pi(x,4,1) est le nombre des nombres premiers ≤ x qui sont la forme 4k+1, et pi(x,4,3) le nombre de ceux qui sont de la forme 4k+3.
Par exemple, pour x=10, l'ensemble des nombres premiers ≤ 10 et de la forme 4k+1 est {5}; et l'ensemble des premiers ≤ 10 et de la forme 4k+3 est {3,7}. D'où pi(10,4,1) = 1, pi(10,4,3) = 2.
Puisque tout nombre premier autre que 2 est impair, et donc de la forme 4k+1 ou de la forme 4k+3, le nombre pi(x) de tous les nombres premiers ≤ x est donné par pi(x) = pi(x,4,1) + pi(x,4,3) + 1.
d(x) = pi(x,4,3) - pi(x,4,1).
| x | pi(x,4,1) | pi(x,4,3) | d(x) |
|---|---|---|---|
| 10 | 1 | 2 | 1 |
| 102 | 11 | 13 | 2 |
| 103 | 80 | 87 | 7 |
| 104 | 609 | 619 | 10 |
| 105 | 4 783 | 4 808 | 25 |
| 106 | 39 175 | 39 322 | 147 |
| 107 | 332180 | 332398 | 218 |
| 108 | 2880504 | 2880950 | 446 |
| 109 | 25423491 | 25424042 | 551 |
| 1010 | 227523275 | 227529235 | 5960 |
| 1011 | 2059020280 | 2059034532 | 14252 |
| 1012 | 18803924340 | 18803987677 | 63337 |
| 1013 | 173032709183 | 173032827655 | 118472 |
| 1014 | 1602470783672 | 1602470967129 | 183457 |
| 1015 | 14922284735484 | 14922285687184 | 951700 |
| 1016 | 139619168787795 | 139619172246129 | 3458334 |
| 1017 | 1311778575685086 | 1311778581969146 | 6284060 |
| 1018 | 12369977142579584 | 12369977145161275 | 2581691 |
| 1019 | 117028833597800689 | 117028833678543917 | 80743228 |
| 1020 | 1110409801150582707 | 1110409801410336132 | 259753425 |
On remarquera que d(x) est positif pour toutes les valeurs figurant dans cette table. C'est le cas en général. Il existe cependant quelques rares plages (quelques intervalles) sur lesquels d(x) prend plutôt des valeurs négatives. La plus petite valeur de x pour laquelle d(x) < 0 est x=26 861, avec pi(26 861, 4, 1) = 1 473 et pi(26 861, 4, 3) = 1 472.
Ce phénomène est lié au fait que les carrés impairs > 1, dont aucun n'est premier, sont tous de la forme 4k+1.