Équations Elliptiques et Calcul des Variations
Cours de M2 - spécialités EDPCS et AAG, MFA, Université
Paris-Sud
Détails pratiques
Durée : 30h (7.5 ECTS)
Où : sur le campus d'Orsay, bâtiment 425, salle
117-119 (sauf exceptions).
Quand : le lundi, de 9h à 12h, jusqu'au 12 janvier,
à l'exclusion des 13 et 20 octobre, 10 novembre, 8
décembre, 5 janvier. Certaines séances sont
remplacées par des séances de tutorat. Le premier cours
a eu lieu exceptionnellement le mardi 23 septembre.
Examen : écrit, en janvier (semaine du 19 janvier).
Langue : le cours a lieu en français. Il est possible de
poser des questions en anglais ainsi que de composer sa copie d'examen
an anglais (le sujet sera bilingue). Les étudiants
intéressés aux équations elliptiques et ne
comprenant pas le français peuvent suivre le cours
d'E. Séré à Paris-Dauphine, qui est en anglais et
a lieu le mercredi aussi.
Pré-requis : analyse fonctionnelle (espaces de Sobolev,
convergence faible), un peu de distributions. On rappelera si besoin
les notions principales, mais rapidement.
Programme du cours
Le cours se déroule sur 10 séances de 3h qui cherchent
à toucher des sujets plus ou moins distincts.
Références bibliographiques générales
pour le cours :
Le livre d'E. Giusti, Direct Methods in the Calculus of
Variations est une très bonne référence tant
pour le calcul des variations que pour les EDP qui en découlent ;
le (petit) livre de Q. Han et F. Lin
Elliptic Partial Differential Equations fait une très
bonne introduction aux question plus simples sur les EDP elliptiques linéaires.
Je signalerai également d'autres ouvrages classiques
Séances
1) (séance du 23/9) Problèmes de calcul des
variations en 1D.
Géodésiques, brachistochrone,
croissance économique, modèles mécaniques. Exemples et techniques d'existence et de
non-existence. Équation d'Euler-Lagrange et conditions au
bord. Différences et difficultés en dimension
supérieure.
Références :
deux polys simples sur le calcul variationnel 1D (niveau M1 -
école d'ingé) :
Poly de
Guillaume Carlier sur les problèmes dynamiques ;
Un petit poly informel sur
l'existence ; le livre de G. Buttazzo, M. Giaquinta, S. Hildebrandt
One-dimensional variational problems.
2) (séance du 29/9) Convexité et
semicontinuité faible.
Convexité et conditions suffisantes, stricte convexité
et unicité. Fonctionnelles semi-continues fortément et
convexes. Nécessité de la convexité pour la sci
faible. Fonctionnelles intégrales en L(x,u,Du).
Références :
Giusti, chapitre 4; pour Lusin à valeurs dans des espaces
bizarres, voir ces deux pages.
3) (séance du 6/10) Le Laplacien, les
fonctions et les
distributions harmoniques et leur régularité
Introduction aux équations elliptiques ; Δu = f, estimation H2 ; Δu =0, estimation de
Caccioppoli, estimations Hk pour tout k ; propriété de
la moyenne ; les distributions harmoniques sont des fonctions
analytiques.
Références :
Han and Lin, chapitre 1.
4) (séance du 27/10) Autour du principe du
maximum
Principe du maximum pour u et Du pour les fonctions
harmoniques. Principe du maximum faible et fort pour des
opérateurs plus généraux, lemme
de Hopf. Principe ee maximum en formulation variationnelle et pour des
domaines "étroits".
Références :
Han and Lin, chapitre 2 (la formulation variationnelle n'y est pas).
5) (séance du 3/11) Applications du principe du
maximum et problèmes aux limites
Résultat de symétrie par la tméthode moving plane
(détaillé). Estimations a priori de la solution et de
son gradient par le principe du maximum. Considérations sur le
bord: régularité et non-régularité au
bord, exemples de non-unicité avec le Laplacien en
cordonnées polaires.
Références :
Han and Lin, chapitre 2.
6) (séance du 17/11) Régularité Lp
pour le Laplacien
Normes Lp et ensembles de niveau. Inégalités
d'interpolation pour la norme Lp. Construction avec les cubes, preuve du téorème de
régularité W2,p pour la
convolution avec la solution fondamentale, et régularité locale pour toute autre
solution.
Références :
Le livre de D. Gilbarg et N. Trudinger, Elliptic Partial
Differential Equations of Second Order, chapitre 9.
7)
(séance du 13/11) Régularité Holder
pour les équations sous forme de divergence
Espaces de Morrey-Campanato ; estimations de régularité
Ck,α
Références :
Le livre de M. Giaquinta et L. Martinazzi, An introduction to the
regularity theory for elliptic systems, harmonic maps and minimal
graph, chapitre 5.
Attention : la dérivation de l'équation avec
l'estimation H2 pour pouvoir le faire n'est pas
traitée dans ce chapitre. Voir plutôt cette note.
8)
(séance du 20/11) Δpu=f et
Δ∞u=0
Extensions Lipschitz ; régularité H1 pour le p-Laplacien ; un
modèle de trafic faisant apparaître
Δp ; limite p→∞ des fonctions
p-harmoniques up, minimiseurs absolus pour p=∞;
solutions de viscosité pour Δ∞u=0, la
limite des up est Δ∞-harmonique ;
théorème d'unicité pour
Δ∞u=0; interpretation avec le tire à la corde.
Références :
Le poly sur le p-Laplacien de P. Lindqvist (voir la section 4) ;
des slides de P. Juutinen sur Δ∞ (lisez-les toutes,
c'est rapide) ;
la preuve courte de
l'unicité pour Δ∞u=0 de S. Armstrong
et C. Smart.
9)
(séance du 27/11) Espace BV et optimisation de forme
Propriété ispérimétrique du disque en 2D
(par Fourier). L'espace BV : définitions, espaces de mesures, approximation et
injection compacte dans L1. Formule de la co-aire et
inégalité de Sobolev. Existence pour le
problème isopérimétrique dans une boîte
donnée. Minimisation du quotient de Raleygh ; symétrisation de
Schwarz, inégalité de Pólya-Szegő ;
optimalité de la boule pour λ1.
Références :
Le livre de L. C. Evans et F. Gariepy, Measure theory and fine
properties of functions, chapitre 5; pour la preuve de
l'inégalité isopérimétrique par Fourier,
ce papier de B. Fuglede qui en rappelle la preuve au début ;
enfin, voici des
notes contenant (Section 4.2) la preuve de l'inégalité
de rearrangement qu'on a utilisée pour λ1.
10)
(séance du 12/1) Exercices et revision
Tutorat
Antonin Monteil est tuteur pour ce cours: il organise des
séances d'exercises et peux répondre aux
questions (moi aussi, évidemment).
Séances de tutorat : le 20/10 ; le 14/11 ; le 17/12 ; le 7/1.
Exercices
Quatre feuilles d'exercices (à peu près les mêmes que l'année
dernière) et un sujet blanc d'examen ont été
proposés au cours du semestre.
Ici les quatre feuilles d'exercices.
L'examen blanc de l'année dernière.
L'examen de l'année
dernière.
L'examen blanc de cette année.
Le sujet de l'examen du 19/1/2015.