Effets du bruit dans la dynamique non-linéaire

Référence: Chapitre 6: A Longtin, Effects of noise on nonlinear dynamics, dans A Beuter, L Glass, MC Mackey and MS Titcombe. Nonlinear dynamics in physiology and medicine 25 (2013) Springer.

Fichiers Matlab: langevin.m et fhnnoise.m.

Bruit

• Bruit blanc gaussien $\xi(t)$ (Gaussian White Noise). Un bruit blanc gaussien est un processus strochastique $\xi(t)$ (variable aléatoire dépendante du temps), de loi normale avec moyenne 0 et autocorrelation $\langle \xi(t)\xi(s) \rangle = 2 D \delta(t-a)$, avec $\delta$ le delta de Dirac. Le coefficient $D = \sigma^2/2$ est l'intensité du bruit blanc gaussien. L'autocorrelation est nulle pour deux temps $t$ et $s$ différents, c'est un processus non-correlé. Techniquement, la variance de $\xi(t)$ est infinie, à cause du Dirac, mais le terme $\sqrt{\Delta t} \sigma$ peut être vu comme l'écart-type de la variation de $\xi(t)$i sur un intervalle de longueur $\Delta t$. Le bruit blanc est discontinu partout.
• Processus de Wiener $W(t)$ (mouvement brownien). C'est la somme cumulative d'un bruit blanc. Les accroissement $dW(t) = \xi(t)dx$ avec le bruit blanc $\xi$ d'intensité 1/2.
• Bruit Ornstein-Uhlenbeck Le processus d'Ornstein-Uhlenbeck est un processus gaussien, mais contrairement au bruit blanc, a pour autocorrelation (en temps longs) $\langle \xi(s) \xi(s) \rangle = \frac{\sigma^2}{2 \alpha} \exp(-\alpha |t-s|)$. Contrairement au bruit blanc, le bruit Orntein-Uhlenbeck est correlé (on dit ``coloré'') et est continu. Le terme $1/\alpha$ est le temps de correlation (l'échelle de temps sur laquelle le processus reste correlé).

Equation de Langevin

L'équation de Langevin est une équation différentielle stochastique: $$\frac{dx}{dt} = - \alpha x + \xi(t),$$ où $\xi(t)$ est un bruit blanc gaussien, d'intensité $D$. La solution de cette équation est un bruit Ornstein-Uhlenbeck. On peut aussi considérer une version non-linéaire de l'équation de Langevin.

Algorithme d'intégration d'Euler-Maruyama

Il existe une version stochastique de la méthode d'Euler explicite pour résoudre l'équation de Langevin non-linéaire $$\frac{dx}{dt} = h(x,t) + \xi(t),$$ Pour voir comment dériver le schéma, on réécrit l'équation de Langevin sous forme d'équation stochastique avec un mouvement brownien $W(t)$, dont la dérivée est un bruit blanc gaussien: $$dx = h(x,t)dt + \sigma dW(t).$$

Le schéma numérique est s'obtient immédiatement en posant $dx \approx x(t+\Delta t) - x(t)$, et ainsi de suite: $$x(t+\Delta t) = x(t) + \Delta t \, h(x,t) + \sigma \Delta W.$$ Les deux premiers termes du membre de droite sont les mêmes que pour Euler explicite. Le terme $\Delta W$ doit être évaluée numériquement. Ces accroissements $W(t+\Delta t)-W(t)$ sont gaussiens, de moyennes nulles et de variance $\Delta t$. D'où le fait que $\sigma \Delta W$ est une variable aléatoire de moyenne nulle et d'écart-type $\sqrt{\Delta t} \sigma$. Les accroissement de $W$ sont très grands par rappot à la partie déterministe, quand le pas de temps est petit. Cela donne des contraintes sur les pas de temps $\Delta t$ qu'on peut prendre pour intégrer l'équation de Langevin. Pour accélérer les simulations on peut avoir recours à deux discrétisations, une pour la partie déterministe et une pour la partie stochastique.

Si le terme $\sigma$ dépend de $x$ et $t$, le bruit devient nonlinéaire, et la question se pose de savoir à quel moment de l'intervalle $[t, t+\Delta t]$ évaluer $\sigma$. L'évaluation en $(x(t),t)$, qui donne un méthode explicite, correspond à la formulation d'Itô du calcul stochastique. La méthode explicite et la formulation d'Itô sont adaptées au cas où le bruit est vraiment blanc. Une autre version est de prendre la moyenne $$\frac{\sigma(x(t+\Delta t),t+\Delta t)+\sigma(x(t),t)}{2},$$ qui correspond à la formulation de Stratonovich, est qui peut être plus pertinente dans les applications ou le bruit est coloré. Par contre, la méthode numérique devient implicite, ce qui pose des difficultés en pratique.

FitzHugh-Nagumo avec bruit

On considère le système de FitzHugh-Nagumo avec bruit coloré et forçage sinusoïdal périodique. On écrit le système sous la forme d'équations de Langevin $$\epsilon \frac{dv}{dt} = v(v-a)(1-v) - w + I + r \sin \beta t + \eta(t),$$ $$\frac{dw}{dt} = v - d w - b,$$ $$\frac{d\eta}{dt} = \lambda \eta + \lambda \xi(t).$$ Le bruit $\xi(t)$ est un bruit blanc gaussien d'intensité $D$. La variable $\eta(t)$ est un bruit Ornstein-Uhlenbeck avec temps de correlation $1/\lambda$ et variance $D$. On ajoute un signal périodique à la variable de voltage $v$.

Exercices 1 - Effet de $\alpha$ sur le bruit Ornstein-Uhlenbeck

À l'aide du script langevin, explorez le dynamique du processus d'Ornstein-Uhlenbeck pour differentes valeurs de $\alpha$ et $D$. Vous pouvez visualiser les séries temporelles $\xi(t)$ avec la commande plot(t,x) et la distribution stationnaire (l'histogramme) avec la commande plot(rhox,rhoy).

Quelle est la variance théorique de la distribution stationnaire? Vérifiez que la variance de l'histogramme est proche de la variance théorique. Vous pouvez utiliser trapz(rhox,rhoy.*rhox.^2)/trapz(rhox,rhoy)-(trapz(rhox,rhoy.*rhox)/trapz(rhox,rhoy))^2 pour calculer la variance de la distribution.

Exercices 2 - Résonance stochastique dans le système de FitzHugh-Nagumo

En l'absence de bruit (dnz = 0) et de forçage périodique (r = 0), trouvez l'intensité de courant appliqué $I$ pour avoir une bifurcation de Hopf. On a un régime excitable sous le seuil de bifrucation, et un régime soutenu au-dessus du seuil de bifurcation.

Calculez les intervalles de stimuli (interspike intervals) avec bruit, sans forçage. La distribution d'intervalles visualisée avec plot(t,v). Voyez comment la distribution change en augmentant l'intensité du bruit dnz. Les intervalles devraient se décaler vers des valeurs plus petites.

Effet de l'amplitude de forçage sur la distribution des intervalles de stimuli. Comment la distribution évolue-t-elle quand l'amplitude de forçage augmente dans le régime excitable ?

Effet de la fréquence de forçage sur la distribution des intervalle de stimuli. Comment la distribution évolue-t-elle quand la fréquence de forçage est variée, dans le régime excitable ?

Effet du bruit sur la distribution des intervalle de stimuli. Comment la distribution évolue-t-elle quand l'intensité du bruit varie, dans le régime excitable ?

Résonance stochastique. Tracez le maximum des pics de distribution d'intervalles de stimuli en en fonction de l'intensité du bruit dans le régime excitable et dans le régime soutenu. Vous devriez obtenir que ce maximum passe par une valeur maximale en fonction de l'intensité $D$.