Équations différentielles ordinaires

pour les épreuves (orales) d'analyse et de modélisation (calcul scientifique)

Extraits du programme officiel :

VIII - Calcul différentiel

3 - Équations différentielles

Équations différentielles de la forme x'= f(t,x). Théorème de Cauchy-Lipschitz. Solutions maximales. Dépendance par rapport aux conditions initiales, par rapport à un paramètre. Exemples classiques d'intégration par quadratures. Systèmes différentiels linéaires. Méthode de variation de la constante. Cas des coefficients constants. Équations différentielles linéaires d'ordre supérieur à un.

VIII - Géométrie différentielle

2 -  Applications de l'analyse à la géométrie

... Systèmes différentiels X'= f(X). Courbes intégrales d'un champ de vecteurs.

Calcul numérique et symbolique

2 - Équations différentielles ordinaires et aux dérivées partielles

Aspects numériques du problème de Cauchy. Méthodes à un pas : consistance, stabilité, convergence, notion d'ordre; exemples de méthodes d'ordre élevé et de méthodes implicites.

Ouvrages recommandés :

Analyse théorique:

Arnold [1,], Avez [3].

Analyse théorique et applications fondamentales:

Hirsch et Smale [8], Chicone [5].

Analyse théorique et numérique:

Crouzeix et Mignot [6], Demailly [7].

Applications appliquées:

Murray [9], Braun [4].

Références

[1]

V. Arnold. Équations différentielles ordinaires. Éditions Mir, Moscow, 1974. Champs de vecteurs, groupes à un paramètre, difféomorphismes, flots, systèmes linéaires, stabilités des positions d'équilibre, théorie des oscillations, équations différentielles sur les variétés, Traduit du russe par Djilali Embarek.

[2]

V. Arnold. Chapitres supplémentaires de la théorie des équations différentielles ordinaires. ``Mir'', Moscow, 1984. Translated from the Russian by Djilali Embarek, Reprint of the 1980 edition.

[3]

A. Avez. Calcul différentiel. Collection Maî trise de Mathématiques Pures. Masson, Paris, 1983.

[4]

Martin Braun. Differential equations and their applications, volume 11 of Texts in Applied Mathematics. Springer-Verlag, New York, fourth edition, 1993. An introduction to applied mathematics.

[5]

Carmen Chicone. Ordinary differential equations with applications, volume 34 of Texts in Applied Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1999.

[6]

Michel Crouzeix and Alain L. Mignot. Analyse numérique des équations différentielles. Collection Mathématiques Appliquées pour la Maî trise. Masson, Paris, 1984.

[7]

Jean-Pierre Demailly. Analyse numérique et équations différentielles. Collection Grenoble Sciences. Presses Universitaires de Grenoble, Grenoble, 1996.

[8]

Morris W. Hirsch and Stephen Smale. Differential equations, dynamical systems, and linear algebra. Academic Press [A subsidiary of Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], New York-London, 1974. Pure and Applied Mathematics, Vol. 60.

[9]

J. D. Murray. Mathematical biology. I, volume 17 of Interdisciplinary Applied Mathematics. Springer-Verlag, New York, third edition, 2002. An introduction.

Article accessible :

Le théorème de Poincaré-Bendixson   par Serge Cantat, Journal de maths des élèves de l'ENS Lyon, volume 1, numéro 3, 1995.