I. Résultats généraux



Soit \(I\) un intervalle fermé de \(\mathbb{R},\) \(f:I\rightarrow I\) une application et \(u_0\!\in\! I.\) La relation de récurrence \(u_{n+1}=f(u_n),\) \(\,n\!\in\!\mathbb{N},\) définit correctement une suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) à valeurs dans \(I.\)


Proposition




Supposons \(f\) continue.
Si la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est convergente, alors sa limite \(\ell\!\in\!I\) est un point fixe de \(f :\) \(f(\ell)=\ell.\)






Proposition




Supposons \(f\) croissante.
  • Si \(u_0\!\leqslant\! u_1,\) alors la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est croissante.
  • Si \(u_0\!\geqslant\! u_1,\) alors la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est décroissante.






Proposition




Supposons \(f\) décroissante.
Alors les suites \((u_{2n})_{n\in\mathbb{N}}\) et \((u_{2n+1})_{n\in\mathbb{N}}\) (régies par \(f\!\boldsymbol{\circ}\!f\)) sont monotones de variations contraires.






Thérème du point fixe




Supposons \(f\) strictement contractante sur \(I,\) i.e. qu'il existe un \(k\!\in\![0,1[\) tel que pour tout \(x_1,x_2\!\in\!I,\) \(|f(x_1)-f(x_2)|\!\leqslant\! k|x_1-x_2|.\)
Alors, \(f\) admet un unique point fixe \(\ell\!\in\!I\) et la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) converge vers \(\ell.\)
De plus :

\(\forall n\!\in\!\mathbb{N},\;|u_n-\ell|\leqslant Ak^n\)

avec \(A=\min(|u_0-\ell|,\frac{\lower 1ex 1}{1-k}|u_1-u_0|).\)




Supposons \(f\) dérivable sur \(I\) telle que \(\sup_{x\in I} |f'(x)|\!<\!1.\)
Alors \(f\) est strictement contractante sur \(I.\)



Supposons \(f\) dérivable sur un voisinage d'un point fixe \(\ell\!\in\!I\), de classe \(\mathcal{C}^1\) en \(\ell\) telle que \(|f'(\ell)|\!<\!1.\)
Alors \(f\) est strictement contractante sur un voisinage de \(\ell.\)






   
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