(Co)omologia delle dialgebre

\`E noto che a partire da un'algebra associativa si pu\`o definire un'algebra di Lie ponendo $[a,b]:= a b - b a$. Questa corrispondenza \`e funtoriale, e definisce una trasformazione canonica dalla categoria delle algebre associative a quella delle algebre di Lie. L'importanza di questa trasformazione \`e sottolineata dai teoremi che calcolano l'omologia dell'algebra di Lie delle matrici. Il teorema di Loday, Quillen e Tsygan afferma che per ogni algebra associativa unitaria $A$ esiste un isomorfismo di algebre di Hopf graduate~\cite{L-Q}, \cite{T} $$ H^{Lie}_{*}(\gl(A)) \cong \Wdg(HC_{*-1}(A)) , $$ dove $\gl(A)$ \`e l'algebra di Lie delle matrici a coefficienti in $A$. Allo stesso modo, se $A$ possiede una involuzione, Loday e Procesi hanno dimostrato che la parte primitiva dell'omologia di Lie delle matrici ortogonali o simplettiche a coefficienti in $A$ \`e data dall'omologia diedrale $HD_{*-1}(A)$~\cite{L-Pr}.
Nel 1989, J.-L.~Loday ha scoperto una versione non commutativa dell'omologia di Lie. L'osservazione chiave \`e che il differenziale di Chevalley-Eilenberg sulle potenze esterne $\Wdg^{n} \gg$ di un'algebra di Lie $\gg$ pu\`o essere sollevato alle potenze tensoriali $\gg^{\ot n}$, dando origine cos\`\i ad un nuovo complesso. L'omologia di questo complesso si chiama omologia di Leibniz, e viene indicata con $HL_{*}$. In effetti, questo complesso ha senso su una classe pi\'u ampia di algebre: le {\em algebre di Leibniz\/}. Il loro commutatore soddisfa la relazione di Leibniz \vspace{.2cm} \noindent $ (L) \hspace{.5cm} [x,[y,z]] = [[x,y],z] - [[x,z],y] $ \vspace{.2cm} \noindent ma non \`e necessariamente antisimmetrico. Le algebre di Leibniz con commutatore antisimmetrico sono di fatto algebre di Lie. Nel 1994, J.-L. Loday ha poi scoperto una versione `associativa' delle algebre di Leibniz, che ha chiamato {\em dialgebre\/}~\cite{L5}. Per definizione, una dialgebra $D$ \`e munita di due operazioni, chiamate prodotto sinistro e destro e indicate rispettivamente coi simboli $\lp$ e $\rp$, che soddisfano i cinque assiomi \vspace{.2cm} \noindent $ (D) \hspace{.3cm} \left\{ \ba{l} a \lp (b \lp c) = (a \lp b) \lp c = a \lp (b \rp c) \\ (a \rp b) \lp c = a \rp (b \lp c) \\ (a \lp b) \rp c = a \rp (b \rp c) = (a \rp b) \rp c , \ea \right. $ \vspace{.2cm} \noindent Queste identit\`a sono variazioni della legge associativa, e mostrano chiaramente che le dialgebre per cui i prodotti sinistro e destro coincidono sono algebre associative. \`E facile, poi, verificare che ponendo $$ [a,b]:= a \lp b - b \rp a $$ si definisce un commutatore di Leibniz su $D$, che non \`e antisimmetrico, in generale, a meno che i prodotti sinistro e destro non coincidano. Dunque l'introduzione delle dialgebre porta ad un diagramma commutativo di categorie e funtori $$ \ba{ccc} \Dig & \stackrel{-}{\lra} & \Leib \\ \cup & & \cup \\ \Alg & \stackrel{-}{\lra} & \Lie . \ea $$ La questione principale, su cui si sviluppa la presente tesi, consiste nel generalizzare il teorema di Loday-Quillen-Tsygan al contesto non commutativo. Il calcolo dell'omologia di Leibniz delle matrici $HL_{*}(\gl(D))$, a coefficienti in una dialgebra $D$, ci ha portato ad introdurre l'{\em omologia simmetrica\/}, indicata con $HHS_{*}$, e a dimostrare uno dei nostri teoremi principali: $$ HL_{*}(\gl(D)) \cong T(HHS_{*-1}(D)) . $$ Si dimostra che l'omologia simmetrica di un'algebra associativa unitaria $A$ \`e isomorfa alla sua omologia di Hochschild, e quindi, come caso particolare, ritroviamo il teorema gi\`a dimostrato da Cuvier e Loday~\cite{C}, \cite{Lo}, $$ HL_{*}(\gl(A)) \cong T(HH_{*-1}(A)) . $$ Nel contesto non commutativo, l'omologia simmetrica delle dialgebre ricopre il ruolo dell'omologia ciclica per le algebre associative. Dato che l'omologia ciclica \`e strettamente correlata all'omologia di Hochschild, per mezzo della lunga sequenza esatta di A. Connes $$ \cdots \lra HH_{n}(A) \lra HC_{n}(A) \lra HC_{n-2}(A) \lra \cdots , $$ \`e naturale cercare la relazione fra l'omologia simmetrica delle dialgebre e la loro omologia `naturale'.
In~\cite{L5}, Loday ha introdotto l'omologia a coefficienti costanti per le dialgebre, dimostrando che \`e l'omologia naturale prevista dalla teoria delle operad algebriche secondo Ginzburg e Kapranov~\cite{G-K}. L'ha indicata con $HY_{*}$, dal momento che il modulo delle $n$-catene utilizza l'insieme $Y_{n}$ degli {\em alberi binari planari\/}. \`E evidente la necessit\`a di introdurre una consistente teoria di omologia a coefficienti non costanti per le dialgebre. Il procedimento \`e classico. Il primo passo consiste nell'estendere il complesso `bar' di catene trovato da Loday ad un complesso di cocatene definito in modo che il secondo gruppo di coomologia classifichi le estensioni abeliane delle dialgebre, $$ HY^{2}(D,M) \cong \Ext(D,M) , $$ dove $M$ \`e un bimodulo qualsiasi sulla dialgebra $D$. Poi, per dualit\`a, si definisce il complesso di catene di una dialgebra e la relativa omologia $HY_{*}(D,N)$ a coefficienti nel bimodulo non banale $N$. La sostanziale differenza con l'analogo procedimento per le algebre associative \`e che per le dialgebre le categorie di `buoni' moduli di coefficienti per le teorie di coomologia e omologia {\em non\/} sono equivalenti (per le algebre, entrambe queste categorie coincidono con quella dei bimoduli). Vengono definite nei capitoli~\ref{tesirep}, \ref{tesicor} e chiamate rispettivamente {\em rappresentazioni\/} e {\em corappresentazioni\/}. Nel capitolo~\ref{tesienv} introduciamo il pi\`u importante ingrediente della procedura di dualizzazione: l'{\em algebra inviluppo universale\/} $E(D)$ di una dialgebra $D$. Questo anello ci permette, per costruzione, di descrivere rappresentazioni e corappresentazioni di $D$ in termini di moduli sinistri e destri su $E(D)$, e di introdurre il complesso di catene $EY_{*}(D)$ che gioca il ruolo di intermediario fra i complessi di omologia e coomologia, $$ HY^{*}(D,M) \cong \Hom_{E(D)}(EY_{*}(D),M) \hspace{.5cm} \mbox{e} \hspace{.5cm} HY_{*}(D,N) \cong N \ot_{E(D)} EY_{*}(D) . $$ Seguendo la terminologia introdotta da D.~Quillen, che in~\cite{Q} trova l'analogo complesso per l'omologia delle algebre commutative, lo chiamamiamo {\em complesso cotangente\/} di $D$.
Come caso particolare, per $N=k$, ritroviamo il complesso bar definito da Loday, che presentiamo nel capitolo~\ref{tesibar}. Mostriamo, inoltre, che questo complesso \`e aciclico sulle dialgebre munite di una {\em bar-unit\`a\/}, la migliore nozione di unit\`a che si pu\`o dare in una dialgebra: un elemento che \`e unit\`a per i prodotti sinistro e destro solo dalla parte della barra (in inglese, bar).
Il capitolo~\ref{tesips} \`e dedicato ad un studio sistematico dell'omologia delle dialgebre bar-unitarie. L'esistenza di una bar-unit\`a permette di definire una struttura {\em pseudo-simpliciale\/} sul complesso di catene di una dialgebra. I moduli pseudo-simpliciali sono una generalizzazione dei moduli simpliciali, che indebolsce le relazioni fra gli operatori di degenerazione. Per questo tipo di moduli si possono dimostrare importanti teoremi, come il teorema di Eilenberg-Zilber sull'omologia del prodotto, che permettono di definire l'{\em omologia normalizzata\/} delle dialgebre, di dimostrare l'invarianza di Morita dell'omologia di dialgebra per le matrici, e infine l'isomorfismo fra l'omologia di dialgebra e l'omologia di Hochschild per un'algebra associativa unitaria $A$ ed un bimodulo unitario $M$, $$ HY_{*}(A,M) \cong H_{*}(A,M) . $$
Nel capitolo~\ref{tesisymm} mostriamo come il punto di vista classico, secondo cui l'omologia ciclica delle algebre associative \`e una variazione dell'omologia di Hochschild, pu\`o essere esteso al contesto delle dialgebre. Il trucco, inventato da Loday~\cite{L6}, consiste nel considerare le permutazioni come {\em alberi con livelli\/}. La mappa naturale $S_{n} \lra Y_{n}$, che tralascia i livelli degli alberi, definisce una trasformazione canonica sull'omologia $$ HS_{*}(D) \lra HY_{*}(D) . $$ Pi\`u precisamente, dimostriamo che questa trasformazione conserva la struttura pseudo-simpliciale dei moduli di catene, e permette di estendere all'omologia simmetrica tutti i risultati dimostrati nel capitolo~\ref{tesips} per l'omologia di dialgebra.
Le dialgebre non unitarie, invece, devono essere trattate con tecniche pi\`u elaborate. Per entrambe le teorie di omologia $HY$ e $HS$, i moduli di catene sono somme dirette di potenze tensoriali della dialgebra. Nel capitolo~\ref{tesibico} descriviamo alcune propriet\`a combinatoriche dell'insieme di alberi $Y_{n}$ (e degli alberi con livelli, o permutazioni, $S_{n}$). L'orientazione delle foglie (come $/$ o $\backslash$), permette di definire un bicomplesso $k[Y_{p,q}]$ il cui complesso totale \`e il complesso originale di alberi (e analogamente per le permutazioni). Dunque, per ciascuna teoria, c'\`e una sequenza spettrale canonica che converge all'omologia. Nel capitolo~\ref{tesiSS} mostriamo come il bicomplesso di alberi orientati permetta di trovare, per {\em ogni\/} dialgebra $D$ e ogni corappresentazione $N$, una sequenza spettrale $$ E^{2}_{p q}:= H_{p} H_{q}(CY_{*,*}(D,N)) \Lra HY_{p+q+1}(D,N) $$ che converge all'omologia di dialgebra di $D$ (e analogamente per l'omologia simmetrica di $D$). I moduli di catene di questi bicomplessi sono ancora somme dirette di molti termini. La differenza principale fra l'omologia $HY_{*}$ e la sua variazione $HS_{*}$ risiede ancora nelle propriet\`a combinatoriche degli insiemi di alberi binari. Nel capitolo~\ref{tesiSS} usiamo la sequenza spettrale per calcolare l'omologia di dialgebra per alcuni casi particolari di dialgebre non unitarie.
Innanzitutto, dimostriamo che l'isomorfismo fra l'omologia di dialgebra e l'omologia di Hochschild per le algebre associative si estende alla categoria delle algebre {\em omologicamente unitarie\/}. Questo tipo di algebre, introdotto da M.~Wodzicki in~\cite{W} e ampiamente studiato da J.~Cuntz e D.~Quillen, risolve il problema dell'eccisione per l'omologia di Hochschild e ciclica.
In seguito, questa tecnica permette di dimostrare che il complesso cotangente di una dialgebra $D$ \`e aciclico, e quindi \`e una risoluzione di $H_{0}(EY_{*}(D))$. Questo risultato \`e particolarmente importante poich\'e implica che l'omologia di dialgebra ammette l'interpretazione come funtore derivato, $$ HY_{n}(D,N) \cong Tor^{E(D)}_{n}(N,M(D)) , $$ dove $M(D)$ \`e una rappresentazione di $D$ che coincide con l'algebra stessa quando $D=A$ \`e un'algebra associativa.