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Nous étudions dans ce papier une version massive du système de Klein-Gordon-Maxwell statique. Pour ce système, la dimension critique est 4. Nous démontrons dans cette dimension la stabilité des ondes stationnaires tant que la phase ne se trouve pas dans un intervalle donné dépendant de la courbure scalaire de la variété. Nous améliorons des résultats de Hebey-Truong. 

Le système des contraintes d'Einstein-Lichnerowicz ici étudié provient de la théorie de la relativité générale. Lorsqu'on étudie l'équation d'Einstein dans le cadre d'une théorie de champ scalaire et qu'on la voit comme un problème de Cauchy, on choisit une tranche d'espace comme données initiales. Sur celle-ci, des contraintes de courbure sont données. Ce système des contraintes est alors un système de 4 équations (une scalaire et une vectorielle) en dimension 3. Or il y a 14 inconnues. le rêve serait alors de paramétrer l'ensemble des solutions de ce système des contraintes par 10 paramètres. Qui plus est, le rêve serait de le faire de manière stable (i.e. une petite perturbation de ces 10 paramètres n'engendre pas de modifications notables des 4 inconnues restantes). La méthode la plus classique a été introsuite par Lichnerowicz et s'appelle la méthode conforme. Celle-ci n'est pas tout-à-fait adaptée en présence d'un champ scalaire (il n'y a pas unicité et parfois même non-existence de solutions pour les 4 inconnues restantes. Dans ce papier, nous étudions la question de la stabilité de ce paramétrage. Et nous montrons qu'il est en effet stable en dimension 3. Ici, nous ne le montrons pour des raisons techniques que sur la sphère de dimension 3. Ces résultats ont été étendus à des variétés plus générales et aux autres dimensions par B. Premoselli. Il convient de noter que cette stabilité cesse d'être vraie en dimensions plus grandes que 6 (Premoselli-Wei). 

Nous reprenons dans ce papier l'étude commencée dans la référence 29 sur la stabilité de l'obstruction de Pohozaev en dimension 3. Nous obtenons cette fois-ci des résultats optimaux de stabilité par perturbation du domaine. 

Soit $\Omega$ un domaine régulier de ${\mathbb R}^n$. On s'intéresse à l'équation $$\Delta_\xi u + \varepsilon u = u^{\frac{n+2}{n-2}}\hbox{ dans }\Omega,\, \partial_\nu u=0\hbox{ sur }\partial\Omega$$ Lin-Ni avait demandé si, pour $\varepsilon$ petit, la seule solution était la solution constante. La réponse est en général non. Des solutions non constantes ont été construites dans de nombreux cas par différents auteurs.
Ici, nous démontrons que la conjecture est vraie moyennant une restriction sur l'énergie : en dimensions $n=3$ ou $n\ge 7$, étant donné $\Lambda>0$, il existe un seuil $\varepsilon$ (dépendant de $\Lambda$) à partir duquel la seule solution d'énergie plus petite que $\Lambda$ est la solution constante dès que la courbure moyenne du bord de $\Omega$ est partout strictement positive.
Il faut remarquer que toutes les hypothèses de notre théorème (dimensions, courbure du bord, bornes sur l'énergie) sont optimales comme démontrées par les nombreux résultats de construction cités dans notre papier. Ce long mémoire permet donc d'avoir un panorama complet sur cette question de Lin-Ni.

Ce texte est issu de mon mémoire d'habilitation à diriger des recherches. Nous y introduisons la notion de stabilité d'une équation aux dérivées partielles elliptiques, notion différente de celle plus classique de stabilité d'une solution d'une équation. Nous étudions précisément cette notion sur un exemple et donnons rapidement quelques résultats à propos d'autres équations.

Nous obtenons des résultats d'existence et de stabilité par phase pour le système de Klein-Gordon-Maxwell. Ce système est celui que vérifient des ondes stationnaires dans le système de Klein-Gordon-Maxwell-Proca. Il s'écrit dans notre cas $$\left\{\begin{array}{l} {\Delta_g u + a u = u^{p-1}+\omega^2\left(qv-1\right)^2 u}\\ \, \\{ \Delta_g v + \left(\lambda + q^2u^2\right)v = qu^2}\end{array}\right.$$ La fonction $v$ qui apparaît dans le potentiel de l'opérateur de la première équation est gouvernée par la seconde équation, non-linéaire en $u$. Nous étudions cette équation à la fois lorsque $p<\frac{2n}{n-2}$ est sous-critique mais également lorsque $p=\frac{2n}{n-2}$. Dans ce cas, la deuxième équation est légèrement sous-critique en dimension $3$, critique en dimension $4$ et sur-critique en dimensions $n\ge 5$.

Nous étudions ici les systèmes de la référence 28 sans borne a priori sur l'énergie. Nous obtenons des résultats de compacité/stabilité sous des hypothèses un peu plus restrictives sur la matrice de couplage. Ce papier contient une classification des solutions du système $$\Delta u_i = \left(\sum_{j=1}^p u_j^2\right)^{\frac{2}{n-2}}u_i$$ dans l'espace ${\mathbb R}^n$ tout entier. Le cas scalaire correspond au résultat de classification bien connu de Caffarelli-Gidas-Spruck.

Nous jetons dans ce papier une nouvelle lumière sur le phénomène de petites dimensions en EDP elliptiques découvert par Brezis-Nirenberg. Si $\Omega$ est un domaine de ${\mathbb R}^n$, on considère l'équation
$$\Delta_\xi u + h u = u^{\frac{n+2}{n-2}}$$ où $h\in C^1\left(\Omega\right)$. Si $h$ vérifie $$x^k\partial_k h + \frac{n-2}{2}h\ge 0\hbox{ dans }\Omega$$ et si $\Omega$ est étoilé par rapport à $0$, l'équation ci-dessus n'admet pas de solution positive non-triviale. C'est la célèbre obstruction de Pohozaev.
Nous démontrons ici que ce résultat de non-existence reste vrai par perturbation $C^{0,\eta}$ de la fonction $h$ en dimension $3$ alors que, bien entendu, l'inégalité ci-dessus n'est pas stable par perturbation $C^{0,\eta}$. Ce résultat n'est plus vrai en dimensions $n\ge 4$. Il est optimal car il n'est plus vrai non plus par perturbation $L^\infty$ de la fonction $h$.

Nous étudions ici la stabilité de systèmes d'EDP elliptiques à croissance de Sobolev critique dans le cas fortement couplé sur des variétés riemanniennes compactes. Nous considérons des solutions $u\in C^\infty\left(M,{\mathbb R}^p\right)$ dont toutes les composantes sont positives ou nulles au système $$\Delta_g u_i +\sum_{j=1}^p a_{ij}u_j = \left(\sum_{j=1}^p u_j^2\right)^{\frac{2}{n-2}}u_i$$ sur une variété riemannienne compacte $(M,g)$ de dimension $n\ge 3$. Ici, les $a_{ij}$ sont des fonctions régulières sur $M$. Le couplage a lieu à la fois par l'intermédiaire de cette matrice de couplage $\left(a_{ij}\right)$ et par la non-linéarité.
Nous disons qu'un tel système est stable si pour une matrice de couplage $\tilde{a}_{ij}$ proche de $a_{ij}$ en norme $C^1$, toutes les solutions du système perturbé sont proches de solutions du système initial. Nous démontrons des résultats de stabilité moyennant des hypothèses très faibles sur la matrice de couplage.
Les méthodes utilisées sont des méthodes d'analyse asymptotique de suites de solutions de tels systèmes. Nous décomposons ces suites de solutions en une limite faible plus une somme de profils standards. Nous faisons cette description dans l'espace $C^0$ (cf. référence 18 pour le cas scalaire). Nous ne faisons aucune hypothèse sur la matrice de couplage assurant l'existence d'un principe du maximum pour ces systèmes. La grosse difficulté est que certaines lignes peuvent présenter une explosion tandis que d'autres non. Mais alors l'équation des lignes qui n'explosent pas devient singulière, ce qui impose tout de même une explosion de la solution de cette ligne, mais à un régime différent. Bref, il faut parfaitement comprendre l'interaction entre toutes les lignes, explosant potentiellement à des vitesses différentes.
Ici, l'étude est faite lorsque l'énergie des solutions est a priori bornée (ce que j'ai appelé dans la référence 32 la $\Lambda$-stabilité). Ceci permet de traiter des matrices de couplage beaucoup plus générales (cf. référence 16 pour une discussion sur cette hypothèse sur l'énergie).

Nous étudions la stabilité de l'équation d'Einstein-Lichnerowicz $$\Delta_g u + h u = f u^{\frac{n+2}{n-2}} + a u^{-\frac{3n-2}{n-2}}$$ sur une variété riemannienne compacte de dimension $n\ge 3$. Cette équation vient du système des équations de contrainte dans une théorie d'Einstein avec champ scalaire après application de la méthode conforme. Ici, $h$, $a$ et $f$ sont des fonctions régulières sur $M$.
Donnons un exemple frappant de résultat obtenu dans ce papier. On dit que l'équation ci-dessus est stable si toute solution d'une équation proche (c'est-à-dire avec $\tilde{h}$, $\tilde{f}$, $\tilde{a}$ proches respectivement dans $C^0$, $C^{1,\eta}$, $C^0$ de $h$, $f$ et $a$) est $C^1$-proche d'une solution de l'équation originale. Alors l'équation d'Einstein-Lichnerowicz est stable en dimensions $3\le n\le 5$ dès que $f>0$ et $a> 0$. Sous les mêmes hypothèses, elle ne l'est plus nécessairement en dimensions $n\ge 6$.
Nous démontrons des résultats plus généraux de stabilité dans ce papier, pour diverses notions de stabilité d'ailleurs. Le résultat ci-dessus n'est qu'un exemple illustrant bien le type de résultats obtenus.

Dans cette courte note, nous donnons un développement limité au second ordre du profil de Faber-Krahn d'une variété riemannienne compacte. Le profil de Faber-Krahn d'une variété riemannienne compacte est $$FK(V) = \inf_{\Omega\subset M,\, Vol_g\left(\Omega\right)=V} \lambda_1\left(\Omega\right)$$ où $\lambda_1\left(\Omega\right)$ est la première valeur propre du laplacien avec condition de Dirichlet au bord dans $\Omega$. Evidemment, ce profil a beaucoup à voir avec le profil isopérimétrique. Ici, nous démontrons que
$$FK(V)=\mu_1\left(\frac{n}{\omega_{n-1}}V\right)^{-\frac{2}{n}}-\left(\frac{1}{6}+ \frac{\mu_1}{3n(n+2)}\right)\left(\max_M S_g\right)+o(1)$$ pour $V$ petit où $S_g$ est la courbure scalaire de $\left(M,g\right)$ et $\mu_1$ est la première valeur propre du laplacien euclidien sur la boule unité avec condition de Dirichlet au bord.

La conjecture de Lazer-McKenna dans le cas de la croissance critique stipule que l'équation
$$\Delta u = \left(u-\alpha \varphi_1\right)_+^{\frac{n+2}{n-2}} +\lambda u$$ dans $\Omega$, un domaine de ${\mathbb R}^n$, $n\ge 3$, avec $u=0$ au bord et $u>0$ à l'intérieur, devrait posséder de plus en plus de solutions lorsque $\alpha\to +\infty$. Ceci avait été démontré en dimensions $n\ge 6$ et $0<\lambda<\lambda_1$ par construction de solutions de plus en plus nombreuses possédant une énergie bornée. Nous démontrons dans ce papier que, si $\lambda\le 0$, ou si $3\le n\le 5$, les solutions ne peuvent avoir une énergie bornée lorsque $\alpha\to +\infty$, ce qui rendra la preuve de la conjecture de Lazer-McKenna plus difficile. Ceci démontre qu'une version plus forte de la conjecture de Lazer-McKenna est fausse dans ces cas-là. Il existe une littérature abondante sur cette conjecture et je me permets de renvoyer aux références du papier pour celle-ci.

Nous étudions dans ce papier des systèmes d'EDP elliptiques à croissance de Sobolev critique de la forme $$\Delta_g u_i + \sum_{j=1}^p a_{ij}(x) u_j(x) = u_i(x)^{\frac{n+2}{n-2}}$$ pour $i=1,\dots,p$ sur des variétés riemanniennes compactes. Nous effectuons une analyse asymptotique précise de suites de solutions de tels systèmes sous l'hypothèse simplificatrice que les bulles sont isolées. Toute la difficulté est de comprendre l'interaction entre les diverses lignes du système.

Nous démontrons dans ce papier un résultat de quantification pour des équations elliptiques d'ordre $2$ avec une non-linéarité en $e^{u^2}$ sur des domaines de ${\mathbb R}^2$. Pour fixer les idées, et même si les non-linéarités considérées sont plus générales, prenons l'équation $$\Delta_\xi u = h(x) ue^{4\pi u^2}\hbox{ dans }\Omega$$ avec $u=0$ sur $\partial \Omega$ où $\Omega$ est un domaine régulier de ${\mathbb R}^2$ et $h$ est une fonction régulière strictement positive sur $\Omega$. Les solutions de cette équation sont des points critiques de la fonctionnelle $$J(u)=\frac{1}{2}\int_\Omega \left\vert \nabla u\right\vert^2\, dx - \frac{1}{8\pi}\int_\Omega h(x) e^{4\pi u^2}\, dx$$ Etant donnée une suite de solutions $\left(u_\varepsilon\right)$ de l'équation ci-dessus, si $J\left(u_\varepsilon\right)\to \beta$ quand $\varepsilon\to 0$, nous montrons que $$\beta = J\left(u_0\right) + \frac{N}{2}$$ pour un entier $N$ où $u_0$ est la limite faible de la suite $\left(u_\varepsilon\right)$, solution de la même équation. C'est un résultat de quantification, qui répond à une question posée par Adimurthi-Struwe. La difficulté est triple : premièrement, l'équation limite obtenue après changement d'échelle autour d'un point de concentration change profondément de nature; deuxièmement, les bulles interagissent très très fortement à cause de la non-linéarité en $e^{u^2}$; troisièmement, il n'est pas facile d'éliminer la perte éventuelle d'énergie dans les cous entre les bulles à cause de l'existence de solutions dégénérées de l'équation-limite.
Les méthodes classiques d'énergie, utilisées par exemple par Struwe dans le cas des équations de type Yamabe (cf. référence 18) sont ici totalement inopérantes. D'ailleurs, le résultat de quantification est faux pour des suites de Palais-Smale. C'est la méthode ponctuelle de détection des points de concentration, développée dans la référence 18 dans le cas des équations de type Yamabe, qui est ici utilisée et nécessaire.

Ce papier est consacré à un résultat de quantification pour les équations du quatrième ordre avec croissance exponentielle en dimension $4$, telle l'équation de $Q$-courbure. Soit $\left(u_\alpha\right)$ une suite de solutions de $$\Delta_g^2 u_\alpha - div_g\left(A_\alpha\nabla u_\alpha\right) + b_\alpha = f_\alpha e^{u_\alpha}$$ sur une variété riemannienne compacte de dimension $4$. On suppose que $A_\alpha$ (qui est un champ de $(2,0)$-tenseurs) tend vers $A_0$, que $f_\alpha$ tend vers $f_0>0$ et que $b_\alpha$ tend vers $b_0$, toutes les convergences ayant lieu en topologie $C^1$ quand $\alpha\to +\infty$. On démontre alors que, si la suite $\left(u_\alpha\right)$ n'est pas uniformément bornée dans $C^4$, c'est-à-dire si elle présente un phénomène d'explosion, alors on a nécessairement $$\int_M b_0\, dv_g = 64\pi^2 N$$ La seule hypothèse à faire est que le noyau de l'opérateur limite $\Delta_g^2 -div_g\left(A_0\nabla\right)$ soit restreint aux constantes. De plus, $N$ est dans ce cas le nombre de points de concentration que développe la suite et nous obtenons des résultats sur leur localisation.
A contrario, dès que l'intégrale de $b_0$ n'est pas un multiple de $64\pi^2$, notre résultat est un résultat de compacité.

Cet article est un article de revue sur les équations de type Yamabe et les problèmes de compacité liés à ces équations. Il donne l'état de l'art à la date où il a été écrit.

Dans cet article, nous donnons divers exemples de suites de solutions $\left(u_\alpha\right)$ de $$\Delta_g u_\alpha + h_\alpha u_\alpha = u_\alpha^{\frac{n+2}{n-2}}$$ sur une variété riemannienne compacte $(M,g)$ qui explosent lorsque la suite $h_\alpha$ s'approche du terme linéaire de l'équation de Yamabe $\frac{n-2}{4(n-1)}S_g$. Nous donnons des exemples avec une bulle, plusieurs bulles... Ceci constitue un bon complément à la référence 16.

Dans ce papier, nous démontrons que l'ensemble des métriques à courbure scalaire constante dans une classe conforme d'une variété de dimension 3, 4 ou 5 est compact, excepté sur la sphère standard. Après la résolution du problème de Yamabe (cf. Yamabe, Trudinger, Aubin, Schoen), Schoen avait conjecturé que l'ensemble des métriques à courbure scalaire constante dans une classe conforme donnée était compact. Il avait démontré ce résultat dans le cas conformément plat (cf. Schoen) et avait donné les principaux ingrédients en dimension 3.

J'ai montré dans ce papier le résultat en dimensions 4 et 5. Il a été récemment démontré jusqu'à la dimension 24 par Khuri-Marques-Schoen et s'est révélé faux en dimensions supérieures (cf. Brendle-Marques).
Dans ce papier, je démontre aussi que toute suite de solutions des équations $$\Delta_g u_\alpha + h_\alpha u_\alpha = u_\alpha^{\frac{n+2}{n-2}}$$ avec $h_\alpha\to h$ est uniformément bornée dans $C^2$ (en toutes dimensions) dès que $h<\frac{n-2}{4(n-1)}S_g$ (cf. référence 16 pour une discussion plus générale de ce problème).

Ce livre est consacré à une théorie asymptotique ponctuelle de suites de solutions d'EDP elliptiques sur une variété riemannienne compacte. Nous considérons une suite $\left(u_\alpha\right)$ de solutions des équations $$\Delta_g u_\alpha + h_\alpha u_\alpha = u_\alpha^{\frac{n+2}{n-2}}$$ sur une variété riemannienne compacte de dimension $n\ge 3$ avec $h_\alpha\to h$ dans $C^{0,\eta}\left(M\right)$. Cette équation est modelée sur l'équation de Yamabe. C'est un modèle que nous étudions dans ce livre. La théorie ponctuelle développée ici s'appliquera à beaucoup d'autres équations.
On sait depuis les travaux de Struwe que, si la suite $\left(u_\alpha\right)$ est uniformément bornée dans $L^{\frac{2n}{n-2}}(M)$, c'est-à-dire a une énergie uniformément bornée, alors elle se décompose, à extraction d'une sous-suite près, en $$u_\alpha = u_0 + \sum_{i=1}^N B_{i,\alpha}+R_\alpha$$ avec $R_\alpha\to 0$ dans $H_1^2\left(M\right)$. Dans cette expression, $u_0$ est la limite faible de la suite $\left(u_\alpha\right)$ et les $B_{i,\alpha}$ sont des profils standard. Ceux-ci sont obtenus à partir de solutions de l'équation $$\Delta_\xi u = u^{\frac{n+2}{n-2}}$$ dans l'espace euclidien. On peut les écrire sous la forme $$B_{i,\alpha}(x)= \mu_{i,\alpha}^{\frac{n-2}{2}} \left(\mu_{i,\alpha}^2+ \frac{d_g\left(x_{i,\alpha},x\right)^2}{n(n-2)}\right)^{1-\frac{n}{2}}$$ où $x_{i,\alpha}$ est le centre de la bulle et $\mu_{i,\alpha}\to 0$ son poids. Ces profils standards se concentrent autour du point $x_{i,\alpha}$ avec une hauteur de $\mu_{i,\alpha}^{1-\frac{n}{2}}$ et sur une échelle de l'ordre de $\mu_{i,\alpha}$.
Ce résultat de Struwe, que nous redémontrons dans le cadre riemannien, donne une description parfaite de la suite $\left(u_\alpha\right)$ dans l'espace d'énergie. Notre objectif était de faire une description analogue dans l'espace $C^0$. Si les bulles n'interagissent pas, i.e. ne se voient pas, au niveau de l'énergie, elles le font au niveau ponctuel. C'est ce qui rend la théorie asymptotique ponctuelle particulièrement difficile. Nous devons prendre en compte les accumulations de centres de bulles au même point de la variété mais également les tours de bulles (des bulles sur des bulles sur des bulles sur ...). Après une preuve longue et difficile, qui introduit toute une hiérarchie de bulles, nous arrivons à démontrer qu'il existe une constante $C$ telle que $$\frac{1}{C}\left(u_0 + \sum_{i=1}^N B_{i,\alpha}\right)\le u_\alpha \le C\left(u_0 + \sum_{i=1}^N B_{i,\alpha}\right)$$ Ce contrôle ponctuel de la suite $\left(u_\alpha\right)$ par sa limite faible plus la somme des bulles permet ensuite d'obtenir des résultats beaucoup plus précis mais qui dépasseraient le cadre de ce simple résumé.

Nous améliorons l'inégalité de Trudinger-Moser sur des ouverts bornés de ${\mathbb R}^2$. Soit $\Omega$ un tel ouvert, l'inégalité de Trudinger-Moser stipule que $$\sup_{u\in C^\infty_c\left(\Omega\right),\, \left\Vert \nabla u\right\Vert_2=1} \int_{\Omega} \exp\left(4\pi u^2\right)\, dx < +\infty$$ Trudinger avait démontré l'existence d'une telle inégalité, Moser a déterminé que $4\pi$ était la meilleure constante que l'on pouvait prendre (si on remplace $4\pi$ par une constante plus grande, le sup devient infini).
Nous montrons que $$C_\alpha = \sup_{u\in C^\infty_c\left(\Omega\right),\, \left\Vert \nabla u\right\Vert_2=1} \int_{\Omega} \exp\left(4\pi u^2\left(1+\alpha \left\Vert u\right\Vert_2^2\right)\right)\, dx$$ est fini si et seulement si $\alpha<\lambda_1\left(\Omega\right)$, la première valeur propre du laplacien avec condition de Dirichlet au bord sur $\Omega$. Ce résultat complète optimalement un résultat de Lions. Nous étudions aussi précisément le comportement asymptotique de suites de solutions minimisantes d'équations avec une non-linéarité en $\exp(u^2)$ (cf. référence 23 pour une étude plus détaillée).

Nous nous intéressons dans cet article à des questions de compacité et de stabilité des équations de type Yamabe. Soit $(M,g)$ une variété riemannienne compacte de dimension $n\ge 3$. On considère l'équation $$\Delta_g u + h u = u^{\frac{n+2}{n-2}}$$ sur $M$ qui est critique du point de vue des injections de Sobolev. Si $h=\frac{n-2}{4(n-1)} S_g$, c'est l'équation de Yamabe. Nous considérons dans cet article des suites de solutions $\left(u_\alpha\right)$ de $$\Delta_g u_\alpha + h_\alpha u_\alpha = u_\alpha^{\frac{n+2}{n-2}}$$ avec $h_\alpha\to h$ dans $C^1\left(M\right)$. On suppose que la suite $\left(u_\alpha\right)$ a une énergie (norme $L^{\frac{2n}{n-2}}$) uniformément bornée. Elle converge alors faiblement vers $u_0$ une solution de l'équation-limite. On démontre dans ce papier que, en dimensions $n=3,4,5$, si $u_0\not\equiv 0$, alors la suite $\left(u_\alpha\right)$ converge fortement vers $u_0$ dans $C^2$. Phénomène surprenant ! Et qui n'est plus vrai en dimensions plus grandes. Nous démontrons aussi que, dès que la dimension $n$ est plus grande que $4$, et différente de $6$, la suite est uniformément bornée dans $C^2$ si $h\neq \frac{n-2}{4(n-1)}S_g$ sur toute la variété. La dimension $6$ est toute particulière dans ce problème. L'expliquer dépasserait largement le cadre d'un simple résumé.
Pour démontrer ces résultats, nous partons de la théorie asymptotique ponctuelle développée dans la référence 18 qui décrit la suite $\left(u_\alpha\right)$ très précisément en termes de sa limite faible et d'une somme de profils standard qui se concentrent en certains points de la variété. Nous trouvons en fait des contraintes sur les configurations de ces points, dépendant du potentiel $h$, de la courbure scalaire de la variété, de la hauteur des profils, de la distance entre les points de concentration, ... Ceci nous permet de montrer qu'au moins un des points de concentration doit se trouver en un point $x$ tel que $h(x)= \frac{n-2}{4(n-1)}S_g(x)$ dès que $n\ge 4$ mais aussi que, si points de concentration il y a, la limite faible est nulle quand $n=3,4,5$. Lorsque $h<\frac{n-2}{4(n-1)}S_g$, la borne a priori sur l'énergie n'est pas nécessaire pour obtenir le résultat de compacité (cf. référence 19).
Lorsque $h>\frac{n-2}{4(n-1)}S_g$, elle est absolument nécessaire. Il existe des suites de solutions de telles équations dont l'énergie tend vers $+\infty$ (cf. Chen-Wei-Yan).
L'approche utilisée pour démontrer un résultat de compacité moyennant une borne sur l'énergie n'est pas la même que celle utilisée sans borne sur l'énergie. Lorsqu'on est en-dessous du potentiel de Yamabe, on peut se permettre de travailler sur des points de concentration isolés et démontrer directement qu'ils n'existent pas. Par contre, lorsque le potentiel est au-dessus du potentiel de l'équation de Yamabe, rien n'interdit de coller des bulles sur des bulles. C'est la bulle la plus basse, celle qu'il faut recoller sur la variété, qui pose problème. Pour aller chercher cette bulle la plus basse, il faut développer une analyse multi-bulles en obtenant des informations successives sur les bulles, de la plus haute à la plus basse, pour conclure finalement. La borne sur l'énergie permet d'avoir une dernière bulle (puisque chaque bulle emmène un quantum d'énergie). Sans cette borne, le résultat est faux, comme dit ci-dessus.

Soit $(M,g)$ une variété riemannienne compacte de dimension $n \ge 3$. Il existe deux constantes $A, B > 0$ telles que $$\Vert u\Vert_{2^\star}^2 \le A\Vert\nabla u\Vert_2^2 + B\Vert u\Vert_1^2$$ pour toute fonction $u\in C^\infty\left(M\right)$. La meilleure constante $A$ possible dans cette inégalité est $K_n^2$, où $K_n$ est la constante dans l'inégalité de Sobolev euclidienne (cf. Aubin et Talenti).
Dans la référence 4 et grâce à un travail de Hebey, l'inégalité avec $A=K_n^2$ se révèle être vraie si $n=3$, ou alors si $n\ge 4$ et la courbure scalaire est partout strictement négative. Au contraire, elle est fausse si $n\ge 4$ et la courbure scalaire est strictement positive.
Indépendamment, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $B_\varepsilon$ telle que $$\Vert u\Vert_{2^\star}^2 \le (K_n^2+\varepsilon)\Vert\nabla u\Vert_2^2
+ B_\varepsilon\Vert u\Vert_1^2$$ pour toute fonction $u\in C^\infty\left(M\right)$. Soit $B_\varepsilon(g)$ le plus petit $B_\varepsilon$ admissible dans cette inégalité. On obtient dans ce papier le comportement asymptotique exact de $B_\varepsilon(g)$ lorsque $\varepsilon\to 0$ en dimensions $n\ge 4$ sous l'hypothèse $\max_M S_g >0$ : $$B_\varepsilon(g) = C(4) \left(\max_MS_g\right)^3 \left\vert\ln \varepsilon\right\vert^3 + o\left(\left\vert\ln \varepsilon\right\vert^3\right)$$ si $n = 4$ et $$B_\varepsilon(g) = C(n) \left(\max_MS_g\right)^{\frac{n+2}{2}} \varepsilon^{-\frac{(n-4)(n+2)}{2(n-2)}} + o\left(\varepsilon^{-\frac{(n-4)(n+2)}{2(n-2)}}\right)$$ si $n \ge 5$ où les constantes $C(n)$ sont explicites.

Soit $h\in C^1\left({\mathbb R}^n\right)$, soit $\Omega$ un ouvert borné régulier de ${\mathbb R}^n$. On considère le problème de minimisation suivant : $$\mu =\inf_{u\not\equiv 0} \frac{\int_{\Omega}\left(\left\vert \nabla u\right\vert^2+hu^2\right)\, dx}{\left(\int_\Omega \vert u\vert^{\frac{2n}{n-2}}\, dx\right)^{\frac{n-2}{n}}}$$ Brezis et Nirenberg ont démontré en 1983 qu'en dimensions $n\ge 4$, les trois assertions suivantes étaient équivalentes :

(i) $\mu<K_n^{-1}$

(ii) L'infimum est atteint.

(iii) Il existe $x\in \Omega$ tel que $h(x)<0$.

Et Brezis avait conjecturé en 1986 qu'en dimension $3$, il fallait remplacer (iii) par

(iii)' Il existe $x\in \Omega$ tel que la masse de la fonction de Green de l'opérateur $\Delta_g + h$ en $x$ soit strictement positive.

C'est cette conjecture de Brezis que nous démontrons dans ce papier, éclairant ainsi un peu plus ce phénomène dimensionnel dans les EDP elliptiques.

Dans cet article, nous étudions l'existence de fonctions extrémales dans les inégalités de Sobolev optimales en dimension $3$ (cf. référence 7 pour les dimensions supérieures). Soit $(M,g)$ une variété riemannienne compacte de dimension $3$. L'injection critique de $H_1^2\left(M\right)$ dans $L^6\left(M\right)$ mène à une inégalité de Sobolev optimale : $$\left\Vert u\right\Vert_{6}^2 \le K_3\left(\left\Vert \nabla u\right\Vert_2^2 + B_0(g)\left\Vert u\right\Vert_2^2\right)$$ pour toute fonction $u$ régulière sur $M$. La constante $K_3$ est la constante de l'inégalité de Sobolev euclidienne et est la plus petite qu'on puisse mettre devant le terme en gradient (cf. Hebey-Vaugon). Une fois la première constante fixée comme étant la meilleure, $B_0(g)$ est la plus petite que l'on puisse prendre devant la norme $L^2$. On démontre dans cet article que $B_0(g)$ est telle que la masse de la fonction de Green de l'opérateur $\Delta_g + B_0(g)$ esr négative ou nulle en tout point de la variété. On démontre également que, si cette masse est strictement négative partout, alors il existe des fonctions extrémales pour cette inégalité, i.e. des fonctions qui atteignent le cas d'égalité. Ce papier contient d'autres résultats un peu plus généraux.
Qu'est-ce que la masse de la fonction de Green ? En dimension $3$, la fonction de Green de l'opérateur $\Delta_g + B$ s'écrit au voisinage de la diagonale $$G(x,y)=\frac{1}{4\pi d_g\left(x,y\right)} + m(x) + o(1)$$ Ce nombre $m(x)$ est la masse de le fonction de Green au point $x$.

Nous trouvons ici un développement limité du profil isopérimétrique de toute variété riemannienne compacte pour les petits volumes.
Le résultat principal démontré est le suivant : si $(M,g)$ est une variété riemannienne compacte vérifiant $S_g < n(n-1)K$ pour un réel $K$ où $S_g$ est la courbure scalaire, alors il existe $V_0$ tel que tout domaine $\Omega$ de $M$ de volume $V\le V_0$ satisfait $$Vol_g\left(\partial \Omega\right)> Vol_{g_K}\left(\partial B_{K,V}\right)$$ où $B_{K,V}$ est une boule de volume $V$ dans l'espace modèle $\left(M_K, g_K\right)$ à courbure sectionnelle constante $K$.
Une conséquence directe de ce résultat est le développement limité du profil isopérimétrique $$I\left(V\right)=\inf\left\{Vol\left(\partial \Omega\right),\, \Omega\subset M,\, Vol\left(\Omega\right)=V\right\}$$ suivant : $$I\left(V\right) = K_0 V^{\frac{n-1}{n}}-\frac{n}{2(n+2)}\frac{1}{K_0}\max_M S_g V^{\frac{n+1}{n}}+o\left(V^{\frac{n+1}{n}}\right)$$ où $$K_0=n\left(\frac{\omega_{n-1}}{n}\right)^{\frac{1}{n}}$$ est le rapport du volume du bord d'une boule euclidienne et du volume de celle-ci élevé à la puissance $\frac{n-1}{n}$. Autrement dit, le premier terme correspond au profil isopérimétrique euclidien, l'erreur au premier ordre faisant intervenir uniquement la courbure scalaire de la variété.

Soit $(M,g)$ une variété riemannienne compacte conformément plate. Dans ce papier, nous démontrons qu'étant donnée $C>0$, il existe $\alpha_0>0$ telle que l'équation $$\Delta_g + \alpha u=u^{\frac{n+2}{n-2}}$$ à croissance de Sobolev critique n'admet pas de solution positive d'énergie $\left\Vert u\right\Vert_{\frac{2n}{n-2}}\le C$ dès que $\alpha\ge \alpha_0$. La restriction sur l'énergie est nécessaire puisque l'équation possède toujours au moins une solution constante.
C'est le premier exemple, dans un cas simple, d'analyse asymptotique multi-bulles (cf. référence 18).

Dans cet article, nous démontrons la validité de l'inégalité optimale associée à l'injection de $H_1^1$ dans $L^{\frac{n}{n-1}}$ et l'existence d'extrémales associées. C'est le cas qui n'était pas traité dans la référence 3. Cette inégalité ne s'obtient pas directement car l'espace $H_1^1$ n'est pas adapté au calcul variationnel mais s'obtient par passage à la limite dans des inégalités de Sobolev optimales $H_1^p$ pour $p\to 1$. Les inégalités de Sobolev associées à l'injection de $H_1^1$ dans $L^{\frac{n}{n-1}}$ sont équivalentes à des inégalités isopérimétriques. Les fonctions extrémales pour ces inégalités optimales sont des fonctions caractéristiques de domaines isopérimétriques.

Ce mémoire passe en revue tous les résultats disponibles à l'époque sur le programme des inégalités de Sobolev optimales sur les variétés : validité, existence d'extrémales, ... Il contient également quelques résultats nouveaux.

Soit $g$ une métrique dans la classe conforme de la sphère standard $\left(S^n,h\right)$. En dimensions $n\ge 4$, l'inégalité de Sobolev suivante a lieu : $$\left\Vert u\right\Vert_{\frac{2n}{n-2}}^2 \le K_n \left(\left\Vert\nabla u\right\Vert_2^2 + \frac{n-2}{4(n-1}\max_{S^n} S_g \left\Vert u\right\Vert_2^2\right)$$ pour toute fonction $u$ régulière. Ici, $K_n$ est la meilleure constante dans l'inégalité de Sobolev euclidienne (cf. Aubin et Talenti). Cette inégalité de Sobolev optimale ne possède jamais de fonctions extrémales (cf. référence 7 pour la terminologie) excepté pour la métrique standard. Dans ce papier, nous étudions le comportement asymptotique de solutions de problèmes de minimisation de plus en plus proches de celui qui correspond aux fonctions extrémales. Plus précisément, pour tout $\varepsilon>0$, le problème de minimisation $$\mu_\varepsilon = \inf_{u\not\equiv 0} \frac{\int_{S^n} \left(\left\vert \nabla u\right\vert_g^2 +\left(\frac{n-2}{4(n-1}\max_{S^n} S_g-\varepsilon\right)u^2\right)\, dv_g}{\left(\int_{S^n} \vert u\vert^{\frac{2n}{n-2}}\,dv_g\right)^{\frac{n-2}{n}}}$$ admet une solution $u_\varepsilon$ régulière et strictement positive. C'est le comportement asymptotique de cette suite $\left(u_\varepsilon\right)$ qui explose quand $\varepsilon\to 0$ que nous étudions dans ce papier.

Soit $(M,g)$ une variété riemannienne compacte de dimension $n\ge 3$. On sait alors qu'il existe $B_0(g)>0$ telle que $$\left\Vert u\right\Vert_{\frac{2n}{n-2}}^2 \le K_n\left(\left\Vert \nabla u\right\Vert_2^2 + B_0(g)\left\Vert u\right\Vert_2^2\right)$$ pour toute fonction $u$ régulière sur $M$. La constante $K_n$ est la constante de l'inégalité de Sobolev euclidienne et est la plus petite qu'on puisse mettre devant le terme en gradient (cf. Hebey-Vaugon). Une fois la première constante fixée comme étant la meilleure, $B_0(g)$ est la plus petite que l'on puisse prendre devant la norme $L^2$.
Par calculs de fonctions-tests, on sait que $$B_0(g)\ge \frac{n-2}{4(n-1)}\max_M S_g$$ où $S_g$ est la courbure scalaire de la variété dès que la dimension $n$ est supérieure ou égale à $4$.
Dans cet article, nous nous demandons si il existe des fonctions extrémales, i.e. des fonctions qui atteignent le cas d'égalité, pour cette inégalité. Et la réponse est qu'il en existe en dimensions $n\ge 4$ dès que $$B_0(g)> \frac{n-2}{4(n-1)}\max_M S_g$$ La question analogue en dimension $3$, plus délicate, est traitée dans la référence 13.

Etant donnée $(M,g)$ une variété riemannienne compacte de dimension $n$, l'inégalité de Sobolev classique correspondant à l'injection de $H_1^2(M)$ dans $L^{\frac{2n}{n-2}}\left(M\right)$ stipule l'existence de deux constantes $A$ et $B$ telle que $$\left\Vert u\right\Vert_{\frac{2n}{n-2}}^{2}\le A \left\Vert \nabla u\right\Vert_2^2 + B\left\Vert u\right\Vert_2^2$$ pour toute fonction $u$ régulière. Dans cette inégalité, la meilleure constante $A$ possible est $K_n$, la meilleure constante dans l'inégalité de Sobolev euclidienne (cf. Aubin et Talenti). Ensuite, grâce aux travaux de Hebey-Vaugon, on sait que l'inégalité optimale est valide, i.e. qu'il existe $B$ telle que $$\left\Vert u\right\Vert_{\frac{2n}{n-2}}^{2}\le K_n \left\Vert \nabla u\right\Vert_2^2 + B\left\Vert u\right\Vert_2^2$$ pour toute fonction $u$ régulière. Ici, nous nous intéressons à une inégalité un peu plus forte pusique nous remplaçons la norme $L^2$ dans le terme de droite par une norme $L^1$. Nous étudions la validité de l'inégalité optimale $$\left\Vert u\right\Vert_{\frac{2n}{n-2}}^{2}\le K_n \left\Vert \nabla u\right\Vert_2^2 + B\left\Vert u\right\Vert_1^2$$ Encore une fois, $K_n$ est la meilleure première constante. La question est donc : existe-t-il $B$ telle que l'inégalité ci-dessus soit valide pour toute fonction $u$ régulière ? Les réponses sont surprenantes : oui si la variété est de dimension $3$, non si elle est de dimension $n\ge 4$ et si la courbure scalaire est strictement positive quelque part. Nous avons également quelques résultats positifs en dimension $n\ge 4$ qui seront améliorés dans Hebey en utilisant le lemme de localisation que nous montrons dans ce papier et l'inégalité isopérimétrique locale de la référence 12. En fait, l'inégalité optimale est vraie sur toute variété dont la courbure scalaire est strictement négative.
Nous obtenons donc un panorama complet de la validité de cette inégalité optimale qui montre que c'est la courbure scalaire qui joue un rôle crucial dans cette histoire.

Dans cet article, nous étudions l'équation $$\Delta_p u + hu^{p-1}=f u^{\frac{np}{n-p}-1}$$ sur des variétés riemanniennes compactes de dimension $n\ge 2$ avec $1<p<n$. Ici, $\Delta_p = -div_g\left(\vert \nabla u\vert_g^{p-2}\nabla u\right)$ est le $p$-laplacien. Pour $p=2$ et $h=\frac{n-2}{4(n-1)}S_g$ avec $S_g$ la courbure scalaire de $(M,g)$, c'est l'équation de courbure scalaire prescrite. Nous obtenons plusieurs résultats d'existence pour cette équation critique du point de vue des injections de Sobolev. Nous obtenons par exemple que l'équation possède toujours une solution si $h$ et $f$ sont strictement négatives. Dans le cas $h\equiv 0$, nous obtenons également des résultats d'existence et même des conditions nécessaires et suffisantes sur $f$ pour que l'équation possède des solutions lorsque $n\le 3p-2$. Dans le cas où l'opérateur $u\mapsto \Delta_p u + h u^{p-1}$ est coercif, nous obtenons quelques résultats d'existence également : par exemple, pour $f\equiv Cst>0$, il existe toujours une solution dès que la courbure scalaire de la variété est strictement positive quelque part et $p>2$.

Dans cet article, nous étudions l'inégalité de Nash sur des variétés riemanniennes compactes $(M,g)$ de dimension $n$. Celle-ci stipule qu'il existe deux constantes $A$ et $B$ telles que $$\left\Vert u\right\Vert_2^{2+\frac{4}{n}}\le A \left\Vert \nabla u\right\Vert_2^2 \left\Vert u\right\Vert_1^{\frac{4}{n}}+B \left\Vert u\right\Vert_1^{2+\frac{4}{n}}$$ pour toute fonction $u\in C^\infty\left(M\right)$. Nous obtenons les valeurs des meilleures constantes possibles $A$ et $B$ dans cette inégalité et étudions les inégalités optimales correspondantes. Par exemple, la meilleure constante $A$ possible dans cette inégalité ne dépend que de la dimension $n$ de la variété : c'est $A_0(n)$, la meilleure constante dans l'inégalité de Nash euclidienne (cf. Carlen-Loss). On se demande alors s'il existe $B>0$ telle que l'inégalité ci-dessus soit valide avec $A=A_0(n)$ et $B$ pour toute fonction $u$ régulière.
On démontre qu'une telle constante $B$ n'existe pas dès que la courbure scalaire est strictement positive quelque part. On démontre également un lemme de localisation qui permettrait de démontrer avec le résultat ultérieur de la référence 12 que l'inégalité est valide dès que la courbure scalaire est strictement négative quelque part.

Le papier contient aussi des résultats lorsque la priorité est donnée à la seconde constante.

Soit $(M,g)$ une variété riemannienne compacte de dimension $n\ge 2$. Pour $1<p<n$, l'injection de Sobolev critique de $H_1^p\left(M\right)$ dans $L^{\frac{np}{n-p}}\left(M\right)$ mène à une classe d'inégalités de Sobolev optimales $\left(I_p^\theta\right)$ : $$\left\Vert u\right\Vert_{\frac{np}{n-p}}^{\theta}\le K(n,p)^\theta \left\Vert \nabla u\right\Vert_p^\theta + B\left\Vert u\right\Vert_p^\theta$$ La constante $K(n,p)^\theta$ est la plus petite que l'on puisse mettre devant le terme en gradient. Ici $K(n,p)$ est explicite, c'est la constante dans les inégalités de Sobolev euclidiennes (cf. Aubin et Talenti). La question est : existe-t-il $B>0$ telle que l'inégalité ci-dessus soit valide pour toute fonction $u\in H_1^p\left(M\right)$ ? Dans le cas $p=2$, cette question fut résolue par l'affirmative par Hebey-Vaugon pour $1\le \theta\le 2$. Dans la référence 1 ci-dessous, nous avions démontré que l'inégalité optimale $\left(I_p^p\right)$ était fausse pour $2<p<\sqrt{n}$ dès que la courbure scalaire de la variété est strictement positive quelque part.
Ici, nous démontrons la conjecture de Aubin, et même un peu mieux : les inégalités $\left(I_p^p\right)$ pour $1\le p\le 2$ et $\left(I_p^2\right)$ pour $2\le p<n$ sont valides sur toute variété riemannienne compacte de dimension $n$. Ces résultats sont optimaux au vu de ceux de la référence 1.
La preuve procède par contradiction grâce à une analyse asymptotique de suite de solutions d'une EDP elliptique.

Soit $(M,g)$ une variété riemannienne compacte de dimension $n\ge 2$. Pour $1<p<n$, l'injection de Sobolev critique de $H_1^p\left(M\right)$ dans $L^{\frac{np}{n-p}}\left(M\right)$ mène à une classe d'inégalités de Sobolev optimales $\left(I_p^\theta\right)$ : $$\left\Vert u\right\Vert_{\frac{np}{n-p}}^{\theta}\le K(n,p)^\theta \left\Vert \nabla u\right\Vert_p^\theta + B\left\Vert u\right\Vert_p^\theta$$ La constante $K(n,p)^\theta$ est la plus petite que l'on puisse mettre devant le terme en gradient. Ici $K(n,p)$ est explicite, c'est la constante dans les inégalités de Sobolev euclidiennes (cf. Aubin et Talenti). La question est : existe-t-il $B>0$ telle que l'inégalité ci-dessus soit valide pour toute fonction $u\in H_1^p\left(M\right)$ ? Dans le cas $p=2$, cette question fut résolue par l'affirmative par Hebey-Vaugon pour $1\le \theta\le 2$. Dans la référence 1 ci-dessous, nous avions démontré que l'inégalité optimale $\left(I_p^p\right)$ était fausse pour $2<p<\sqrt{n}$ dès que la courbure scalaire de la variété est strictement positive quelque part. On démontre dans cette note que l'inégalité optimale $\left(I_p^p\right)$ est vraie sur les variétés compactes à courbure sectionnelle négative ou nulle dès que la conjecture de Cartan-Hadamard est vraie. Comme celle-ci est vraie en dimensions $2$, $3$, $4$, l'inégalité optimale $\left(I_p^p\right)$ est vraie sur toute variété compacte à courbure sectionnelle négative ou nulle de dimensions $2\le n\le 4$. C'est une conséquence du lemme de localisation de la référence 1 et d'une méthode de symétrisation pour obtenir les inégalités optimales locales.

Soit $(M,g)$ une variété riemannienne compacte de dimension $n\ge 2$. Pour $1<p<n$, l'injection de Sobolev critique de $H_1^p\left(M\right)$ dans $L^{\frac{np}{n-p}}\left(M\right)$ mène à une classe d'inégalités de Sobolev optimales $\left(I_p^\theta\right)$ : $$\left\Vert u\right\Vert_{\frac{np}{n-p}}^{\theta}\le K(n,p)^\theta \left\Vert \nabla u\right\Vert_p^\theta + B\left\Vert u\right\Vert_p^\theta$$ La constante $K(n,p)^\theta$ est la plus petite que l'on puisse mettre devant le terme en gradient. Ici $K(n,p)$ est explicite, c'est la constante dans les inégalités de Sobolev euclidiennes (cf. Aubin et Talenti). La question est : existe-t-il $B>0$ telle que l'inégalité ci-dessus soit valide pour toute fonction $u\in H_1^p\left(M\right)$ ? Dans le cas $p=2$, cette question fut résolue par l'affirmative par Hebey-Vaugon pour $1\le \theta\le 2$. Ici, nous démontrons entre autres que, pour $2<p<\sqrt{n}$, l'inégalité optimale $\left(I_p^p\right)$ n'est pas valide dès que la courbure scalaire de la variété est strictement positive quelque part. Cette hypothèse sur la courbure scalaire est optimale puisque nous démontrons que l'inégalité optimale $\left(I_p^p\right)$ est toujours valable sur le tore plat. Ceci est démontré grâce à un lemme de localisation qui stipule qu'une telle inégalité est globalement valide si elle l'est localement (c'est-à-dire pour des fonctions à support compact dans des petites boules).