II. Équations différentielles
linéaires du 1er ordre
à coefficients variables





Résolution de \(\dot{u}(t)+a(t)u(t)=\varphi(t)\)
et tracé des courbes intégrales







Solution générale

Hypothèse : \(a\) et \(\varphi\) sont des fonctions continues sur l'intervalle \(I.\)
Soit \(A\) une primitive de \(a.\) On fixe un \(t_0\!\in\! I.\)

L'équation initiale admet une infinité de solutions données par

\(u(t)\!=\!\lambda\, e^{-A(t)}\!+\!\int_{t_0}^t\varphi(s) \,\mathrm{e}^{-\big(A(t)-A(s)\big)}\,\mathrm{d}s,\;\lambda\!\in\!\mathbb{R}\)



Problème de Cauchy : on fixe un \(t_0\!\in\! I\) ainsi qu'un \(u_0\!\in\!\mathbb{R}.\)

L'équation initiale admet une unique solution vérifiant \(u(t_0)\!=u_0.\) Elle est donnée par

\(u(t)\!=\!u_0\, e^{-\big(A(t)-A(t_0)\big)}\!+\!\int_{t_0}^t\varphi(s) \,\mathrm{e}^{-\big(A(t)-A(s)\big)}\,\mathrm{d}s\)


\(\vphantom{()_p^b}\)   \(a(t)=t\)    et    \(\varphi(t)=t\)

Solution : \(u(t)\!=\!1\!+\!\lambda\,\mathrm{e}^{-\frac12t^2}\)

         



\(\vphantom{()_p^b}\)   \(a(t)=-t\)    et    \(\varphi(t)=t\)

Solution : \(u(t)\!=\!-1\!+\!\lambda\,\mathrm{e}^{\frac12t^2}\)

         



\(\vphantom{()_p^b{t^2}^a}\)   \(a(t)=t^2\)    et    \(\varphi(t)=t^2\)

Solution : \(u(t)\!=\!1\!+\!\lambda\,\mathrm{e}^{-\frac13t^3}\)

         



\(\vphantom{\dfrac1t_a^a}\)   \(a(t)=\dfrac1t\)    et    \(\varphi(t)=t\)

Solution :
\(u(t)\!=\!\begin{cases} \raise -3ex {\dfrac{t^2}{3}\!+\!\dfrac{\lambda_1}{t}} & \raise -3ex{\!\!\scriptstyle\text{si } t\in \mathopen]-\infty,0[}\\[1ex] \dfrac{t^2}{3}\!+\!\dfrac{\lambda_2}{t} & \!\!\scriptstyle\text{si } t\in \mathopen]0,+\infty[ \end{cases}\)
Pour \(\lambda_1\!=\!\lambda_2\!=\!0:\)
\(u(t)\!=\!\dfrac{t^2}{3},\;\scriptstyle t \in\mathbb{R}\)
dérivable en 0

         



\(\vphantom{\dfrac1t_a^a}\)   \(a(t)=-\dfrac1t\)    et    \(\varphi(t)=t\)

Solution :
\(u(t)\!=\!\begin{cases} \raise -1ex {t^2\!+\!\lambda_1t} & \raise -1ex{\!\!\scriptstyle\text{si } t\in \mathopen]-\infty,0[}\\[1ex] t^2\!+\!\lambda_2t & \!\!\scriptstyle\text{si } t\in \mathopen]0,+\infty[ \end{cases}\)
Pour \(\lambda_1\!=\!\lambda_2\!=\!\lambda:\)
\(u(t)\!=\!t^2\!+\!\lambda\,t,\;\scriptstyle t \in\mathbb{R}\)
dérivables en 0

         



\(\vphantom{\dfrac1t_a^a}\)   \(a(t)=\dfrac1t\)    et    \(\varphi(t)=1\)

Solution :
\(u(t) \!=\!\begin{cases} \raise -2.5ex{\dfrac{t}{2}\!+\!\dfrac{\lambda_1}{t}} &\raise -2.5ex{\scriptstyle\text{si } t\in\mathopen]-\infty,-0[}\\[1ex] \dfrac{t}{2}\!+\!\dfrac{\lambda_2}{t} &\scriptstyle\text{si } t\in\mathopen]0,+\infty[\\[1ex] \end{cases}\)
Pour \(\lambda_1\!=\!\lambda_2\!=\!0:\)
\(u(t)\!=\!\dfrac{t}{2},\;{\scriptstyle t\in\mathbb{R}}\)
dérivable en 0

         



\(\vphantom{\dfrac1t_a^a}\)   \(a(t)=-\dfrac1t\)    et    \(\varphi(t)=1\)

Solution :
\(u(t) \!=\!\begin{cases} \raise -1ex {t \ln|t|\!+\!\lambda_1 t} &\raise -1ex {\!\!\scriptstyle\text{si } t\in\mathopen]-\infty,0[}\\[1ex] t \ln|t|\!+\!\lambda_2 t &\!\!\scriptstyle\text{si } t\in\mathopen]0,+\infty[ \end{cases}\)
Pour \(\lambda_1\!=\!\lambda_2\!=\!0:\)
\(u(t)\!=\!t \ln|t|,\;{\scriptstyle t\in\mathbb{R}^*}\quad u(0)=0\)
continue non dérivable en 0

         




\(\vphantom{\dfrac1t_a^a}\)   \(a(t)=\dfrac1t\)    et    \(\varphi(t)=\dfrac{1}{t + 1}\)

Solution :
\(u(t) \!=\!\begin{cases} \raise -3ex\dfrac{t-\ln|t\!+\!1|\!+\!\lambda_1}{t}\\[-0.5ex] \scriptstyle\text{si } t\in\mathopen]-\infty,-1[\\[1ex] \dfrac{t-\ln|t\!+\!1|\!+\!\lambda_2}{t}\\[-0.5ex] \scriptstyle\text{si } t\in\mathopen]-1,0[\\[1ex] \dfrac{t-\ln|t\!+\!1|\!+\!\lambda_3}{t}\\[-0.5ex] \scriptstyle\text{si } t\in\mathopen]0,+\infty[ \end{cases}\)
Pour \(\lambda_1\!=\!\lambda_2\!=\!\lambda_3\!=\!0:\)
\(u(t)\!=\!\dfrac{t-\ln|t\!+\!1|}{t}\)
si \(t\in\mathopen]-\infty,-1\mathclose[ \cup \mathopen ]-1,0\mathclose[ \cup \mathopen]-0,+\infty[\)
 
\(u(0)\!=\!0\)
dérivable en 0
pas de prolongement par continuité en 1

         


         



\(\vphantom{\dfrac1t_a^a}\)   \(a(t)=-\dfrac1t\)    et    \(\varphi(t)=\dfrac{1}{t + 1}\)

Solution :
\(u(t) \!=\!\begin{cases} \raise -1ex {(\ln|t|-\ln|t\!+\!1|\!+\!\lambda_1)t}\\[-0.5ex] \scriptstyle\text{si } t\in\mathopen]-\infty,-1[\\[1ex] (\ln|t|-\ln|t\!+\!1|\!+\!\lambda_2)t\\[-0.5ex] \scriptstyle\text{si } t\in\mathopen]-1,0[\\[1ex] (\ln|t|-\ln|t\!+\!1|\!+\!\lambda_3)t\\[-0.5ex] \scriptstyle\text{si } t\in\mathopen]0,+\infty[ \end{cases}\)
Pour \(\lambda_1\!=\!\lambda_2\!=\!\lambda_3:\)
\(u(t)\!=\!(\ln|t|-\ln|t\!+\!1|)t\)
si \(t\in\mathopen]-\infty,-1\mathclose[ \cup \mathopen ]-1,0\mathclose[ \cup \mathopen]-0,+\infty[\)
 
\(u(0)\!=\!0\)
continue non dérivable en 0
pas de prolongement par continuité en 1

         


         



\(\vphantom{\dfrac1t_a^a}\)   \(a(t)=\dfrac1t\)    et    \(\varphi(t)=t^2 \sin(t)\)

Solution :
\(u(t) \!=\!\begin{cases} \raise -1ex {(6-t^2)\cos(t)\!+\!3t\sin(t)-\dfrac{6\sin(t)\!+\!\lambda_1}{t}}\\[-0.5ex] \scriptstyle\text{si } t\in\mathopen]-\infty,0[\\[0.5ex] (6-t^2)\cos(t)\!+\!3t\sin(t)-\dfrac{6\sin(t)\!+\!\lambda_2}{t}\\[-0.5ex] \scriptstyle\text{si } t\in\mathopen]0,+\infty[ \end{cases}\)
Pour \(\lambda_1\!=\!\lambda_2\!=\!0:\)
\(u(t)\!=\!(6-t^2)\cos(t)\!+\!3t\sin(t)-\dfrac{6\sin(t)}{t}\)
\(\scriptstyle t\in\mathbb{R}\)
 
\(u(0)\!=\!0\)
dérivable en 0

         


         



\(\vphantom{\dfrac1t_a^a}\)   \(a(t)=-\dfrac1t\)    et    \(\varphi(t)=t^2 \sin(t)\)

Solution :
\(u(t) \!=\!\begin{cases} \raise -1ex {t \sin(t)-t^2 \cos(t)\!+\!\lambda_1 t}\\[-0.5ex] \scriptstyle\text{si } t\in\mathopen]-\infty,0[\\[0.5ex] t \sin(t)-t^2 \cos(t)\!+\!\lambda_2 t\\[-0.5ex] \scriptstyle\text{si } t\in\mathopen]0,+\infty[ \end{cases}\)
Pour \(\lambda_1\!=\!\lambda_2\!=\!\lambda:\)
\(u(t)\!=\!t \sin(t)-t^2 \cos(t)\!+\! \lambda \,t\)
\(\scriptstyle t\in\mathbb{R}\)
dérivables en 0

         




\(\vphantom{\dfrac1t_a^a}\)   \(a(t)=-\dfrac2t\)    et    \(\varphi(t)=t^3 \sin(t)\)

Solution :
\(u(t) \!=\!\begin{cases} \raise -1ex {t^2 \sin(t)-t^3\cos(t)\!+\!\lambda_1 t^2}\\[-0.5ex] \scriptstyle\text{si } t\in\mathopen]-\infty,0[\\[0.5ex] t^2 \sin(t)-t^3\cos(t)\!+\!\lambda_2 t^2\\[-0.5ex] \scriptstyle\text{si } t\in\mathopen]0,+\infty[ \end{cases}\)
\(u(0)=0\)
dérivables en 0

         




\(\vphantom{()_p^b}\)   \(a(t)=\tan(t)\)    et    \(\varphi(t)=\cos(t)\)

Solution :
\(u(t)\!=\!(t\!+\!\lambda_k)\cos(t)\)
\(t\!\in\!\mathopen]-\pi/2+k\pi,\pi/2+k\pi[,\, k\!\in\!\mathbb{Z}\)
Pour \(\lambda_k\!=\!\lambda:\)
\(u(t)\!=\!(t\!+\!\lambda)\cos(t)\)
\(\scriptstyle t\in\!\mathbb{R}\)
dérivables en tous les \(\frac{\pi}{2}\!\!+\!k\pi,\;k\!\in\!\mathbb{Z}\)

         




\(\vphantom{\dfrac1t_p^b}\)   \(a(t)=\dfrac1t\)    et    \(\varphi(t)=\dfrac{\mathrm{e}^t}{t}\)

Solution :
\(u(t) \!=\!\begin{cases} \raise -2.5ex {\dfrac{\mathrm{e}^t\!+\!\lambda_1}{t}} &\raise -2.5ex {\scriptstyle\text{si } t\in\mathopen]-\infty,0[}\\[0.5ex] \dfrac{\mathrm{e}^t\!+\!\lambda_2}{t} &\scriptstyle\text{si } t\in\mathopen]0,+\infty[ \end{cases}\)
Pour \(\lambda_1\!=\!\lambda_2\!=\!\!-\!1:\)
\(u(t)\!=\!\dfrac{\mathrm{e}^t-1}{t},\;\scriptstyle t\in\!\mathbb{R}^*\)
\(u(0)\!=\!1\)
dérivable en \(0\)

         




\(\vphantom{\dfrac1t_p^a}\)   \(a(t)=\dfrac{1}{\mathrm{e}^t-1}\)    et    \(\varphi(t)=1\)

Solution :
\(u(t) \!=\!\begin{cases} \raise -2.5ex {\dfrac{(t\!+\!\lambda_1)\mathrm{e}^t\!+\!1}{\mathrm{e}^t-1}} &\raise -2.5ex {\scriptstyle\text{si } t\in\mathopen]-\infty,0[}\\[0.5ex] \dfrac{(t\!+\!\lambda_2)\mathrm{e}^t\!+\!1}{\mathrm{e}^t-1} &\scriptstyle\text{si } t\in\mathopen]0,+\infty[ \end{cases}\)
Pour \(\lambda_1\!=\!\lambda_2\!=\!\!-\!1:\)
\(u(t)\!=\!t-1\!+\!\dfrac{t}{\mathrm{e}^t-1},\;\scriptstyle t\in\!\mathbb{R}^*\)
\(u(0)\!=\!0\)
dérivable en \(0\)

         





   
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