Cette conférence, organisée dans le cadre du projet ALGOL, se tiendra du 8 au 12 juin dans le département de mathématiques de l'université de Franche-Comté à Besançon. Les exposés auront lieu dans l'Amphi B du bâtiment de Métrologie de l'UFR des Sciences et Techniques (cf. plan).

Le programme de la conférence se compose de trois mini-cours et d'une vingtaine d'exposés de recherche.

Cette conférence est organisée avec le soutien de l'ANR, du GDR Réseau de Théorie des Nombres, du Département de Mathématiques de Besançon, de l'Université de Franche-Comté, de la ville de Besançon, de la région Franche-Comté et de l'Institut Camille Jordan.

Nigel BOSTON (University College Dublin / University of Wisconsin) : p-extensions unramified at p

Much is known about p-extensions and p-adic Galois representations (e.g. the Fontaine-Mazur conjecture) when they are ramified at p. Those unramified at p are more mysterious but some light has lately been shed by a variety of methods, including tools from computational algebra, algebraic topology, automata, probability theory, and pro-p braid groups. We will survey these developments.

Emmanuel KOWALSKI (ETH, Zürich) : Survol des propriétés analytiques fondamentales des fonctions L

On présentera rapidement certains des différents types de fonctions L existant en arithmétique, et les propriétés communes qui permettent ensuite de déduire les résultats élémentaires fondamentaux, dans une grande généralité : comptage des zéros, formules explicites, bornes de convexité, théorèmes des nombres premiers. On discutera aussi des conséquences les plus directes de l'Hypothèse de Riemann.
Référence : le chapitre V de "Analytic number theory", AMS Colloquium Publ. 53, H. Iwaniec et E. Kowalski

David SOLOMON (King's College, Londres) : Fonctions L équivariantes en s=0 et s=1

La fonction L équivariante d'une extension abélienne de corps de nombres prend ses valeurs dans l'anneau de groupe de Galois.
La valeur en s entier comporte d'importantes informations sur l'arithmétique de l'extension (S-unités, groupes de classes, K-groupes...). Dans ce cadre, on discutera des Conjectures de Brumer, et de Rubin-Stark en s=0, ainsi que de nouveaux phénomènes en s=1.

Bill ALLOMBERT (I3M, Université Montpellier 2) : Expérimentations avec le calcul du groupe des classes de corps de nombres de grand degré

PARI/GP contient une des rares implantations générales de l'algorithme développé il y a vingt ans par McCurley, Hafner, Buchmann, Cohen et autres pour le calcul du groupe des classes et du groupe des unités d'un corps de nombres, sous l'hypothèse de Riemann généralisée. De manière heuristique, cet algorithme a un temps de calcul sous-exponentiel en le discriminant du corps. De nos jours, l'augmentation de la puissance de calcul nous permet d'expérimenter avec des corps de nombres de grand degré. En conséquence, nous avons effectué plusieurs améliorations à PARI/GP qui nous ont permis de calculer le nombre de classes du corps de classes de Hilbert du 23ème corps cyclotomique, qui est de degré 66.

Marie José BERTIN (IMJ, Université Paris 6) : Mesure de Mahler de variétés algébriques

La mesure de Mahler logarithmique m(P) d'un polynôme P de n variables est la moyenne sur le n-tore du logarithme du module de P. Cette quantité est liée, pour n=1, à la question de Lehmer de l'existence d'un polynôme à coefficients entiers, non cyclotomique, vérifiant 1 < exp(m(P)) < 1,1762...
Pour n=2, lorsque le polynôme P définit une courbe elliptique E et vérifie certaines conditions, m(P) est liée au deuxième groupe de K-théorie, K₂ (E), donc, par la conjecture de Zagier, à la série L de la courbe E. Ces formules liant m(P) et la série L de E sont, à quelques exceptions près, pour la plupart seulement vérifiées expérimentalement.
Nous expliquerons pourquoi les résultats les plus intéressants concernent les polynômes définissant des variétés de Calabi-Yau.
Nous donnerons de nombreux exemples de polynômes de 3 variables définissant des surfaces K3 "singulières" X, pour lesquels la mesure de Mahler s'exprime à l'aide de la série L de la surface K3, L(X, 3).

Julien BLONDEAU-PATISSIER (DMB, Université de Franche-Comté) : Déformations d'extensions cyclotomiquement ramifiées

François BRUNAULT (UMPA, ENS Lyon) : Régulateurs p-adiques explicites pour les courbes elliptiques

En utilisant le système d'Euler de Kato et la théorie de Perrin-Riou, je présenterai un lien explicite, pour une courbe elliptique, entre un régulateur p-adique (défini à partir du K₂ de la courbe) et la valeur en 0 de la fonction L p-adique.

Hugo CHAPDELAINE (Université Laval, Québec) : Construction de p-unités fortes dans les corps de classes de rayon de corps quadratiques réels

Une p-unité forte est un nombre algébrique x ayant un diviseur supporté seulement sur des idéaux premiers au-dessus de p et tel que tous ses conjugués sont sur le cercle unité. Les sommes de Gauss normalisées associées à un caractère de Dirichlet χ de conducteur pⁿ sont des exemples de p-unités fortes. On se propose d'expliquer une construction conjecturale de p-unités fortes dans les corps de rayons de corps quadratiques réels. La méthode utilisée consiste à faire de l'intégration p-adique de certaines mesures construites à partir de moments de séries d'Eisenstein. Nous expliquerons comment ces p-unites fortes peuvent être reliées à la derivées premières de certaines fonctions zêta évaluées en s=0. Une partie de l'exposé sera réservée à l'aspect algorithnmique de cette construction et plusieurs exemples numériques seront présentés.

Henri COHEN (IMB, Université Bordeaux 1) : Formules sommatoires de type Ramanujan faisant intervenir les fonctions K de Bessel

Gaëlle DEJOU (ICJ, Université Lyon 1) : Conjecture de Brumer-Stark pour les extensions diédrales

Farshid HAJIR (University of Massachusetts, Amherst) : Asymptotically good towers

Emmanuel HALLOUIN (IMT, Université Toulouse 2) : Sur les corps des modules et de définition de certaines variétés

Dans ce travail, en collaboration avec Jean-Marc Couveignes, nous nous intéressons aux corps des modules et de définition de certaines variétés. Plus précisément, on souhaite trouver des exemples de variétés qui ne sont pas définies sur leur corps des modules. Partant du fait que de telles obstructions à la descente existent dans la catégorie des revêtements de courbes, nous produisons d'autres exemples dans certaines catégories de surfaces puis dans la catégorie des courbes lisses. On présentera plusieurs constructions permettant de passer d'une catégorie à une autre.

Rob de JEU (FEW, Amsterdam) : Bounding the kernel of the tame symbol on curves

One can compute K₂ of the rationals fairly easily by using division with remainder in the integers. We discuss how, for a curve over an arbitrary field, a similar technique leads to the description of a subgroup of K₂ of its function field that contains the kernel of the tame symbol on the curve. For example, for an elliptic curve defined by a Weierstrass equation, this subgroup is generated by symbols {l₁ ,l₂ } with l_i a non-zero constant or an equation of a line.

Anthony MARTIN (DMB, Université de Franche-Comté) : Valeurs spéciales de fonctions L et annulateurs galoisiens

Philippe MICHEL (EPFL, Lausanne) : Le problème de sous-convexité pour GL₂ et moments de fonctions L

Pascal MOLIN (IMB, Université Bordeaux 1) : Calculs numériques de valeurs de fonctions L par intégration double exponentielle

On étudie la validité de la méthode d'intégration numérique double-exponentielle en explicitant les résultats de convergence, et on l'applique à des transformées Mellin inverses de facteurs Gamma.

Sebastian PAULI (UNCG, Greensboro) : Zero-free regions for the derivatives of the Riemann zeta function

We investigate the zeros of derivatives of the Riemann zeta function ζ(σ+it) on the right of the line σ=1 on the complex plane. We find previously unknown zero-free regions depending only on σ and the degree of the derivative. These zero-free regions are separated by narrow strips. Numerical evaluation of derivatives with high degree shows that these strips indeed contain zeros. Therefore, one cannot expect to extend the zero-free regions such that they connect to each other.

Fabien PAZUKI (IMJ, Université Paris 7) : Une conséquence des calculs de Gross et Zagier

On s'intéresse dans cet exposé aux calculs explicites présents dans l'article de Gross et Zagier (Inventiones, 1986). On verra comment une estimation asymptotique de la hauteur des points de Heegner peut donner des informations sur une conjecture de géométrie diophantienne dûe à Lang et Silverman.

Guillaume PERBET (DMB, Université de Franche-Comté) : Groupes p-adiques analytiques et théorèmes de réflexion

Frédéric PITOUN (IMT, Université Toulouse 2) : Quelques calculs en théorie d'Iwasawa, utilisant PARI/GP

Emmanuel ROYER (LM, Université de Clermont-Ferrand) : 4-rang des corps quadratiques, une interprétation combinatoire

Lara THOMAS (EPFL, Lausanne) : Questions de structure galoisienne dans des p-extensions de corps locaux

Soit L/K une p-extension de corps locaux de caractéristique résiduelle p>0. Poursuivant les récents travaux de N. Byott et G. Elder, nous nous intéresserons à l'existence d'un critère portant sur la valuation pour qu'un élément engendre une base normale dans L/K.
En introduction, nous évoquerons certains résultats de structure galoisienne pour des corps de nombres.
Une partie des résultats présentés dans cet exposé est issue d'un travail commun avec M. Florence et B. de Smit