Les projections cylindriques

Pour les projections cylindriques, on considérera un cylindre tangent à l'équateur, un cylindre sécant ou extérieur n'introduisant qu'un facteur d'échelle. En coordonnées cartésiennes, les projections cylindriques sont, dans un repère convenable, de la forme

$x=\phi$ et $y=f(\theta)$

avec $f(0)=0$ . Réécrivons les conditions 1,2,3 dans ce contexte.

Condition 1 (équivalence)

La condition $\frac{\partial x}{\partial \phi}\frac{\partial y}{\partial \theta}-\frac{\partial x}{\partial \theta}\frac{\partial y}{\partial \phi} =\cos \theta$ s'écrit $f'(\theta)=\cos \theta$ .

Condition 2 (conformité)

Les conditions $\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle \frac{\partial x}{\partial \phi}\frac{\partial x}{\partial \theta}+\frac{\partial y}{\partial \phi}\frac{\partial y}{\partial \theta}=0\\ \null\\ \displaystyle\left(\frac{\partial x}{\partial \phi}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial \phi}\right)^2 =\cos^2 \theta\left(\left(\frac{\partial x}{\partial \theta}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial \theta}\right)^2 \right)\end{array}\right.$ s'écrivent simplement $(f'(\theta))^2=1/\cos^2 \theta$ .

Condition 3 (équidistance)

La condition $\left(\frac{\partial x}{\partial \theta}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial \theta}\right)^2=1$ s'écrit $(f'(\theta))^2=1$ .

La projection cylindrique perspective

D'abord, la projection cylindrique perspective. On considérera que le point à partir duquel s'effectue la projection est le centre de la sphère, et que le cylindre est tangent à l'équateur. On trouve géométriquement que $f(\theta)=\tan \theta$ , et donc

$x=\phi$ et $y=\tan \theta$

Cette projection, contrairement à ce qui traîne dans de nombreux manuels de géographie, est différente de celle de Mercator. Les régions polaires se retrouvent projetées à l'infini. Elle déforme énormément et n'est jamais utilisée.

Projection cylindrique perspective

La projection cylindrique équidistante

La projection cylindrique équidistante est de la même forme. Pour obtenir l'équidistance, et doivent vérifier la condition 3 qui s'écrit alors $(f'(\theta))^2=1$ , soit, puisque , $f(\theta)=\pm \theta$ . Pour avoir une carte non retournée, on prend bien sûr $f(\theta)=\theta$ pour avoir une échelle des aires positive. Finalement

$x=\phi$ et $y=\theta$

La latitude est projetée par "dépliement" d'un arc circulaire de sphère sur un segment vertical du cylindre tangent à l'équateur de même longueur. On obtient la projection dite quadratique, ou des cartes plates carrées, la plus simple qui soit.

Projection quadratique (ou des cartes plates carrées)

Projection quadratique : indicatrices de Tissot (conservation des distances sur les méridiens)

La projection cylindrique de Lambert

La projection cylindrique équivalente est de la même forme. Pour obtenir l'équivalence, et doivent vérifier la condition 1 qui s'écrit alors $f'(\theta)=\cos \theta$ , d'où $f(\theta)=\sin \theta$ . On obtient donc

$x=\phi$ et $y=\sin \theta$

C'est la projection cylindrique de Lambert (à ne pas confondre avec les nombreuses autres projections portant ce nom) ou isocylindrique. Elle s'obtient géométriquement par projection orthogonale de la sphère sur le cylindre tangent à l'équateur.

Projection cylindrique de Lambert

Projection équivalente : indicatrices de Tissot (conservation des aires)

La projection de Mercator

Enfin, la projection cylindrique conforme. Toutes les projections cylindriques vérifient la première partie de la condition 2. La deuxième condition s'écrit (au signe près) $f'(\theta)=1/\cos \theta$ . On vérifie que
$\pounds=f(\theta) = \log\left(\tan\left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right) =2\,\mathrm{argtanh}\left(\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)\right) =2\,\mathrm{argsinh}\big(\tan(\theta)\big)$
respecte bien cette contrainte. Cette quantité est appelée ''variable de Mercator'' ou ''latitude croissante'' et souvent notée $\pounds$ . On a donc

$x=\phi$ et $y=\log\left(\tan\left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right)$

Du fait de la propriété mentionnée ci-dessus, elle intervient directement dans beaucoup de projections conformes. La projection de Mercator ainsi définie est conforme mais exagère beaucoup les surfaces proches des régions polaires (lesquelles sont projetées à l'infini) : à la latitude $45^\circ$ l'échelle des aires est déjà .

Projection de Mercator

Projection conforme : indicatrices de Tissot (conservation des formes)

Remarque

Un parallèle plus égal que les autres. Dans ce qui précède, on a toujours supposé que l'échelle était conservée sur l'équateur. On peut, par une application affine, rendre un autre parallèle de vraie longueur et même le rendre automécoïque, c'est-à-dire supprimer toute déformation à son niveau, de manière à conserver les autres propriétés de la projection (équidistance, équivalence, conformité). Ceci signifie que la carte est conforme le long de ce parallèle et que les deux échelles locales selon les parallèles et les méridiens valent $1$ .

Si la projection cylindrique s'écrit $x=\phi$ et $y=f(\theta)$ , et si l'on veut conserver le parallèle de latitude $\theta_0$ , il suffit de prendre

$x_2=\phi \cos \theta_0$ et $y_2=f(\theta)/f'(\theta_0)$

La projection quadratique devient ainsi la projection ''des cartes plates parallélogrammatiques''. Pour la projection de Mercator, ceci est une simple homothétie (cette projection étant déjà conforme partout).

À partir de la projection cylindrique de Lambert, on peut obtenir, en particulier, la fameuse projection de Peters, dont il convient de dénoncer l'hypocrisie : elle se présente en alternative de la projection de Mercator, dans laquelle les pays en voie de développement, de faible latitude, sont plus petits que les autres ; la projection de Peters, elle, conserve bien les surfaces, mais on a choisi $\theta_0$ de manière à ne pas déformer les pays développés, ce qui a pour conséquence, naturellement, de déformer considérablement les P.V.D., et ceci est souvent présenté comme une fatalité, le prix à payer pour obtenir l'équivalence !

La projection sinusoïdale

Des parallèles à bonne distance. Avant de passer aux projections azimutales, considérons, pour le plaisir, le problème suivant : trouver une projection méricylindrique équivalente telle que les parallèles soient régulièrement espacés. On a ici, toujours en posant l'équidistance sur l'équateur, $x=\phi f(\theta)$ et $y=g(\theta)$ avec $f(0)=1$

, $g'(0)=\mathrm{Cste}$ et $g(0)=0$

. On doit, en tout point, avoir $f(\theta)g'(\theta)=\cos \theta$ , d'où une famille de projections

$x=k\phi\cos \theta$ et $y=\theta/k$

L'échelle sur les parallèles vaut en tout point $k$

, et l'échelle sur le méridien central $1/k$

, ce qui incite à prendre $k=1$

, projection qui sera conforme sur l'équateur, qui représentera tous les parallèles par leur véritable longueur et qui sera équidistante sur le méridien central. Cette projection est appelée sinusoïdale, ou de Sanson, ou de Flamsteed (ou encore sinusoïdale de Sanson-Flamsteed).

Projection de Sanson-Flamsteed

Projection sinusoïdale : indicatrices de Tissot

Propriétés de conservation

Les projections cartographiques

Les projections azimutales