité. Polynômes cyclotomiques, propriétés. Groupe de Galois d'une extension de Q par une racine de l'unité. Extensions cycliques : Définition. Extensions par une racine.
• 29 mars : Résolution des équations de degré 2 : Les Babyloniens, les grecs. Résolution des équations de degré 3 : del Ferro, Tartaglia, Cardan. Résolution des équations de degré 4 : Ferrari, Bombelli. La vie de Galois. La norme d'une extension galoisienne finie. Théorème 90 de Hilbert. Extension de Kummer. Groupes résolubles : Définition. Résolubilité d'un groupe.
• 5 avril : Simplicité du groupe A_n pour n≥5. Équivalence entre extensions résolubles et extensions résolubles par radicaux. L'équation générale de degré n. Présentation du problème de Galois inverse.
• 12 avril : Corrigé du partiel. Reprise du Lemme de Zorn. Corps finis.
• 26 avril : Anneaux de polynômes en plusieurs variables sur un corps. Ordes monomiaux. Division avec reste. Le théorème de Ramsey (admis).
• 3 mai : Confluence. Idéaux monomiaux. Théorème de la base de Hilbert. Bases de Gröbner : définition et caractérisations.
• 10 mai : S-polynômes. Critère de Buchberger. Algorithme de Buchberger. Idéal d'élimination, théorème d'élimination.