• Équation initiale : \((E)\quad\ddot{u}(t)+a\dot{u}(t)+bu(t)=\varphi(t)\)
• Équation homogène associée : \((EH)\quad\ddot{u}(t)+a\dot{u}(t)+bu(t)=0\)
• Équation caractéristique associée : \((EC)\quad r^2+ar+b=0\)

\(u_{_H}(t)\!=\begin{cases} \lower -3ex %\vphantom{\dfrac aa} \!\lambda\,e^{r_1t}\!+\!\mu\,e^{r_2t},\;\lambda,\mu\!\in\!\mathbb{R} \\ \scriptstyle\text{si \((EC)\) admet deux racines r\(\mathrm{\acute{e}}\)elles distinctes \(r_1\) et \(r_2\)} \\[1ex] (\lambda\,t\!+\!\mu)e^{rt},\;\lambda,\mu\!\in\!\mathbb{R} \\ \scriptstyle\text{si \((EC)\) admet une racine double \(r\)} \\[1ex] e^{\rho t}\big(\lambda\cos(\sigma t)\!+\!\mu\sin(\sigma t)\big),\;\lambda,\mu\!\in\!\mathbb{R} \\ \scriptstyle\text{si \((EC)\) admet deux racines complexes non r\(\mathrm{\acute{e}}\)elles \(\rho+\mathrm{i}\sigma\) et \(\rho-\mathrm{i}\sigma\)} \end{cases}\)

• \(u_{_H}\) est la solution générale de \((EH)~;\)
• \(u_{_P}\) est une solution particulière de \((E)~:\) \(u_{_P}(t)\!=\!\int_{t_0}^t \varphi(s)G(t-s)\,\mathrm{d}s\) où

  \(G(z)=\begin{cases}\vphantom{\dfrac{b^{b^{b^b}}}{a}} \dfrac{\mathrm{e}^{r_1z}-\mathrm{e}^{r_2z}}{r_1-r_2} \\ \scriptstyle\text{si \((EC)\) admet deux racines r\(\mathrm{\acute{e}}\)elles distinctes \(r_1\) et \(r_2\)} \\[1ex] %\vphantom{\dfrac aa} z\,\mathrm{e}^{rz} \\ \scriptstyle\text{si \((EC)\) admet une racine double \(r\)} \\[1ex] \mathrm{e}^{\rho z}\dfrac{\sin{\sigma z}}{\sigma} \\ \scriptstyle\text{si \((EC)\) admet deux racines complexes non r\(\mathrm{\acute{e}}\)elles \(\rho+\mathrm{i}\sigma\) et \(\rho-\mathrm{i}\sigma\)} \end{cases}\)

• Cas d'un second membre de type « polynôme-exponentiel » : \(\varphi(t)=P(t)\mathrm{e}^{\alpha t}\) où \(P\) est un polynôme de degré \(d\!\in\!\mathbb{N}\) à coefficients réels ou complexes et \(\alpha\!\in\!\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}.\)
  Il existe une solution particulière de la forme
  • \(u_{_P}(t)=Q(t)\mathrm{e}^{\alpha t}\) si \(\alpha\) n'est pas racine de \((EC),\)
  • \(u_{_P}(t)=tQ(t)\mathrm{e}^{\alpha t}\) si \(\alpha\) est racine simple de \((EC)\) (cas de « résonance simple»),
  • \(u_{_P}(t)=t^2Q(t)\mathrm{e}^{\alpha t}\) si \(\alpha\) est racine double de \((EC)\) (cas de « résonance double»),
  où \(Q\) est un polynôme de degré \(d.\)

• Cas d'un second membre polynomial de degré \(d\!\in\!\mathbb{N}:\)
  il existe une solution particulière polynomiale
  • de degré \(d\) si \(a,b\neq 0~;\)
  • de degré \(d+1\) si \(a\neq0\) et \(b=0~;\)
  • de degré \(d+2\) si \(a=b=0.\)


• Cas d'un second membre exponentiel : \(\varphi(t)=A\,\mathrm{e}^{\alpha t}\) où \(A\!\in\!\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}.\)
  Une solution particulière est donnée par
  • \(u_{_P}(t)=\frac{A}{\alpha^2+a\alpha+b}\,\mathrm{e}^{\alpha t}\) si \(\alpha\) n'est pas racine de \((EC)\) ;
  • \(u_{_P}(t)=\frac{A}{2\alpha+a}t\,\mathrm{e}^{\alpha t}\) si \(\alpha\) est racine simple de \((EC)\) (cas de « résonance simple ») ;
  • \(u_{_P}(t)=\frac{A}{2}t^2\,\mathrm{e}^{\alpha t}\) si \(\alpha\) est racine double de \((EC)\) (cas de « résonance double»).


• Cas d'un second membre trigonométrique : \(\varphi(t)=A\,\cos(\omega t)+B\,\sin(\omega t)\) où \(A,B\!\in\!\mathbb{R}\) et \(\omega\!\in\!\mathbb{R}^*.\)
  Une solution particulière est donnée par
  • \(u_{_P}(t)=A\,\Re \mathrm{e}\left(\frac{1}{(b-\omega^2)+\mathrm{i}a\omega}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\right) +B\,\Im \mathrm{m}\left(\frac{1}{(b-\omega^2)+\mathrm{i}a\omega}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\right)\)
    \(\phantom{u_{_P}(t)}=\frac{A(b-\omega^2)-Ba\omega}{(\omega^2-b)^2+a^2\omega^2}\cos(\omega t)+\frac{Aa\omega+B(b-\omega^2)}{(\omega^2-b)^2+a^2\omega^2}\sin(\omega t).\)

\(\begin{cases}\vphantom{\dfrac{b^{b^{b^b}}}{a}} G(z)=\dfrac{\mathrm{e}^{r_1z}-\mathrm{e}^{r_2z}}{r_1-r_2} \hspace{2em} H(z)=\dfrac{r_2\mathrm{e}^{r_1z}-r_1\mathrm{e}^{r_2z}}{r_2-r_1} \\ \scriptstyle\text{si \((EC)\) admet deux racines r\(\mathrm{\acute{e}}\)elles distinctes \(r_1\) et \(r_2\)} \\[1ex] %\vphantom{\dfrac aa} G(z)=z\,\mathrm{e}^{rz} \hspace{4.3em} H(z)=(1-rz)\,\mathrm{e}^{rz} \\ \scriptstyle\text{si \((EC)\) admet une racine double \(r\)} \\[1ex] G(z)=\hspace{0em}\mathrm{e}^{\rho z}\dfrac{\sin{\sigma z}}{\sigma} \hspace{2em} H(z)=\hspace{0em}\mathrm{e}^{\rho z}\left(\cos(\sigma z)-\dfrac{\rho}{\sigma}\sin(\sigma z)\right) \\ \scriptstyle\text{si \((EC)\) admet deux racines complexes non r\(\mathrm{\acute{e}}\)elles \(\rho+\mathrm{i}\sigma\) et \(\rho-\mathrm{i}\sigma\)} \end{cases}\)