Projet ANR : Stab

Exposés :

Mini-cours donnés par

• Laurent Miclo (Toulouse) : Sur les liens entre stationnarité et quasi-stationnarité

La vitesse de convergence à la quasi-stationnarité pour les processus absorbés n'a pas reçu une attention aussi importante que l'étude correspondante des processus ergodiques. On verra toutefois comment la première peut se ramener à la seconde par le biais d'estimées sur le premier vecteur propre de Dirichlet, du moins dans un contexte fini ou de processus de vie et de mort absorbés en 0 pour lesquels l'infini est une frontière d'entrée. Cette réduction permet notamment de réutiliser les inégalités fonctionnelles développées pour quantifier la convergence à l'équilibre. Réciproquement, disposer de techniques d'évaluation de la vitesse d'absorption peut se révéler commode pour appréhender la convergence à l'équilibre. C'est par exemple le cas en théorie de la dualité par entrelacement markovien, qui permet la construction de temps forts de stationnarité. Un autre exemple sera présenté pour l'étude de la convergence de marches aléatoires sur des groupes finis de Heisenberg (de matrices supérieures 3×3 à coefficients dans Z/(nZ)), en particulier pour retrouver que le centre converge plus rapidement que la marche globale. La théorie des représentations de ces groupes conduit en effet à estimer l'absorption de processus markoviens sur Z/(nZ) qui peuvent être vus comme des versions discrètes d'opérateurs de Harper. Ce mini-cours est basé sur des travaux en collaboration avec Daniel Bump, Persi Diaconis, Angela Hicks et Harold Widom.

• Denis Villemonais (Nancy) : Distributions quasi-stationnaires : domaine d'attraction et convergence exponentielle

Les distributions quasi-stationnaires apparaissent naturellement comme la limite en temps long de la distribution d'un processus conditionné à la non-absorption. Partant de ce constat et de cette définition, nous introduirons dans un premier temps les différents enjeux propres à l'étude de ces distributions, tels que leur existence, leur unicité et leur pertinence pratique. Notre première problématique sera alors de déterminer si la limite en temps long de la distribution conditionnelle dépend ou non des conditions initiales. Le cas échéant, nous tenterons de déterminer quelles sont celles qui appartiennent au domaine d'attraction d'une distribution quasi-stationnaire particulière, appelée limite de Yaglom. Nous verrons que, si cette question reste largement ouverte, des réponses satisfaisantes peuvent être apportées dans le cadre des processus de naissance et mort alpha-positifs récurrents. Une seconde problématique consistera à déterminer sous quelles conditions la convergence est uniforme en variation totale. Nous présenterons des résultats récents concernant les diffusions uni-dimensionnelles et multi-dimensionnelles, les processus fractionnaires et des modèles de population multi-dimensionnels. Les résultats présentés durant cet exposé reposeront principalement sur des collaborations avec Servet Martinez et Jaime San Martin, avec Nicolas Champagnat, avec Pierre Del Moral, ainsi que sur des travaux en cours avec Nicolas Champagnat et Kolehe Coulibaly.

Exposés donnés par

• Patrick Cattiaux (Toulouse) : Un système de particules pour le modèle de Keller-Segel 2D: existence et unicité
• Aldéric Joulin (Toulouse) : Trou spectral et inegalités de Brascamp-Lieb pour des opérateurs de diffusion
• Joseph Lehec (Paris-Dauphine) : Régularisation dans L1 pour le semi-groupe d'Ornstein-Uhlenbeck
• Stéphane Menozzi (Evry) : Quelques résultats de concentration non asymptotique pour les diffusions en temps long
• Boris Nectoux (Ecole des Ponts) : Metastable dynamics and Transition State Theory
• Julien Reygner (Ecole des Ponts) : Formule d'Eyring-Kramers pour des processus de diffusion non-réversibles
• Luigia Ripani (Lyon 1) : Analogies entre transport optimal et entropie minimale
• Camille Tardif (Paris 6) : Mouvement brownien cinétique et hypocoercivité
• Michèle Thieullen (Paris 6) : Diffusions dégénérées avec drift périodique. Application à un modèle d'Hodgkin-Huxley avec stimulation aléatoire

Programme

Participants :

• François Bolley (Paris 6)
• Emeric Bouin (Paris-Dauphine)
• Patrick Cattiaux (Toulouse)
• Djalil Chafaï (Paris-Dauphine)
• Nicolas Fournier (Paris 6)
• Ivan Gentil (Lyon 1)
• Arnaud Guillin (Clermont-Ferrand)
• Aldéric Joulin (Toulouse)
• Benjamin Jourdain (Ecole des Ponts)
• Joseph Lehec (Paris-Dauphine)
• Christian Léonard (Nanterre)
• Stéphane Menozzi (Evry)
• Laurent Miclo (Toulouse)
• Boris Nectoux (Ecole des Ponts)
• Gilles Pagès (Paris 6)
• Julien Reygner (Ecole des Ponts)
• Luigia Ripani (Lyon 1)
• Raphaël Roux (Paris 6)
• Camille Tardif (Paris 6)
• Marie-Noémie Thaï (Marne-la-Vallée)
• Michèle Thieullen (Paris 6)
• Denis Villemonais (Nancy)

Contacts : François Bolley (bureau: couloir 16-26, premier étage, bureau 120, tel. 01 44 27 36 47) et Ivan Gentil