La métrique de De Sitter

et ses trois formes isotropes sur l'hyperboloide SO(1,4)/SO(1,3)

Dans le groupe de De Sitter G=SO(1,4), soient K=SO(4), H=SO(1,3), M=SO(3) et N le sous-groupe R^4 de la décomposition d'Iwasawa. La restriction à l'hyperboloïde G/H, dessiné ci-dessus, de la métrique sur R^5, invariante par le groupe de De Sitter, nous donne les trois types de modèles d'univers.

Le plongement isométrique de tout modèle d'univers se réalise dans cet espace R^5 invariant par le groupe de De Sitter.