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Séminaire de théorie des modèles |
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ProgrammeExposés à venir :jeudi 15 février à 10h, Alexandre Rambaud, Mons. Modèles premiers et problème de décidabilité dans certaines classes quasi-analytiques réelles.Résumé : Dans un premier temps, j'indiquerai comment éliminer les constantes réelles superflues utilisées pour prouver l'élimination des quantificateurs dans les classes quasi-analytiques réelles adéquates. Ceci permet d'expliciter le modèle premier pour chacune de ces classes, répondant ainsi, par exemple, à la question de décrire le modèle premier de l'exponentielle restreinte sur R. Dans un second temps, j'expliquerai comment les résultats précédents permettent de s'attaquer à des problèmes de décidabilité dans ces classes quasi-analytiques; comme conséquence, j'esquisserai une autre démonstration du résultat de Wilkie qui relie la décidabilité de la théorie de l'exponentielle restreinte sur R et la récursivité du diagramme simple de cette théorie. jeudi 22 février à 10h, Marcus Tressl, Regensburg: Heirs and coheirs in real closed fields. Exposés passés :jeudi 28 septembre à 10h, Itaï Ben Yaacov, ICJ : Ensembles définissables et axiomes pour les algèbres de Von Neumann.jeudi 5 octobre à 10h, Pietro dello Stritto, Leeds: Buildings of finite Morley rank jeudi 12 octobre à 10h, Jeff Burdges, ICJ: Conjugacy of Semisimple Sylow p-subgroups jeudi 19 octobre à 10h, Ozlem Beyarslan, Paris 7 : Random huypergraphs and Pseudofinite fields Abstract : A pseudofinite field is an infinite model of the theory of all finite fields. A random n-hypergraph is a set X with a symmetric irreflexive n-ary relation R such that for any two finite disjoint subsets A and B of $[X]^{n-1}$, there is some x in X such that R(a,x) and not R(b,x) for all a in A and b in B. In 1980 Duret proved that the theory of pseudofinite fields is not stable by interpreting a random binary graph in any model. We will show that a random n-hypergraph can be interpreted in any given pseudofinite field. jeudi 26 octobre à 10h, Cédric Milliet, ICJ : Corps Gauches menus Résumé : Un corps menu de caracteristique positive est commutatif. Les théories menues apparaissent naturellement lorsque l'on s'intéresse à la conjecture de Vaught (une théorie qui a moins de modèles que le nombre maximal est en effet menue). La question de savoir si un corps menu est commutatif apparait dans [W] ou F. Wagner démontre : Fait : un corps menu infini est algébriquement clos. Rappelons qu'une théorie T est dite menue si l'ensemble S(T) de ses types purs est au plus dénombrable. Les théories menues sont dotées du rang de Cantor-Bendixson, analogue faible du rang de Morley dans les théories w-stables, lequel rang permet d'établir certaines conditions de chaines descendantes. Ces conditions de chaines, couplées au fait précédent nous meneront au résultat. [W] F.O. Wagner, Small Fields, The Journal of Symbolic Logic, vol.63,n3, 1998 jeudi 16 novembre à 10h, Sonia L'Innocente, Londres : Model Theory and Lie Algebras: Infinite dimensional representations over sl2(K). Abstract This report aims at illustrating some results of a joint work with Ivo Herzog [2], devoted to a model theoretic investigation of the so called pseudofinite dimensional representations of sl2(K), the Lie algebra of trace zero 2 × 2 matrices over an algebraically closed field K of characteristic zero. They were introduced by [1] as infinite dimensional representations such that they satisfy every first-order sentence of the theory of finite dimensional representations of sl2(K). It is known that its endomorphism ring is a field extension K_V of K, so we want to characterize all elements of this field K_V . Here some intriguing connections with exponentiation arise. We also discuss some open problems in this framework. Furthermore, we discuss the possible generalization of [1] to the framework of quantized universal enveloping algebra Uq where the parameter q is not a root of unity. References [1] I. Herzog, The pseudo-finte dimensional representations of sl(2, k), SelectaMathematica, 7 (2001), 241-290 [2] S. L'Innocente, I. Herzog, Pseudo-finite dimensional representation over sl2(K) and exponentiation, in progress jeudi 23 novembre à 10h, Giuseppina Terzo, Naples : Some consequences of Schanuel's Conjecture in exponential algebra. Abstract : In last years Schanuel's Conjecture (SC) has played a fundamental role in the Theory of Transcendental Numbers and on in decidability issues. Macintyre and Wilkie proved the decidability of (R, exp(x)) modulo (SC), solving in this way a problem left opened by A. Tarski. Moreover, Macintyre proved that the exponential subring of R generated by 1 is free on no generators. In this line of research we obtained that in the exponential ring (C, exp(x)), there are not further relations except i² = -1 and exp(ix) = -1 modulo SC. Assuming Schanuel's Conjecture we proved that the E-subring of R generated by is isomorphic to the free E-ring on. These results have consequences in decidability issues both on (C, exp(x)) and (R, exp(x)). In a more abstract context we characterize those exponential polynomials over a pseudo-exponential field of Zilber which do not have any solution. Our generalizes to a Zilber's field the result of Henson and Rubel for the exponential complex field, but our proof is purely algebraic. jeudi 30 novembre à 10h, Paul Baginski, Berkeley : Stable, Aleph_0-Categorical Algebraic Structures Abstract : In the study of stable, aleph_0-categorical algebraic structures, it was shown independently by Felgner in 1978 and by Baur, Cherlin and Macintyre in 1979 that a stable, aleph_0-categorical group is nilpotent by finite. In this talk, we discuss the analogous question for rings. We will provide a new proof that a stable, aleph_0-categorical ring is nilpotent by finite. Despite the same terminology, the notion of nilpotence for rings is much different than nilpotence for groups. A ring is nilpotent if there is an integer n such that the product of any n elements is zero. This theorem was originally proven by Baldwin and Rose, with major contributions from Sabbagh, Felgner, Cherlin, Reineke and others. The new proof that we will present was sketched by Frank Wagner and the details have been worked out by Thomas Scanlon and myself. Our ring is not assumed to be commutative and does not need to have a multiplicative identity. jeudi 7 décembre à 10h, Bruno Poizat, ICJ : Une expression de taille polynomiale en n de la factorielle d'un nombre de n chiffres. Résumé : Nous définissons une classe de suites de polynômes, calculés par des circuits de complexité polynomiale comprenant des additions, des soustractions, des multiplications et des sommations de Valiant. Nous montrons que cette classe est close pour la prise de la fonction-coefficient (qui sera définie dans l'exposé). Nous en déduisons l'existence d'un circuit de complexité 25.n³ calculant la factorielle d'un nombre de n chiffres, donné en base deux ; la présence de (n+1)2 sommations exponentielles dans le circuit en affecte gravement l'intérêt pratique. Il est peu probable, ou du moins peu souhaitable, qu'on puisse éliminer ces sommations sans explosion, car cela provoquerait la catastrophe cryptographique que redoutent tous les banquiers ; néanmoins, nous ne savons pas séparer la classe définie ici de celle des suites de polynômes calculables en un nombre polynomial d'opérations arithmétiques ; cela n'a rien de surprenant, vu les affinités qu'elle présente avec la classe PSPACE. jeudi 14 décembre à 10h, Abderezak Ould Houcine, ICJ : Sur les groupes superstables ayant des propriétés résiduelles. Résumé : Soit $C$ une pseudovariété. Je démontrerai qu'un groupe $G$ superstable et résiduellement-$C$ a une série finie $G_0 \leq \cdots \leq G_n=G$ telle que $G_0$ est résoluble et chaque quotient $G_i/G_{i+1}$ est dans $C$, et si $G$ est $\omega$-stable on peut prendre $G_0$ nilpotent. En particulier un groupe superstable et résiduellement fini est resoluble-par-fini, et s'il est $\omega$-stable alors il est nilpotent-par-fini. jeudi 4 janvier à 10h, Thomas Blossier, ICJ : Un bon corps vert. (Travail en collaboration avec A. Martin-Pizarro) Résumé: On répond positivement à la question (ii) posée par B. Poizat dans L'égalité au cube (page 4 version Word). jeudi 11 janvier à 10h, Jean-Pierre Ressayre, Equipe de logique Paris 7 et CNRS. o-minimality and implicit definability of limits (exposé en français sous-titres anglais) Abstract : Let E be a class of functions over the reals with arguments in $[0,1]$; assume for each function f of E either that f is smooth and definable inside an o-minimal polynomially bounded expansion of the field of reals, or that f is the limit of an absolutely convergent generalized power series with real coefficients and exponents. We prove model completeness and effective witnessing results for the restriction of E to $]0,1[$. As a corollary we obtain for every element f of E with $k$ arguments that the restriction of f to the boundary of $[0,1]^k$ is piecewise implicitly definable from the restriction to $]0,1[^k$ of f, of its iterated partial derivatives and of the real power functions that are definable from f. jeudi 25 janvier à 10h, Alice Medvedev, Berkeley: Fine structure in ACFA. Abstract : ACFA, the model-companion of the theory of difference fields, is a supersimple theory whose minimal sets satisfy Zilber's trichotomy. We explore definability of the three cases of the trichotomy, and of non-orthogonality in general, for minimal sets defined by formulas of the form $\sigma(x) = f(x)$ for some rational function $f$. We show that the group-like case of the trichotomy is definable. Since it is known that the field-like case is definable, this makes all three cases of the trichotomy definable. Indeed, our techniques yield definitions of each of the three kinds of group cases -- additive, multiplicative, or elliptic. We also show that non-orthogonality between two given minimal sets is definable within the multiplicative case but not within the elliptic case. jeudi 1 février à 10h, Frank Wagner, ICJ: Groupes définissables dans les corps colorés libres. jeudi 8 février à 10h, Olivier Le Gal, Dijon: Modèle complétude des structures o-minimales polynomialement bornées. Résumé : Soit F une quasi-algèbre différentielle de fonctions définissables dans une structure o-minimale et polynomialement bornée. On montre la modèle complétude de la structure engendrée par F. Il s'agit d'une extension du théorème du complémentaire explicite de A. Gabrielov de 96. Années passées : 2005-06 / 2004-05 / 2003-04 / 2002-03 / 2001-02 / 2000-01/ 1999-00 / 1998-99 / 1997-98 / 1996-97 / 1995-96
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