Grégoire LOEPER

Recherche et publications

Thèmes de recherche : Analyse des EDP.

a- Equations de transport, modèles cinétiques et hydrodynamiques.
b- Systèmes hyperboliques, perturbations singulières, et méthodes d'énergie modulée.
c- Transport optimal, optimisation convexe.
d- Régularité des EDP elliptiques non-linéaires (en particulier, EDP de type Monge-Ampère). Solutions de viscosité.

Description de quelques travaux

1- Approximation des fluides incompressibles : (Publications 2 et 8) Les solutions de l'équation d'Euler incompressible s'interprètent comme des géodésiques sur les transformations qui préservent le volume. L'idée est alors d'approcher ce système en considérant un fluide compressible qui subit une force de rappel vers les transformations qui préservent le volume. D'après le Théorême de factorisation polaire de Brenier, cette force de rappel est donnée par le transport optimal de la densité du fluide vers un densité uniforme. Ainsi le couplage accélération/densité se fait à travers l'équation Monge-Ampère. La convergence vers Euler incompressible est alors montrée par une méthode d'énergie modulée.

2- Problèmes de reconstruction : (Publications 1 et 6) Il s'agit de trouver des solutions d'equations de transport non-linéaires connaisant non pas vitesse et densité initiales, mais densités initiales et finales. Ce type de problème est bien posé pour des couplages "attractifs" (ex. gravitationnel), car le problème se ramène alors à la minimisation de l'action d'un Lagrangien convexe. Les techniques se rapprochent de celles utilisées pour le transport optimal notamment à travers l'utilisation de la dualité de Monge-Kantorovitch. Outre l'application au problème de reconstruction des vitesses initiales en cosmologie, ces travaux sont reliés aux équations d'Hamilton-Jacobi et la théorie KAM faible.

3- Questions de régularité pour les EDP elliptiques non-linéaires : (Publications 4 et 10 et travaux en cours) Le transport optimal est relié aux équations de type Monge-Ampère (en gros det(Hess u) = f). Je m'intéresse à la théorie de la régularité pour ce type d'équations, notamment dans le cas du transport optimal sur les varitétés Riemanniennes.
En particulier (resultat recent. cf preprint 2), j'ai obtenu la regularite des solutions du transport optimal sur la sphere avec cout=(distance Riemannienne)^2. Ce resultat est la consequence d'un resultat general de regularite qui donne une condition necessaire et suffisante sur la fonction cout pour avoir de la regularite. Cette condition s'exprime de maniere purement geometrique en terme de connexite de l'ensemble de contact entre une fonction c-convexe et une fonction support.

4- Résolution numérique de l'équation de Monge-Ampère : (Publication 7) On résoud ici numériquement l'équation de Monge-Ampère par une méthode de Newton. Grâce aux estimations a priori on montre la convergence de la méthode. Celle-ci s'avère rapide car l'algorithme de Newton converge (numeriquement) en un nombre fini d'itérations, ainsi le coût de calcul est équivalent à celui nécessaire pour résoudre une EDP elliptique linéaire, soit O(N log N).

5- Unicité pour les équations de transport non-linéaires grâce au transport optimal : (Publications 9 et 12) Le transport optimal fournit des méthodes souvent rapides pour démontrer certaines inégalités fonctionnelles (ex. inégalité de log-Sobolev). Ici, on établit une inégalité qui relie la distance de Wasserstein entre deux mesures de probabilités à densités bornées et la norme H^{-1} de leur différence. Cette inégalité permet ensuite d'obtenir l'unicité des solutions du système Vlasov-Poisson sous la condition que la densité 'macroscopique' (i.e. l'intégrale de la densité microscopique par rapport à la variable vitesse) soit bornée.
Cette méthode marche aussi pour Euler 2-d, et on retrouve ainsi un résultat ancien du à Youdovich. Elle s'applique à des couplages similaires par exemple le couplage par équation de Monge-Ampère pour les équations semi-géostrophiques.

Publications

1- Reconstruction of the early universe avec Y. Brenier, U. Frisch, S. Matarrese, R. Mohayaee, A. Sobolevskii,
Mon. Not. R. Astron. Soc., 2003. version pdf

2-A geometric approximation to the Euler equations: The Vlasov-Monge-Ampere equation, avec Y. Brenier,
Geom. Funct. Anal., 2004. version .pdf

3- Electric turbulence in a plasma subject to a strong magnetic field, avec Alexis Vasseur,
Asymptotic Analysis, 2004. version .pdf

4- On the regularity of the polar factorization for time dependent maps,
Calc. Var. Partial Differential Equations, 2004. version .pdf

5- Contractive metrics for scalar conservation laws, avec F. Bolley et Y. Brenier,
à paraître dans Journal of Hyperbolic Differential Equations, 2005. version .pdf

6- The reconstruction problem for the Euler-Poisson system in cosmology,
à paraître dans Arch. Rat. Mech. Anal., 2005. version .pdf

7- Numerical solution of the Monge-Ampère equation by a Newton's algorithm, avec F. Rapetti,
Cr. Acad, Sci. Paris, 2005. version .pdf

8- Quasi-neutral limit of the Euler-Poisson and Euler-Monge-Ampere systems,
Comm. Partial Differential Equations, 2005. version .pdf

9- Uniqueness of the solution to the Vlasov-Poisson system with bounded density,
a paraitre dans Journal de Mathematiques Pures et Appliquees. version .pdf

10- Gradient estimates for potentials of invertible gradient-mappings on the sphere, avec Ph. Delanoe,
a paraitre dans Calc. Var. Partial Differential Equations. version .pdf

11- A fully non-linear version of Euler incompressible equations: the Semi-Geostrophic system,
a paraitre dans SIAM Journal of Math Analysis. version .pdf

Articles soumis ou en préparation

1- Instability energetics for the ocean wind-driven circulation, avec M. Ghil, K. Ide. et E. Simonet

2- Continuity of maps solutions of optimal transportation problems, preprint 2005. version .pdf

Thèse

Applications de l'équation de Monge-Ampère à la modélisation des fluides et des plasmas, version .pdf (env 2 M)
Directeur : Yann Brenier
Soutenue à Nice la 1er décembre 2003

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