La philosophie générale sur laquelle le cours repose est celle
du programme
d'Erlangen, annoncé par le mathématicien allemand Felix Klein en
1872. Il unifie les différentes géométries (affine, euclidienne,
projective, hyperbolique, sphérique...) comme l'étude des propriétés
d'un ensemble de points qui sont invariantes par le groupe des
transformations de la géométrie en question.
La commission de réflexion sur l'enseignement des mathématiques,
dite «commission Kahane», a
publié rapport
d'étape sur l'enseignement de la géométrie. Le corps du rapport
parle d'enseignement, ce qui ne vous intéresse pas forcément (pas
encore ?) mais l'annexe 1 est une
présentation saisissante de la géométrie élémentaire vue à
travers le prisme de la philosophie de Klein : groupes,
invariants, relations entre invariants et les théorèmes qui en
résultent. (Son auteur officieux est Daniel Perrin.) Passionnant.
Voici une version plus courte et plus personnelle de considérations
de ce genre, sous forme de la
leçon Utilisation
des groupes en géométrie à l'agrégation.
Feuilles d'exercices
Feuille 1 : algorithme de Gauss et théorème
du rang, groupes topologiques.
Feuille 2 : un peu d'algèbre (bi)linéaire,
connexité des groupes classiques, exemples d'espaces homogènes.
Feuille 3 : produits semi-direct, matrices
nilpotentes, formes quadratiques