Titre : Global dynamics for a class of coupled differential-difference systems

Résumé : Many systems initially described by age structured partial differential equations can be, using the characteristics method, reduced to coupled differential-difference systems with implicit delay. The aim of this talk is to investigate the global asymptotic stability of the steady states for a class of differential-difference systems. The techniques used combine Lyapunov functionals, monotone dynamical systems and the construction of some subtle monotone functions.

Titre : Cavitation modelling in thin film

Résumé : Je présente un "survey" des différentes modélisations utilisées dans la modélisation du phénomène de la cavitation en écoulement lubrifié. Après un rappel des approches usuelles (inéquations variationnelles et modèles Elrod/Adams), je présente deux approches plus récentes essentiellement basées sur la compressibilité des fluides.

Titre : Modélisation des langues en compétition

Résumé : Dans cet exposé, nous présenterons un modèle visant à prédire l'issue de la compétition entre deux langues pour la conquête du plus grand nombre de locuteurs. Le modèle proposé est un modèle champ moyen basé sur un système d'équations aux dérivées partielles en temps et en âge afin de prendre en compte le vieillissement des populations. Ce système est complété par des termes d'échanges entre les différentes populations pour modéliser l'apprentissage ou l'oubli d'une langue, et des termes de natalité de type « sexuée » et de mortalité pour prendre en compte la démographie. Nous présenterons la construction détaillée du modèle, quelques résultats mathématiques obtenus avec ce modèle ainsi que des résultats numériques illustrant ces résultats.

Titre : Vers une compréhension biologique et mathématique de la radiosensibilité individuelle

Résumé : La radiothérapie est utilisée pour traiter la moitié des cas de cancers en Europe et aux Etats-unis. Pour autant ses effets biologiques sur les cellules sont encore mal compris, ce qui ne permet pas une évaluation précise des effets secondaires dus aux protocoles de traitement (radiosensibilité et cancers radio-induits). Dans cet exposé, nous proposons un modèle d'équations différentielles ordinaires, basé sur la protéine ATM (Ataxia Telangiectasia Mutated), permettant d'expliquer la radiosensibilité individuelle. Nous abordons également la question de l'estimation des paramètres d'un modèle en grande dimension.

Titre : Modélisation de la Réponse Immunitaire T-CD8

Résumé : L’infection d’un organisme par un agent pathogène déclenche l’activation des lymphocytes T-CD8 et l’initiation de la réponse immunitaire. Il s’ensuit un programme complexe de prolifération et de différenciation des lymphocytes T-CD8, contrôlé par l’évolution de leur contenu moléculaire. Dans cet exposé, je présenterai deux modèles mathématiques de la réponse T-CD8. Le premier se présente comme une équation différentielle à impulsions grâce à laquelle nous étudions l’effet du partage inégal des protéines lors des divisions cellulaires sur la régulation de l’hétérogénéité moléculaire. Le second est un modèle à base d’agents couplant la description d’une population discrète de lymphocytes T-CD8 à celle du contenu moléculaire de ces derniers. Ce modèle s’avère capable de reproduire les différentes phases caractéristiques de la réponse T-CD8 aux échelle cellulaire et moléculaire. Ces deux travaux supportent l’hypothèse que la dynamique cellulaire observée in vivo est le reflet de l’hétérogénéité moléculaire qui structure la population de lymphocytes T-CD8.

Titre : Discontinuous and continuous Galerkin methods for oceanic and atmospheric flows

Résumé : Compact Galerkin type methods (such as finite elements and Discontinuous Galerkin) have many attractive properties for atmospheric and oceanic modeling, such as higher-order accuracy and the ability to use unstructured and/or non-orthogonal meshes. However, as shown in a wealth of prior work, unless care is taken in the selection of the choice of functional spaces there can be many problems that arise in the linear properties of the resulting methods. For the shallow water equations, these problems can include spurious stationary modes (pressure, Coriolis), spurious inertial modes, spurious branches of the dispersion relationship and spectral gaps. Similar issues, although much less studied, arise for the hydrostatic and non-hydrostatic equations. In this talk we will discuss the existence or non-existence of these problems for many common Galerkin methods on both triangles and quadrilaterals, and propose two approaches that avoid most or all of aforementioned issues: compatible Galerkin methods on quadrilaterals and discontinuous Galerkin methods on both triangles and quadrilaterals. For the proposed discretizations, we prove order of convergence for the dispersion relationships, and perform numerical simulations to demonstrate and compare these approaches for some common geophysical test cases. These two approaches appear to offer promising compromises for the development of both atmospheric and oceanic models.

Titre : Approximation du flot de Willmore par méthode de champ de phase

Résumé : L’exposé portera sur l'approximation de l'énergie de Willmore par des modèles de champ de phase, en particulier celui proposé par De Giorgi-Bellettini-Paolini. Nous décrirons quelques propriétés des solutions du flot gradient associé à cette approximation, puis nous présenterons une méthode de splitting qui conduit à un schéma numérique énergiquement stable et qui ouvre des perspectives sur la stabilité et la convergence du flot-gradient approché.

Titre : Ecoulement instationnaire d'un fluide micropolaire dans un domaine mince rugueux, avec frottement de Tresca

Résumé : On considère l'écoulement d'un fluide micropolaire dans un domaine 2D. On suppose que le fluide est soumis à des conditions aux limites de Dirichlet non homogènes sur une partie du bord de l'écoulement et à des conditions de frottement de Tresca sur une autre partie. On établit l'existence et l'unicité de la solution de ce problème. On s'intéresse ensuite au comportement asymptotique lorsque le domaine occupé par le fluide est mince et rugueux, avec une épaisseur et une rugosité du même ordre de grandeur. Par une technique de convergence double échelle, on obtient le problème limite et on démontre que les vitesse, micro-rotation et pression limites sont déterminées de manière unique à partir de problèmes auxiliaires bien posés.

Titre : A quantitative genetics model with sexual mode of reproduction in the regime of small variance

Résumé : We study asymptotic behavior of solutions to a stationary equation with selection and sexual reproduction. The infinitesimal mixing operator model is used to model sexual reproduction. We prove existence and local uniqueness, for any fixed positive small parameter epsilon, in a functional space using a fixed point argument. Moreover using perturbative analysis techniques we show that stationary solutions converge to the solutions of the limit problem when epsilon goes to 0.

Titre : Mathematical model coupling rheology and microbiota population dynamic for the gut

Résumé : The gut microbiota is involved in a complex exchange with the large intestinal epithelium through which important regulatory processes of the host take place. Among the ecological drivers of the microbiota, the spatial structure of the gut is of special interest: spatiotemporal mechanisms can lead to the constitution of spatial interactions among the bacterial populations and of environmental niches that impact the overall colonisation of the gut. In this talk, we will present a mathematical model which describes the time and space evolution of the gut content. In the first part, using a model based on mixture theory we will focus on the gut rheology and show that viscosity gradients allow the persistence of bacteria. Then the second part will be dedicated to a model that couples the fluid dynamics of the gut content with a system of population dynamics describing the metabolism of bacterial populations during the fibre degradation. This work has been done in collaboration with S. Labarthe, B. Laroche, T. Phan, T. Goudon and M. Ribot.

Titre : Résultats d’existence pour un système de dérive-diffusion avec des conditions aux limites de Robin

Résumé : Dans cet exposé, nous allons étudier un système de dérive-diffusion avec des conditions aux limites de Robin non dissipatives. En utilisant des estimations L1, L2 et des inégalités de traces, nous verrons comment obtenir un résultat d’existence global pour ce système. Enfin, nous présenterons deux exemples d’applications de ce résultat d’existence: l’un concerne un modèle de corrosion et l’autre un modèle d’auto-gravitaion. Ce travail a été effectué en collaboration avec Arnaud Heibig et Adrien Petrov.

Titre : Méthodes de transport optimal pour les fonctions de gradient minimal

Résumé : Le problème d'extension avec gradient minimal, motivé par des applications en reconstruction d'images et par ses liens avec les surfaces minimales, consiste à trouver la fonction qui minimise la norme BV parmi celles qui ont une donnée au bord prescrite. Dans un domaine convexe du plan, on peut facilement voir que ceci est équivalent au problème de flot minimal de Beckmann, lui-même équivalent à un problème de transport de Monge-Kantorovich, mais avec mesures source et cible concentrées sur la frontière du domaine. La régularité Sobolev de la fonction minimale devient équivalente à la régularité L^p de la solution du problème de Beckmann, donc de la densité de transport, et peut être attaquée par des méthodes désormais standard en transport optimal. Du point de vue du transport, les estimations que je présenterai (issues d'un travail récent avec mon ancien doctorant S. Dweik) sont nouvelles du fait qu'elles concernent deux mesures concentrées sur le bord et donc singulières, et du point de vue BV elles permettent d'obtenir un nouveau résultat de régularité W^{1,p} quand la donnée au bord est elle-même W^{1,p} comme fonction d'une variable. De plus, l'approche est suffisamment robuste pour qu'on puisse l'adapter sans effort au cas où la norme euclidienne est remplacée par une norme quelconque.

Titre : Direct linear inversion for discontinuous elastic parameters recovery from internal displacements

Résumé : In this talk, I will present a study of the invertibility and the corresponding stability for the elastography problem from internal data. In medical imaging, it is possible to track the inner fast displacement field of a living tissue using MRI, Optical Coherence Tomography or Ultrafast Ultrasound Imaging. From this data a major problem is to provide a stable and fast method to recover elastic properties of the biological tissue. The displacement field can be generated either by static or dynamic (in time regime or time harmonic regime) solicitations or even by natural sources (heart beats, breathing,...). Most of the time these external forces are not accurately known.In order to avoid iterative inversion procedure, we propose a direct local and linear approach in looking for the inversion the stiffness-to-force operator. If u(x) is the inner displacement field, the associated stiffness-to-force operator is given by A_u : C -> -div(C:grad^s u).I will present a general approach to numerically invert this kind of linear operators without neither smoothness hypothesis on the unknown tensor C, nor boundary knowledge. I will then discuss the general stability question linked to the closed range property of the linear operator A_u.In a second time, I will focus on the most useful question that is the shear modulus reconstruction. In this case, I will show that under non restrictive piecewise smoothness hypothesis, the inversion is possible with only one measurement. I will then give corresponding stability results in L2.