Journées du GdR "Analyse Fonctionnelle, Harmonique et Probabilités"

On se propose dans cet exposé de donner une estimation en norme L^2 de la trace au bord d'un champ de vecteur de carré intégrable dont la divergence et le rotationnel sont aussi de carré intégrable, ayant des informations sur la trace normale ou la trace tangentielle de ce champ de vecteurs sur la frontière d'un domaine Ω ⊂ R^3 du type

Ω:={x=(x,x)∈R^2×R;ω(x)<x} (demi-espace rugueux)

(où on a utilisé la notation x_h=(x_1,x_2) dans R^3) ou

Ω := {x = (xh,x3) ∈ R^2 × R;ω(xh) < x3 < 0} (bande rugueuse)

avec ω : R^2 →] − ∞, 0[ une application lipschitzienne bornée.

Dans le cas d'une bande rugueuse, on montrera aussi une inégalité de Poincaré du type suivant

si la trace normale ou la trace tangentielle d’un champ de vecteur de carré intégrable dont la divergence et le rotationnel sont aussi de carré intégrable dans une bande rugueuse de largeur l := sup |ω|, l’inégalité ci-dessous a lieu

(1) ∥u∥L2(Ω;R^3)≤2l/(1+cos3θ) ∥div(u)∥L^2(Ω;R^3)+∥rot(u)∥L^2(Ω;R^3) 

où θ désigne l’angle maximal que fait la normale à ∂Ω par rapport à la direction verticale.

Le sujet est issu d'une collaboration avec El-Maati Ouhabaz. On s'intéressera aux équations d'évolution de la forme

 x'(t) + A(t) x(t) = f(t)  x(0)=x_0

dans un espace de Hilbert. On dit que le problème ci-dessus a la régularité maximale L_p si pour x_0=0 et f ∈ L_p(0,τ), la solution satisfait

 x ∈ W_p^1(0,τ) et t → A(t)x(t) ∈ L^p(0,τ).

Pour des opérateurs A(t) qui proviennent de formes uniformément bornées et quasi-coercives a(t,·,·) dont les domaines de forme D(a(t,·,·)) = V sont constants on montre la régularité maximale L_p sous l'hypothèse d'une régularité α-Hölderienne par morceaux des fonctions a(·,u,u) pour tout u ∈ V et un α>1/2. De plus on montre qu'on peut choisir x_0 ∈ (H, D(A(0)))_{1/p, p}, donc dans l'espace d'interpolation réelle qui est déjà connu d'être optimal pour le problème homogène x'+Ax=f, x(0)=x_0.

Nos résultats répondent (en partie) positivement à des conjectures de J.L. Lions sur la régularité maximale.

Si (M,d) est un espace métrique muni d'une origine 0, notons Lip_0(M) l'espace des fonctions lipschitziennes qui s'annulent en $0$, muni de la norme donnée par la constante de Lipschitz. En raison de la compacité de sa boule unité pour la topologie de la convergence simple, cet espace admet un prédual naturel que nous appellerons espace Lipschitz-libre sur M et noterons F(M).

Malgré la simplicité de leur définition, la structure linéaire des espaces libres est très mal connue. Dans cet exposé, nous nous concentrerons sur l'étude de la propriété d'approximation pour les espaces libres. Nous survolerons les résultats connus (en commençant par les travaux fondateurs de Godefroy et Kalton) et détaillerons le cas des espaces métriques doublants et la construction d'une base de Schauder sur F(l^1).

Pour M un espace métrique pointé, on définit Lip0(M) comme étant l'espace des fonctions Lipschitziennes sur M, à valeurs réelles, s'annulant en 0. Muni de la norme correspondant à la constante de Lipschitz, cet espace est un espace de Banach.

Sa boule-unité étant compacte pour la topologie de la convergence simple, l'espace Lip0(M) est un espace dual : par définition son prédual est l'espace Lipschitz-libre sur M, noté F(M).

Le but de cet exposé sera de montrer que l'espace Lipschitz-libre sur tout espace métrique compact et dénombrable est un espace dual. Nous pourrons alors en déduire, en utilisant un résultat dû à Nigel Kalton, que pour tout M espace métrique compact dénombrable, F(M) a la propriété d'approximation métrique.

Dans cet exposé, on examinera certaines propriétés des semi-groupes d'opérateurs agissant sur des espaces L^p non commutatifs vectoriels. On présentera des résultats fournissant un calcul fonctionnel borné pour les générateurs de certains semi-groupes de diffusion non commutatifs. On traitera le cas du semi-groupe de Poisson non commutatif sur le groupe libre et le cas de certains semi-groupes de multiplicateurs de Schur.

Nous obtenons l'équation de Boltzmann linéaire à partir d'un système newtonnien de sphères dures, en suivant la démarche de Lanford. La convergence a lieu sur un temps suffisamment long pour obtenir l'équation de la chaleur dans la limite de diffusion. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Thierry Bodineau et Laure Saint-Raymond.

Sur un graphe G vérifiant la condition de doublement de volume et une estimation sur la diagonale du noyau de Markov, nous donnons des conditions suffisantes pour que l'espace homogène L^p_s(G) \cap L^\infty(G) soit une algèbre pour le produit point par point.La méthode utilise des caractérisations des espaces de Sobolev par des fonctionnelles faisant intervenir des différences de fonctions de manière similaire à ce qui est fait dans [1] pour le cas continu. Pour cela, nous devrons introduire des fonctionnelles de Littlewood-Paley discrètes et prouver leur continuité dans L^p(G), 1<p<+\infty.

[1] T. Coulhon, E. Russ, V. Tardivel-Nachef, Sobolev algebras on Lie groups and riemannian manifolds, Amer. J. Math., 283-342, 2004.

On établit un théorème spectral inverse précisé pour les opérateurs de Hankel compacts. Dans le cas d'opérateurs de Hankel auto-adjoints compacts et pour des valeurs propres simples, le résultat s'énonce de la manière suivante: étant données deux suites de nombres réels distincts tendant vers 0 et dont les termes sont intercalés en valeur absolue, il existe un unique symbole réel tel que l'opérateur de Hankel et l'opérateur de Hankel décalé possèdent respectivement ces suites comme valeurs propres. Ce symbole est décrit explicitement.

Pour une suite de nombres positifs non nécessairement distincts deux à deux, on obtient une description complète des symboles des opérateurs de Hankel compacts ayant pour valeurs singulières cette suite (les répétitions éventuelles dans la suite correspondent à la multiplicité des valeurs singulières).

Travail effectué en collaboration avec Patrick Gérard (université Paris sud)

Après avoir donné quelques notions et exemples de groupes quantiques compacts, je rappellerai quelques résultats de Banica sur les règles de fusion des coreprésentations irréductibles du groupe quantique de permutation S_N^+. Puis je décrirai les règles de fusion des produits en couronnes libres de groupes discrets (classiques) avec S_N^+ (un analogue quantique du produit en couronne classique par le groupe de permutation). Je donnerai alors quelques applications et ouvertures telles que les propriétés d'approximation.

Nous donnerons un aperçu des études récentes sur les spectres discrets des perturbations complexes d'opérateurs de Schrödinger, Schrödinger magnétique, Pauli, Dirac, Klein-Gordon, etc. Ces travaux utilisent, entre autre, les résultats de Borichev-Golinskii-Kupin et Golinskii-Favorov sur les ensembles des zéros des fonctions holomorphes des certaines classes.

Soient Omega\subset R^n un domaine borné C^2 et \Omega^{\ast} la boule de centre 0 et de même mesure que Omega. Soit u dans H^1_0(Omega) une solution d'un problème elliptique du type

-div(A(x)\nabla u)+H(x,u,\nabla u) =0

dans Omega avec condition de Dirichlet. Sous des hypothèses de croissance de H, on donne des résultats de comparaison entre u et la solution d'un problème réarrangé dans \Omega^{\ast}. Il s'agit d'un travail en collaboration avec François Hamel (Université d'Aix-Marseille).

Dans un long article à paraître dans « Inventiones Mathematicae », avec Mathew Johnson (Kansas), Pascal Noble (INSA Toulouse) et Kevin Zumbrun (Indiana), nous avons répondu pour les systèmes d'équations aux dérivées partielles dissipatifs à l'une des vieilles questions ouvertes de l'analyse de stabilité : en quel sens une solution spatialement périodique peut-elle être stable ?

La formulation même du problème est longtemps restée mystérieuse. En effet, l'une des difficultés réside précisément dans la détermination d'un bon cadre fonctionnel :

• autorisant suffisamment de données initiales pour inclure les perturbations localisées ;
• demandant assez peu de localisation spatiale pour être compatible avec la dynamique non linéaire mais suffisamment pour permettre de contrôler la décroissance temporelle.

L'objectif de ce court exposé est de présenter brièvement la structure de notre démonstration.

Le problème du sous espace hyper-invariant, pour un opérateur $T \in \mathcal{B}(H)$, $T \ne \lambda I$, porte sur l'existence ou non d'un sous espace fermé non trivial, qui est invariant pour tous les opérateurs qui commutent avec $T$. Ce problème est encore ouvert pour des opérateurs de la forme $N+K$ ou $D+K$, avec $N$ un opérateur normal, $D$ un opérateur diagonal et $K$ un opérateur compact.

Dans cet exposé, on discutera l'existence de sous espaces hyper-invariants non triviaux pour certains opérateurs de la forme $N+K$ et $D+K$.

A la fin du XIXème siècle, Brunn établit une forme de concavité du volume des sections parallèles d'un corps convexe de R^n. Au milieu du XXème siècle, Busemann démontra une propriété analogue pour les sections tournant autour d'un point. Le théorème de Brunn a ensuite été étendu par Prékopa et Leindler aux mesures log-concaves, puis par Borell aux mesures convexes générales, qui comprennent par exemple les mesures gaussiennes et les mesures de Cauchy. En utilisant la caractérisation de Borell, nous montrerons que le théorème de Busemann et son extension aux mesures convexes peuvent être vues comme de simples conséquences du théorème de Prékopa généralisé. Par polarité, ce résultat étend aussi un théorème de Campi-Gronchi sur la concavité du volume du polaire d'un système d'ombre associé à un corps convexe symétrique de R^(n+1). Appliquée à la symétrisation de Steiner, cette propriété de concavité permet de démontrer l'inégalité de Blaschke-Santalo sur le produit volumique des convexes et des cas particuliers de la conjecture de Mahler. Nous présenterons ensuite l'application de ces résultats pour l'estimation du volume des convexes aléatoires et de leur polaire.

Partant de similitudes que présentent l'inégalité de Brunn-Minkowski et l'inégalité de l'entropie exponentielle en théorie de l'information, Max Costa et Thomas Cover ont conjecturé que la fonction volume parallèle de tout ensemble compact est 1/n-concave, comme analogue de la concavité de l'entropie exponentielle. Dans cet exposé, on traite cette conjecture et ses possibles généralisations.

Let X be a separable Banach space, T a continuous and linear operator on X. Consider F a non-empty set of subsets of N. An operator T satisfies property P_F if for any U non-empty open set in X there exists x ∈ X such that N(x,U) = {n ∈ N : T^n(x) ∈ U} ∈ F . Let BD the collection of sets in N with positive upper Banach density. Our aim is to generalize the main result of [2] using a very strong result of Bergelson and Mccutcheon [1] in the vein of Szemerédi’s theorem, leading us to a characterization of those operators satisfying property P_{BD} . It turns out that operators having property P_{BD} satisfy a kind of recurrence described in terms of essential idempotents of βN (the Stone-Čech compactification of N), i.e. idempotents ultrafilters in which every element has positive upper Banach density. On the other hand, as a consequence we obtain a characterization of syndetic weighted backward shifts on l_p(N), 1 ≤ p ≤ ∞ or c_0(N).

[1] Vitaly Bergelson and R. McCutcheon, Idempotent ultrafilters, multiple weak mixing and Szemerédi’s theorem for generalized polynomials, Journal D’Analyse Mathema- tique 111 (2010) 77-130.

[2] George Costakis and Ioannis Parissis, Szemerédi’s Theorem, frequent hypercyclicity and multiple recurrence, arXiv:1008.4017v2 [math.FA] 11 Aug 2011.

A result of L. Weis shows that the negative generator of a bounded holomorphic C_0-semigroup on L^p which is positive and contractive on the real line has a bounded H^{\infty}-calculus of angle better than \pi/2. We show that conversely each semigroup on L^p with such an H^{\infty}-calculus can be obtained after similarity transforms and passing to invariant subspaces and quotients from a positive and contractive semigroup.

Le théorèeme de Blum-Hanson est un renforcement du théorème ergodique en moyenne, qui s'énonce comme suit : Soit H est un espace de Hilbert. Si T:H→H est une contraction (opérateur linéaire continu tel que |T|⇐1) et si x dans H est tel que la suite (T^nx) converge faiblement vers $0$, alors toute sous-suite de (T^nx) converge en norme vers 0 au sens de Cesaro. On dit qu'un espace de Banach X possède la propriété de Blum-Hanson si le théorème de Blum-Hanson est vrai pour toute contraction T sur X. Comme le titre l'indique, cet exposé comportera un certain nombre de remarques et de questions sur la propriété de Blum-Hanson.