Ce billet de blog a pour but de faire un peu de publicité pour mes notes de cours : Introduction aux formes différentielles. dont je partage ici une partie de l'introduction.
Motivation
Le formalisme des formes différentielle date d’Élie Cartan et est donc vieux d’au moins un siècle. Celui ci est cependant, encore aujourd’hui, vu comme un objet mathématique sophistiqué est reste assez peu utilisé en dehors de la physique théorique. Le but de ces notes est d’essayer de démocratiser (vulgariser on pourrait dire) ces notions et ces outils. Mais tout d’abord pourquoi utiliser les formes différentielles ? La première motivation est conceptuelle. Le formalisme mathématique est paradoxalment plus proche du sens physique et donne, je trouve, un lien plus direct entre la modélisation et les calculs et ajoute une touche d’«analyse dimensionnelle». Ensuite, les outils mathématiques des formes différentielles recouvrent ceux de l’analyse vectorielle. Les calculs ne sont pas plus compliqués que si on n’utilisait simplement \(\vec{A}\times\vec{B}\), \(\vec{rot}(\vec{A})\) où det(M) mais les notations peuvent être à la fois courtes et pratiques. De fait, ces outils sont déjà (sans le dire) en grande partie utilisés et il s’agit pour beaucoup que d’un changement de vocabulaire. Celui ci apporte cependant un point de vue en plus, un peu comme la mécanique Hamiltonienne vis à vis des lois de Newton. Le formalisme est surtout beaucoup plus général et devient nécessaire pour des modèles physiques plus abstrait, ou en plus grande dimension, par exemple, lorsque l’on commence à travailler dans \(\mathbb{R}^4\). Enfin, pour citer quelques exemples précis, nous pourrions mentionner l’utilisation de systèmes de coordonnées non orthonormées, l’opérateur de différentielle extérieur pour l’électromagnétisme ou la dérivée de Lie pour l’hydrodynamique
Quelques exemples traités dans ces notes :
- La Poulie
- Le bras de levier
- Le premier principe en thermodynamique
- L'équation de la Chaleur
- Electrostatique et Magnetostatique
- Équations de Maxwell
- Vecteur de Poynting
- La Poussé d'Archimède
- Équation de continuité
- L'équation d'Euler
- Théorème de Bernoulli
- La mécanique Hamiltonienne
- Le théorème de Liouville
- Équations de Maxwell en relativité restreinte
- Les fonctions holomorphes
- La transformée de Fourier