V. Les premiers monstres de l'analyse…



L'escalier du diable (Cantor, 1885)



Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor
(1845–1918)
Mathématicien allemand







animation




La courbe de Lebesgue (1904)



Henri-Léon Lebesgue
(1875 – 1941)
Mathématicien français



Pour
développement dyadique (en base 2) :



Pour


animation




Pour









À la limite :
une bijection discontinue
de [0,1] sur [0,1]x[0,1]…

Une courbe remplissant le carré…




La courbe de Peano (1890)



Giuseppe Peano
(1858 – 1932)
Mathématicien italien



Pour
développement triadique (en base 3) :
avec
et



Pour


animation




Pour







À la limite :
une surjection continue
de [0,1] sur [0,1]x[0,1] (non injective)…

Une autre courbe remplissant le carré…




La courbe de Hilbert (1891)



David Hilbert
(1862 – 1943)
Mathématicien allemand





Encore une courbe remplissant le carré !




Théorèmes



[0,1] et [0,1]x[0,1] sont équipotents
(i.e. en bijection)…
[0,1] et [0,1]x[0,1]
ne sont pas homéomorphes
(i.e. il n'existe pas de bijection continue entre eux)…



   
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