Université Lyon 1 (Institut Camille Jordan) 2013
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Le sujet est issu d'une collaboration avec El-Maati Ouhabaz. On s'intéressera aux équations d'évolution de la forme
x'(t) + A(t) x(t) = f(t) x(0)=x_0
dans un espace de Hilbert. On dit que le problème ci-dessus a la régularité maximale L_p si pour x_0=0 et f ∈ L_p(0,τ), la solution satisfait
x ∈ W_p^1(0,τ) et t → A(t)x(t) ∈ L^p(0,τ).
Pour des opérateurs A(t) qui proviennent de formes uniformément bornées et quasi-coercives a(t,·,·) dont les domaines de forme D(a(t,·,·)) = V sont constants on montre la régularité maximale L_p sous l'hypothèse d'une régularité α-Hölderienne par morceaux des fonctions a(·,u,u) pour tout u ∈ V et un α>1/2. De plus on montre qu'on peut choisir x_0 ∈ (H, D(A(0)))_{1/p, p}, donc dans l'espace d'interpolation réelle qui est déjà connu d'être optimal pour le problème homogène x'+Ax=f, x(0)=x_0.
Nos résultats répondent (en partie) positivement à des conjectures de J.L. Lions sur la régularité maximale.
Dans cet exposé, on examinera certaines propriétés des semi-groupes d'opérateurs agissant sur des espaces L^p non commutatifs vectoriels. On présentera des résultats fournissant un calcul fonctionnel borné pour les générateurs de certains semi-groupes de diffusion non commutatifs. On traitera le cas du semi-groupe de Poisson non commutatif sur le groupe libre et le cas de certains semi-groupes de multiplicateurs de Schur.
Nous donnerons un aperçu des études récentes sur les spectres discrets des perturbations complexes d'opérateurs de Schrödinger, Schrödinger magnétique, Pauli, Dirac, Klein-Gordon, etc. Ces travaux utilisent, entre autre, les résultats de Borichev-Golinskii-Kupin et Golinskii-Favorov sur les ensembles des zéros des fonctions holomorphes des certaines classes.
Dans un long article à paraître dans « Inventiones Mathematicae », avec Mathew Johnson (Kansas), Pascal Noble (INSA Toulouse) et Kevin Zumbrun (Indiana), nous avons répondu pour les systèmes d'équations aux dérivées partielles dissipatifs à l'une des vieilles questions ouvertes de l'analyse de stabilité : en quel sens une solution spatialement périodique peut-elle être stable ?
La formulation même du problème est longtemps restée mystérieuse. En effet, l'une des difficultés réside précisément dans la détermination d'un bon cadre fonctionnel :
L'objectif de ce court exposé est de présenter brièvement la structure de notre démonstration.
Le problème du sous espace hyper-invariant, pour un opérateur $T \in \mathcal{B}(H)$, $T \ne \lambda I$, porte sur l'existence ou non d'un sous espace fermé non trivial, qui est invariant pour tous les opérateurs qui commutent avec $T$. Ce problème est encore ouvert pour des opérateurs de la forme $N+K$ ou $D+K$, avec $N$ un opérateur normal, $D$ un opérateur diagonal et $K$ un opérateur compact.
Dans cet exposé, on discutera l'existence de sous espaces hyper-invariants non triviaux pour certains opérateurs de la forme $N+K$ et $D+K$.
Let X be a separable Banach space, T a continuous and linear operator on X. Consider F a non-empty set of subsets of N. An operator T satisfies property P_F if for any U non-empty open set in X there exists x ∈ X such that N(x,U) = {n ∈ N : T^n(x) ∈ U} ∈ F . Let BD the collection of sets in N with positive upper Banach density. Our aim is to generalize the main result of [2] using a very strong result of Bergelson and Mccutcheon [1] in the vein of Szemerédi’s theorem, leading us to a characterization of those operators satisfying property P_{BD} . It turns out that operators having property P_{BD} satisfy a kind of recurrence described in terms of essential idempotents of βN (the Stone-Čech compactification of N), i.e. idempotents ultrafilters in which every element has positive upper Banach density. On the other hand, as a consequence we obtain a characterization of syndetic weighted backward shifts on l_p(N), 1 ≤ p ≤ ∞ or c_0(N).
[1] Vitaly Bergelson and R. McCutcheon, Idempotent ultrafilters, multiple weak mixing and Szemerédi’s theorem for generalized polynomials, Journal D’Analyse Mathema- tique 111 (2010) 77-130.
[2] George Costakis and Ioannis Parissis, Szemerédi’s Theorem, frequent hypercyclicity and multiple recurrence, arXiv:1008.4017v2 [math.FA] 11 Aug 2011.