Avec Alexandre Bordas (UMPA, ENS de Lyon) et Gwladys Fernandes (ICJ, UCBL), j'étais co-organisateur du séminaire des doctorants et doctorantes pour l'année 2016-2017. Pour l'année 2017-2018, le séminaire est confié aux bons soins de Jonathan Husson, Hugo Vanneuville et Simon Zugmeyer. Toutes les informations concernant le séminaire sont maintenant disponibles sur cette page.
Le séminaire rassemble principalement les doctorants et doctorantes de l'UMPA et de l'institut Camille Jordan (mais reste ouvert, aussi, aux pré-doctorants et pré-doctorantes de l'un ou l'autre des laboratoires). Il a lieu environ toutes les deux semaines, tantôt à l'ENS de Lyon, tantôt sur le campus de La Doua (dans le bâtiment Braconnier, sauf exception). Les exposés durent environ 50 minutes et sont suivis d'une petite séance de questions. Les orateurs et oratrices s'engagent à donner des exposés accessibles au plus grand nombre, y compris à des gens hors de leur domaine de spécialité.
Les exposés ont lieu le lundi matin, de 10h30 à 11h30. Ils sont précédés d'une dégustation de viennoiseries (croissants et chocolatines) à partir de 10h15. Nous vous y attendons nombreuses et nombreux !
Physique, Biologie, chimie, économie et même propagation de zombies : les équations aux dérivées partielles (EDP) offrent un champ d’applications très vaste pour modéliser des phénomènes naturels ou sociaux. À première vue, pourtant, la proposition précédente est très paradoxale. En effet, elle suppose que tous ces phénomènes présentent les régularités nécessaires pour pouvoir les modéliser par des fonctions ayant des dérivées. Ainsi, donc, les cours de la bourse seraient des courbes parfaitement lisses et la transition entre l’eau et l’huile se ferait de manière continue…
Les EDPistes ont résolu ce problème en introduisant la notion de formulation faible. La formulation faible la plus célèbre est celle au sens des distributions, mais il en existe également d’autres, parmi lesquelles la formulation au sens des viscosités, très utile dans le cadre des équations de Hamilton-Jacobi.
Je vous propose dans cet exposé de vous rappeler comment résoudre des EDP très simples et de voir pourquoi la notion de solutions faibles s’est avérée nécessaire. J’expliquerai ensuite ce qu’est une équation de Hamilton-Jacobi et présenterai la formulation au sens des viscosités.
Lieu : ENS de Lyon, salle 435 (rendez-vous en salle passerelle pour les croissants et chocolatines).
Une préoccupation centrale des arithméticiens est la résolution d’équations polynomiales, avec la restriction que les solutions soient entières, ou au moins rationnelles. Une idée directrice est de voir l'ensemble des solutions d'une telle équation comme une courbe (ou une hypersurface), et d'utiliser des méthodes géométriques pour déterminer les solutions : par exemple, un seul point à coordonnées rationnelles sur un cercle permet d'obtenir tous les autres, en considérant les points d'intersection de ce cercle avec les droites passant par notre point de base.
À l'inverse, l'algèbre enrichit la géométrie et permet d'étudier des surfaces dans un sens plus large que celui communément admis ; par exemple, une courbe définie par une équation polynomiale à coefficients entiers est, sous de bonnes hypothèses, apparentée à une «surface arithmétique», et mon exposé tentera d'expliquer comment, en développant une théorie de l'intersection sur ces surfaces d'un nouveau genre, on peut obtenir des informations sur la taille de ses points à coefficients entiers.
Lieu : Campus de La Doua, bâtiment Braconnier, salle Fokko du Cloux (rendez-vous en salle de rencontre pour les croissants et chocolatines).
Je vais expliquer les bases de la théorie des espaces de modules en géométrie complexe et algébrique. Un espace de modules, ce n'est rien d'autre qu'un espace de paramètres d'une classe d'objets, par exemple l'espace de modules de droites qui passent par l'origine est l'espace projectif.
Je vais rappeler la définition et quelques propriétés des surfaces de Riemann et puis je vais décrire leur espace de modules.
Lieu : ENS de Lyon, salle 435 (rendez-vous en salle passerelle pour les croissants et chocolatines).
Les réseaux sont des objets de nature à la fois algébrique et géométrique qui interviennent de manière naturelle dans divers domaines des mathématiques de la géométrie arithmétique à la cryptographie, en passant par la combinatoire et la théorie des graphes. Il est possible de comparer ces objets en regroupant les réseaux "semblables" sur le même sommet d’un graphe planaire, qui se révèle être un arbre. La distance entre deux sommets de l’arbre traduit alors à quel point deux réseaux sont différents au vu de cette classification. L’action d’un sous-groupe G du groupe linéaire de rang 2 s’observe directement sur l’arbre. Le graphe quotient obtenu, lorsque c’est possible de le définir, nous renseigne sur les propriétés algébriques et géométriques de G, mais permet également de classifier des objets de nature plus géométrique, comme les fibrés vectoriels de rang 2 sur une courbe projective ou encore les courbes elliptiques...
Dans cet exposé je construirai l’arbre des réseaux et m’attacherai à décrire l’action de G sur celui-ci, avant d’énoncer quelques applications d’une telle construction dans la preuve de résultats divers.
Lieu : Campus de La Doua, bâtiment Braconnier, salle Fokko du Cloux (rendez-vous en salle de rencontre pour les croissants et chocolatines).
Un système dynamique est un ensemble de composantes qui évoluent dans le temps dont on connaît l'ensemble possible d'états, la règle d'évolution et l'état initial. Les équations différentielles sont entre autre utilisées comme système dynamique. Je rappellerai comment trouver la solution de systèmes d'équations différentielles linéaires et comment étudier la stabilité des équilibres des systèmes non linéaires. Certains systèmes contiennent un ou des paramètres. La théorie des bifurcations permet d'étudier le comportement qualitatif et quantitatif à l'équilibre. Je montrerai différents diagrammes de bifurcation et expliquerai comment les interpréter.
Je terminerai par présenter comment mettre en équations un phénomène biologique (ici un modèle de l'interaction entre prions et A-bêta dans la maladie d'Alzheimer) et comment étudier le système résultant.
Lieu : Campus de La Doua, bâtiment Braconnier, salle Fokko du Cloux (rendez-vous en salle de rencontre pour les croissants et chocolatines).
Le but de cet exposé est de parler de l'efficacité des pots-de-vin (après tout, on est en période d'élections). L'outil principal sera un théorème génial : le « théorème KKL ».
J'espère que cet exposé intéressera : (i) les personnes qui aiment l'analyse fonctionnelle (le théorème KKL est une amélioration d'une inégalité de type Poincaré), (ii) les personnes qui aiment les probabilités (ce sera un exposé de probabilités discrètes), (iii) les personnes qui aiment les pots-de-vin et (iv) les personnes qui n'aiment ni l'analyse fonctionnelle ni les probabilités ni les pots-de-vin.
Lieu : ENS de Lyon, salle 435 (rendez-vous en salle passerelle pour les croissants et chocolatines).
Partant d'un modèle de déplacement et transformation introduit dans le chef-d'oeuvre [Wright, Pegg, Frost et al. (2004)], je chercherai à donner une idée intuitive des raisons pour lesquelles les équations de Hamilton-Jacobi sont un bon outil pour étudier la propagation de fronts de réaction-sous-diffusion. Je ferai sommairement le lien avec un principe de grandes déviations et introduirai le formalisme Hamilton-Jacobi en partant de 0. N'ayez crainte, il ne mord pas ! Je finirai par montrer quelques complications que j'ai dû affronter récemment.
Lieu : Campus de La Doua, bâtiment Braconnier, salle Fokko du Cloux (rendez-vous en salle de rencontre pour les croissants et chocolatines).
Un concept important dans l'étude des groupes est la notion de représentation. Il s'agit de voir les éléments d'un groupe comme des matrices inversibles, la loi du groupe correspondant au produit matriciel.
On s'intéressera dans cet exposé aux cas de groupes bien connus : le groupe symétrique et le groupe linéaire. On verra que, dans ces deux cas, on peut décrire les représentations irréductibles (qui permettent de construire toutes les représentations) de ces groupes, et que la dualité de Schur-Weyl offre un joli lien entre les deux.
Le but sera ensuite de présenter un lien entre les représentations irréductibles du groupe linéaire et les fibrés en droites sur des variétés de drapeaux (tout sera bien sûr défini dans l'exposé) pour aboutir, s'il reste assez de temps, à une application à des coefficients issus de la théorie des représentations du groupe symétrique : les coefficients de Kronecker.
Lieu : ENS de Lyon, salle 435 (rendez-vous en salle passerelle pour les galettes).
Dans un article à paraître dans Biological Conservation , S Jenouvrier, J Garnier, F Patout, L Desvillettes ont proposé et analysé un modèle de dispersion des manchots empereurs. Cet exposé présentera le modèle, en tentant d'expliquer biologiquement chaque étape. Nous essaierons également d'expliquer les conclusions des projections du nombre de manchot empereurs en 2100 avec des outils simples de maths.
Lieu : Campus de La Doua, bâtiment Braconnier, salle Fokko du Cloux (rendez-vous en salle de rencontre pour les croissants et chocolatines).
Si vous avez tout compris au titre, vous n'avez pas besoin de venir. Sinon, à lundi !
Lieu : ENS de Lyon, salle 435 (rendez-vous en salle passerelle pour les croissants et chocolatines).
ULa théorie cinétique, formalisée par Boltzmann, a pour but d'expliquer le comportement macroscopique d'un système à partir du mouvement des particules qui le composent.
Dans cet exposé, après avoir présenté quelques modèles d'EDP cinétiques pour des applications en physique, biologie et sociologie, nous discuterons de la justification de ces modèles à partir des lois d’interaction entre particules. Nous nous concentrerons ensuite sur quelques propriétés mathématiques remarquables des équations de Vlasov décrivant la dynamique de plasmas ou de galaxies.
Lieu : Campus de La Doua, bâtiment Braconnier, salle Fokko du Cloux (rendez-vous en salle de rencontre pour les croissants et chocolatines).
Les mots Sturmiens constituent la classe de mots les plus simples, au sens de leur nombre de facteurs, juste au-dessus des mots ultimement périodiques. Cette condition de non-complexité, très rigide, permet de les caractériser à l'aide de deux paramètres : leur pente et leur intercept. Constituant une classe relativement bien comprise de mots infinis, nous nous intéresserons au calcul de leur graphes des facteurs (graphes de Rauzy), ainsi que de leur fonction de répétition (temps avant la première répétition d'un facteur), pour s'approcher du calcul de leur exposant diophantien.
Dans une première partie, nous définirons et donnerons les principales propriétés des mots Sturmiens. Dans une seconde partie, nous définirons la notion d'intercept qui paramétrise les mots Sturmien d'une même pente. Enfin, nous donnerons la valeur explicite de la fonction de répétition d'un mot Sturmien en fonction des valeurs de ses paramètres, et en nous appuyant sur leur lecture dans leur graphes des facteurs. Nous conclurons en indiquant l'intérêt de ce calcul dans l'étude de l'exposant diophantien des mots Sturmiens.
Lieu : ENS de Lyon, salle 435 (rendez-vous en salle passerelle pour les croissants et chocolatines).
Quelle est la forme optimale d'un donut?
Il s'agit de la Conjecture de Willmore, une question demeurant ouverte chez les mathématiciens boulangers pendant un demi-siècle et résolue en 2012.
En partant de la recherche de géodésiques fermées, l'exposé vise à présenter un cadre variationnel pour construire des surfaces d'aire minimales dans la sphère tridimensionnelle via la technique de min-max mise en oeuvre par Codá Marques et Neves, à qui l'on doit la preuve de cette conjecture.
Lieu : ENS de Lyon, salle 435 (rendez-vous en salle passerelle pour les croissants et chocolatines).
Dans cet exposé, je vous parlerai, sans surprise, de calcul des variations, c'est-à-dire de la minimisation d'une fonctionnelle. Partant de problèmes historiques, je tâcherai de vous expliquer d'où vient le calcul des variations et comment il apparaît de nos jours. Ensuite, je vous montrerai comment ça fonctionne, sur des exemples très (ou trop) simples puis sur un sujet moins évident. Enfin, je terminerai par une application en imagerie médicale. Aucun lapin ne sera blessé pendant l'exposé.
Lieu : Campus de La Doua, bâtiment Braconnier, salle Fokko du Cloux (rendez-vous en salle de rencontre pour les croissants et chocolatines).
Vous êtes fan d'Iron Man* ? Vous ne manquez jamais Game of Thrones ? Tous les soirs dans votre fauteuil (conçu par un designer prénommé Philippe**) vous relisez avec nostalgie votre manga préféré Bleach ?
Ne manquez surtout pas le prochain épisode : l'unité de Stark !
* ou fan de lapins***
** je ne parle pas d'un siège automobile
*** ou fan de carottes
Lieu : ENS de Lyon, salle 435 (rendez-vous en salle passerelle pour les croissants et chocolatines).
"Quand y en a une ça va, c'est quand il y en a beaucoup que ça crée des problèmes." Cette phrase abjecte a été prononcée par un mathématicien anonyme au beau milieu du XXème siècle. Il parlait bien sûr des sphères et de leurs structures différentiables. Car en effet, dans les années 50, un grand mathématicien, John Milnor, trouve avec stupeur des variétés différentiables homéomorphes à la sphère standard mais non difféomorphes à la sphère standard. C'est une véritable petite révolution dans le monde de la topologie différentielle.
Au cours de l'exposé, nous verrons, sans prise de tête, les techniques développées qui ont pu amener de tels résultats, et qui ont forgé la topologie différentielle du XXème siècle. On redéfinira tout ce qu'il y a à définir pour que le plus grand nombre puisse profiter de cette histoire formidable.
Lieu : Campus de La Doua, bâtiment Braconnier, salle Fokko du Cloux (rendez-vous en salle de rencontre pour les croissants et chocolatines).
Les dessins d'enfants, ou de manière plus pédante les revêtements ramifiés de la sphère de Riemann à trois points singuliers, sont des objets fondamentaux en géométrie énumérative. Mais ils apparaissent aussi en théorie des graphes sous la forme des hypercartes, et en combinatoire sous la forme des 3-constellations... Je définirai ces trois notions, et expliquerai pourquoi elles sont équivalentes. Cet exposé se veut parfaitement accessible, que vous veniez de l'un de ces domaines ou non, et sera l'occasion de voir un exemple de "traduction" entre différentes disciplines mathématiques.
* J'offre un bonbon à la première personne qui me donnera la référence culturelle subtilement cachée dans le titre.
Lieu : ENS de Lyon, salle 435 (rendez-vous en salle passerelle pour les croissants et chocolatines).
Ah oui, c'est le truc avec les bulles de savon, là ?
Oui. Exactement.
Je vous propose, le temps d'un croissant, une brève excursion dans l'intéressante histoire de l'inégalité isopérimétrique, des Grecs jusqu'à aujourd'hui. On complètera la preuve de Zénodore, on parlera de dimension 2, et n, et puis finalement, on verra pourquoi elle est fameusement équivalente à l'inégalité de Sobolev (optimale !).
Lieu : ENS de Lyon, salle 435 (rendez-vous en salle passerelle pour les croissants et chocolatines).
Algèbre au XIXe siècle. Le nom de Galois est sans doute celui qui nous vient le plus souvent à l'esprit quand on parle d'algèbre à cette période. Pourtant, la théorie des équations continuait, pendant tout le XIXe siècle, d'être un sujet beaucoup plus vaste que la seule théorie de Galois. Revenir sur ce qui nous semble aujourd'hui constituer les "marges" de l'algèbre nous permettra de discuter des conceptions mathématiques du XIXe siècle, d'une manière historique et sans anachronisme. Il sera traité de résolution des équations, du dénombrement des racines, de leur séparation et de leur approximation. On finira également par discuter de résolutions graphiques voire même de construction de dispositifs physiques permettant de résoudre des équations.
Lieu : Campus de La Doua, bâtiment Braconnier, salle Fokko du Cloux (rendez-vous en salle de rencontre pour les croissants et chocolatines).
Selon Albert Einstein, "Dieu ne joue pas aux dés, enfin, sauf de temps en temps, par exemple en stat". Dans cet exposé qui se voudra le plus accessible possible, on (re)verra avec le Pr. Shadoko quelques-uns des concepts de base de statistique inférentielle, qui n'ont rien de bien sorcier au-delà d'un formalisme un peu tordu. On parlera en particulier de la notion de test : décider entre deux hypothèses en observant un échantillon aléatoire, en se permettant de dire n'importe quoi mais seulement avec faible probabilité.
Le cœur de l'exposé sera consacré au risque minimax, qui est une quantification très pessimiste de ce que l'on peut faire de mieux dans un problème donné. C'est donc un descripteur assez théorique de la difficulté d'un problème statistique : montrer que votre test préféré atteint le risque minimax, c'est jurer que personne au monde, pas même avec la carte Kiwi, ne sait faire mieux. Vous avez alors gagné votre badge World's #1 Statistician, au moins dans votre catégorie !
Lieu : Campus de La Doua, bâtiment Braconnier, salle Fokko du Cloux (rendez-vous en salle de rencontre pour les croissants et chocolatines).