En coordonnées polaires
(,
),
les projections azimutales sont de la forme
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avec ,
ou encore, en posant
(
est la colatitude de
et simplifie les calculs) :
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avec .
La condition s'écrit
.
Les conditions s'écrivent simplement
.
La condition s'écrit
.
Il existe une infinité de projections azimutales perspectives (comme de
projections cylindriques perspectives). On n'étudiera donc que deux cas :
le point de vue est soit au centre de la sphère, soit à l'infini. Pour
les mêmes raisons que pour les projections cylindriques on considérera
uniquement des projections sur un plan tangent, de manière à ne pas avoir
de déformation au voisinage du point central
(donc ).
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On peut trouver une relation dans le plan complexe entre la projection
stéréographique et la projection de Mercator. En effet, rappelons que
. On a alors (au coefficient multiplicatif 2 près)
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Signalons enfin une transformation couramment utilisée pour les projections azimutales. La transformation d'Aïtoff-Hammer (Aïtoff l'a inventée pour la projection de G. Postel et Hammer n'a fait que l'appliquer telle quelle à d'autres projections). Elle se base sur l'aspect transverse de ces dernières (ce qui change totalement les aspects des parallèles et méridiens) et consiste à diviser les longitudes par un nombre supérieur à 1 (2 en général), à appliquer la projection transverse à la surface partielle de sphère ainsi obtenue, et à remultiplier les abscisses par ce nombre. De manière intéressante, cette transformation conserve la propriété d'équivalence.
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Les projections (tron)coniques ![]() |