Quelques tables relatives à la distribution des nombres premiers
Tables utilisées dans
Le plus grand facteur premier de la fonction de Landau.
(avec J.-L. Nicolas).
Calcul de la fonction de Landau
Landau's function for one million billions,
with Jean-Louis Nicolas and Paul Zimmermann.
preprint, February 2008.
Let Sn denote the symmetric group
with n letters, and g(n) the maximal order of an element
of Sn. If the standard factorization of M into primes
is M=q1a1
q2a2…
qkak, we define l(M)
to be q1a1 +
q2a2 + … +
qkak;
one century ago, E. Landau proved that g(n)=maxl(M) ≤ n M
and that,
when n goes to infinity, log g(n) ~ sqrt(n log(n)).
There exists a basic algorithm to compute g(n) for 1 ≤ n
≤ N; its running time is
O(N3/2 / sqrt(log N))
and the needed memory is O(N);
it allows computing g(n) up to, say, one million. We describe an
algorithm to calculate g(n) for n up to 1015.
The main idea is to use
the so-called l-superchampion numbers. Similar numbers, the
superior highly composite numbers, were introduced by S. Ramanujan to
study large values of the divisor function tau(n)= which counts
the divisors of n.
A Maple program implementing the algorithm described in this paper is
available from
Jean-Louis Nicolas web page.
Somme des nombres premiers jusqu'à 10n
On note Sp(x) la somme des nombres premiers ≤ x.
La méthode de Lagarias-Miller et Odlyzko, améliorée
par Deleglise et Rivat, pour calculer pi(x) le nombre
des nombres premiers ≤ x avec un coût O(x^(2/3)/log^2 x)
peut s'adapter au calcul de Sp(x), ou plus généralement de Sfp(x) qui
est la somme des f(p) pour p ≤ x, où f est une fonction
complètement multiplicative, c'est à dire telle que
f(ab) = f(a)f(b) pour tous entiers a,b ≥ 1.
Eric Bach a montré (congres ANT mai 2007 à Turku, à paraitre)
que la méthode peut s'adapter à une classe encore plus
générale de fonctions.
Voici la
table
des Sp(10n) pour n=2,3,…18. La plus grande valeur connue jusqu'à
présent(juin 2007) était Sp(1013).
La suite (Sp(10n)) est la suite
A046731 dans l'encyplopédie des suites entières de Sloane.
Nombres premiers de la forme 4k+1 et 4k+3 jusqu'à
1020
On note pi(x,k,j) le nombre des nombres premiers ≤ x et
de la forme ak + j.
Voici une
table
des valeurs de pi(x, 4, 1) et pi(x, 4, 3), pour x = 10,100,…,1020
ainsi qu'un programme executable
permettant de calculer les pi(x, k, j) sur un PC
avec Linux ou un Mac avec OS-X. Les valeurs pi(1020, 4, 1)
et pi(1020, 4, 3) sont les plus grandes
valeurs connues de pi(x, 4, 1) et pi(x, 4, 3).
Counting primes in residue classes.
Avec P. Dusart et X Roblot.
Math. Comp. 73 (2004), 1565--1575.
La suite des pi(10n, 4, 1) est la suite
A091098
dans l'encyclopédie de Sloane.
La suite des pi(10n, 4, 3) est la suite
A091099
dans l'encyclopédie de Sloane.
Le 10k eme nombre premier, pour k=0,1,2,…,19
Tout programme qui calcule pi(x), le nombre des nombres premiers
jusqu'à x permet de calculer le keme nombre premier.
La table suivante calculée en juin 2008 donne le
10k eme nombre premier pour k ≤ 19, qui est actuellement
la plus grande valeur de k pour laquelle on connait le 10k eme
nombre premier.
La suite des prime(10k) est la suite
A006988
dans l'encyclopédie de Sloane.
Tables des 761 premiers champions de la fonction de Kalmar
La fonction K de Kalmar associe à l'entier n
le nombre K(n) des factorisations
de n en un produit d'entiers plus grands que 1, en tenant
compte de l'ordre des facteurs. Par exemple,
pour n = 6, les 3 factorisations 6 , 2 * 3 , 3 * 2 donnent
K(6) = 3.
Soit f une fonction réelle définie sur l'ensemble des entiers
naturels non nuls. Un champion de f est un entier n, tel que,
pour tout m < n on ait f(m) < f(n).
Avec J.-L. Nicolas, et M.O. Hernane, nous avons précisé
l'ordre maximal et les propriétés des nombres champions
de la fonction de Kalmar, dans
Grandes valeurs de la fonction arithmétique de Kalmár.
J. Number Theory 128 (2008), no. 6, 1676--1716.
Voici la
table
des 761 premiers champions
de la fonction de Kalmar.
Tables des 785 premiers champions de la fonction h
La fonction h associe à l'entier n
le nombre h(n) des factorisations
de n en un produit de nombres premiers, en tenant
compte de l'ordre des facteurs. Par exemple,
pour n = 12, les 3 factorisations 12 = 2 * 2 * 3 , 12 = 2 * 3 * 2,
12 = 2 * 2 * 3 donnent h(12) = 3.
Soit f une fonction réelle définie sur l'ensemble des entiers
naturels non nuls. Un champion de f est un entier n, tel que,
pour tout m < n on ait f(m) < f(n).
L'ordre maximal de h(n) et les propriétés des nombres champions
de la fonction h sont étudiés dans
Grandes valeurs du nombre de factorisations
d'un entier en produit ordonné de facteurs premiers.
M.O. Hernane, J.-L. Nicolas.
Ramanujan J. 14 (2007), no. 2, 277--304. 11A25 (11N37)
Voici la
table
des 785 premiers champions de h.
