Séminaire  "Théorie des Modèles"

Archives 2002-2003

 "Towards #P Universality" Par Somenath Biswas (IIT Kanpur)

 Abstract:  Universality was defined in the context of NP to characterize the structural properties of a language that will guarantee the language to be complete for NP. These properties also explain how 3SAT, the canonical NP-complete language reduces to such an NP universal language. Recently, Chakravorty and Kumar have proposed a definition of universality for the #P. After recapitulating a couple of typical #P-completeness proofs, we discuss in this talk the definition of Chakravorty and Kumar, and their result that a language universal in this sense will necessarily be #P-complete.

 "Sur la conjecture d'Erdös et Woods" Par  Ercan Baysalov

Résumé: La suite des entiers m, m+1, ..., m+k; n, n+1, ...,n+k s'apelle d'Erdös-Woods (de longeur k), si m+i et n+i ont les mêmes diviseurs premiers pour chaque i.
La conjecture (P. Erdös, A. Woods): Il n'existe pas de suite d'Erdös-Woods de longueur k pour quelque k. Je voudrai présenter le début de la classification des quartets d'Erdös-Woods, i.e. des suites d'Erdös-Woods de longueur 1.

"Dérivations localement nilpotentes." Par Ualbai Umirbaev (Novosibirsk)

"L'amalgame simple ne l'est pas !" Par Frank Wagner

Résumé: Je reporterai sur un résultat de David Evans, suivant lequel le modèle générique de la construction d'amalgamation simple de Hrushovski peut interpréter les graphes finis, et a donc la propriété d'ordre stricte.

"Elementary Properties of Rogers Semilattices" Par Serikzhan Badaev

Abstract : It is a very usual practice in logic when the elements of a family of constructive objects described by programs, formulas, and so on are identified with their indices in some regular codings by natural numbers. This is a motivation for introducing and study the notion of computable numberings of the families of sets of natural numbers.

"Effective o-minimality of the real exponential field and related structures"(Joint work with Tamara Servi.)  Par Alessandro Berarducci (Pisa)

Abstract: Wilkie (1999) proved that any expansion of the ordered field of real numbers with a chain of Pfaffian functions is o-minimal. We prove an effective version of this result obtaining recursive (even primitive recursive) bounds on the number of connected components of a definable set. Our results apply in particular to the field of real numbers with the exponential function, and are motivated by the (open) problem of the decidability of the complete theory $T_{\exp}$ of this structure. By our results there is a recursively axiomatized subtheory $T$ of $T_{\exp}$ such that all the models of $T$ are o-minimal. If we add to $T$ the differential equation for the exponential function, we obtain a candidate for a recursive axiomatization of $T_{\exp}$. We can prove that our candidate is complete, and therefore $T_{\exp}$ is decidable, under the conjecture that a certain problem raised by van den Dries (1993) has a positive answer. The conjecture states that, given a language $L$ expanding the language of ordered rings, if an $L$-sentence is true in every $L$-structure expanding the ordered field of real numbers, then it is true in every o-minimal $L$-structure expanding a real closed field.

"L'existence des sous-groupes de Carter." Par Eric Jaligot (Paris 7)

Résumé: Un sous-groupe de Carter d'un groupe de rang de Morley fini est un sous-groupe définissable, connexe, nilpotent et d'indice fini dans son normalisateur. J'expliquerai pourquoi il y a des sous-groupes de Carter dans n'importe quel groupe de rang de Morley fini. C'est un travail récent avec Frecon, basé sur la notion de 0-unipotence introduite dans la thèse de Burdges.

"Transfer methods for o-minimal fields."  Par Margareta Otero (Univ. Autonoma de Madrid)

Abstract: (Joint work with Alessandro Berarducci.) An o--minimal field is a field M equipped with a dense linear order and maybe more structure in which the definable subsets of M are finite union of intervals (a,b) with a,b in $M \cup \{\pm \infty \},$ and points.
I will show, with some examples, how some basic topological properties can be ``transferred" between o-minimal fieldsand the real field, and how this can be applied to the study of definable sets.

"Une fonction de Kolchin pour les corps de degré d'imperfection fini." Par Françoise Delon (Paris 7)

Résumé: Dans un corps K de caractéristique p positive, l'ensemble K^p des éléments qui sont des puissances p-ièmes forme un sous-corps de K. Nous considérons le cas où il existe b₁,...,b_\nu dans K vérifiant K=K^p[b₁,...,b_\nu] et, pour chaque i dans {1,\dots,\nu}, b_i n'appartient pas à K^p[b__j, j dans {1,\dots,\nu}, j différent de i], \nu est alors appelé le degré d'imperfection de K. Soit, pour chaque entier n, (m_i)_{{i dans p^n\nu}} l'ensemble des monômes en b₁,\dots,b_\nu de degré < pⁿ en chaque b_i. Si l'on considère un surcorps L de K vérifiant également L=L^p[b₁,...,b_\nu] et b_i n'appartient pas à L^p[b_j, j dans {1,\dots,\nu}, j différent de i], chaque élément de L s'écrit de façon unique

x =\Sigma_{i dans p^n\nu} x_iⁿm_i pour des x_i dans L.
La fonction de Kolchin, f : N ---> N, associée à x et K est définie ainsi : f(n) est le degré de transcendance de {x_i, i dans p^n\nu} sur K. Nous utilisons cet outil pour étudier la stabilité des corps séparablement clos de degré d'imperfection \nu.

Abstract: The Vaught Conjecture, dating to 1961, states that every first-order theory has finitely many, countably many or continuously many distinct countable models. Morley proved in 1970 that any counterexample has exactly aleph 1 countable models. Morley's paper also provides a reformulation of the Vaught Conjecture so that the Continuum Hypothesis does not prove it trivially. We describe a counterexample.

"Quelques idées d'indépendence pour les corps algébriquement clos valués". Par Deirdre Haskell (MacMaster University, Canada)

Résumé: La définition d'indépendence liée au rang de Morley ne marche pas pour une théorie non-omega-stable comme la théorie d'un corps algébriquement clos valué. Mais on peut définir des notions d'indépendence qui sont équivalentes à l'indépendence classique pour un corps algébriquement clos pur, et qui se géneralisent au cas d'un corps muni d'une valuation. Dans cet exposé, je vais présenter plusieurs exemples où on verra que les notions d'indépendence considérées peuvent être différents et on donnera un critère pour qu'elles coincident.

"Spectra of module categories". Par Mike Prest (Manchester University, Royaume-Uni)

Abstract:  I will talk about topological and geometric structures which can be attached to the category of modules over any ring.  These structures arose from the model-theoretic study of modules but turn out to have many algebraic applications.  I will also discuss extensions to associated (functor- and derived) categories.

"Un théoreme sur les 2-Sylow". Par Tuna Altinel (IGD)

Résumé: Certaines configurations contradictoires des 2-Sylow d'un groupe simple de rang de Morley fini disparaissent plus facilement si les sections définissables, connexes et de type dégénéré du groupe ambiant sont résolubles parce qu'il est plus facile de linéariser certaines actions des groupes résolubles. Je ferai quelques remarques sur un cas ou l'hypothèse de résolubilité n'est pas retenue.

 "Fonctions de Frobenius à valeurs entières dans les vecteurs de Witt". Par Luc Belair (UQAM, Québec, en visite à Paris7)

Résumé : J'exposerai une axiomatisation des vecteurs de Witt munis de leur Frobenius, et une caractérisation des fonctions rationnelles de Frobenius à valeurs entieres, analogue � celle de Kochen pour les fonctions rationnelles dans les nombres p-adiques (qui est une sorte de 17e problème de Hilbert p-adique).

"Quelques remarques sur la monobaséitude." Par Frank Wagner (IGD)

Résumé: Un type analysable en types monobasés dans une théorie simple est encore monobasé. Cela reste vrai si on remplace la notion de clôture borné par une notion plus générale de Sigma-clôture, où Sigma est une classe de types partiaux invariante sur vide.

"Réduits des théories triviales." Par Bruno Poizat (IGD)

"Stably dominated types and algebraically closed valued fields." Par Dugald Macpherson (Université de Leeds)

Abstract:  I'll talk about the independence theory, but more generally talk about the situation, say in an unstable theory, where independence is dominated by independence in certain stable stably embedded definable sets.

"Regularly closed fields and relatively projective groups." Par Jochen Koenigsmann(Université de Constance)

Abstract: A field K is regularly closed if it satisfies a local-global-principle for rational points on varieties with respect to a family of "localizers" (e.g. real closures or henselisations).
As a borderline case this includes PAC-fields, where the family of localizers is empty. Regularly closed fields have been widely studied in the model theory of valued fields. In this talk I shall present a recent result determining the absolute Galois group of regularly closed fields in terms of the absolute Galois groups of the localizers. This generalizes corresponding results on PAC-fields due to Ax, Ershov, Lubotzky and van den Dries.

"Injectivité implique surjectivité, Prinicipe d'Ax, cas réel." Par Krzysztof Kurdyka (Université de Savoie)

Résumé: Il y a 40 ans Bialynicki-Birula & Rosenlicht ont montré que toute application polynomiale injective de R^n dans R^n est surjective. Ensuite J. Ax (1969) a généralisé ce résultat  pour les applications injectives et régulières f:X-->X,  lorsque X est un ensemble algébrique (sur un corps alg. clos) possiblement avec singularités. Par des arguments de théorie  des models il a réussi de réduire l'énoncé au cas ou X est fini.  Dans le cas réel A. Borel (1969) a montré le résultat dans le cas ou X est nonsingulier. Le cas réel X avec singularités a  été résolu par moi seulement en 1999. L'argument principale est  une décomposition fini d'un ensemble algébrique réel en composantes symétriques par arcs qui plus proche de cas algébriquement clos. Y a-t-il des points comuns dans toutes ces preuves?

"Hrushovski's amalgamation method" Par Massoud Pourmahdian (Université d'Edimbourgh)

Abstract: In this talk we review various aspects of Hrushovski's amalgamation method. In particular we show how this method can be used to construct a simple homogeneous model, refuting a form of the stabe forking conjecture. Furthermore, we point out Zilber's result on implementing of this method to construct an $\omega$-stable theory with an "analytic" model.

"Rangs et notions de type générique dans les corps différentiellement clos". Par Franck Benoist (Paris 7)

Résumé: Apres avoir rappelé les premières propriétés de la théorie des corps différentiellement clos de caractéristique 0 (CDC_0),  on définira certains des rangs naturels pour cette théorie. On s'intéressera alors aux différentes notions de "types génériques" induites par ces différents rangs, et  plus particulièrement pour les groupes définissables dans la théorie CDC_0.

jeudi 24 octobre   (à 10h15 à la Doua en salle 112 du batiment 101)

"L^*-groupes de type pair"   Par Tuna Altinel (IGD)

"Groupes pseudo-finis menus"   Par Frank Wagner (IGD)

"Structures fortement minimales triviales"   Par Thomas Blossier (IGD)

"Quelques mauvais corps de rang de Morley infini"   Par Bruno Poizat (IGD)

"Simplicité et épaisseur"   Par Itay Ben-Yaacov

Résumé: Je vais parler des suites indiscernables, et de la notion liee d'epaisseur. Cela sera suivi par le developpenent de la theorie de l'independence dans les chats epais simples: extension, symmetrie, transitivite, et le theoreme de l'independence. Si le temps le permets, je parlerai aussi de ce qui arrive dans ce cas aux groupes definissables.

"Theorie des modèles positive"   Par Itay Ben-Yaacov

Abstract: Je presenterai les notions de base de la theorie des modeles positive: un fragment positif du langage (de premier ordre), un domaine universel, une theorie compacte abstraite (un chat) etc., que je vais illustrer avec les exemples des sortes hyperimaginaires et les espaces de Hilbert. Je parlerai des espaces des types et leur proprietes. S'il me reste du temps, je discuterai aussi de la construction reciproque, c.a.d. celle d'un chat a partir de ses espaces de types.
Par la suite je compte aborder la simplicite, le but etant de developper tous les resultats de base de la theorie de la simplicite (les propriete de l'independance, bases canoniques, groupes simples) dans le cadre des chats epais.