M1-ALGEBRE

M1-GROUPES CLASSIQUES ET GEOMETRIE

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Cours 1. Introduction à l'approche Erlangen de la géométrie: groupe, espace géométrique, action, orbite, forme normale. Exemple élémentaire: les applications linéaires. Théorème du rang: deux matrices sont équivalentes ssi elles ont même rang, puis interprétation par l'action de groupe dont les orbites sont les matrices équivalentes. Description complète du stabilisateur de la matrice de forme normale de rang r. Bijection entre l'orbite et l'espace quotient. Exercice proposé (non fait): Calculer le nombre de matrices de taille (m,n) de rang r sur un corps de cardinal q, voir [H2G2 exercie I-3.6]. Propriétés topologiques des orbites constituées des matrices de rang donné. Utilisation au passage du fait que le rang d'une matrice est égal à la taille maximale d'un mineur non nul, voir la preuve (proposition 16-6-90). Le rang est une fonction semi-continue inférieurement.

Cours 2. Topologie sur une algèbre de matrices, différentes normes utilisées. Introduction aux groupes topologiques, définition, exemples. GLn(k) est un groupe topologique ouvert dense connexe sur C, non connexe sur R. Applications au fait que le polynôme caractéristique de AB est égal à celui de BA en utilisant la continuité de A-> chi_A. L'ensemble des matrices de rang r sur C est connexe. Définition d'une action continue. Définition de la topologie sur G/H, le morphisme canonique est continu et ouvert. Pour les rappels sur des notions topologiques: connexité, séparabilité, voir deux définitions de la séparabilité: pour un groupe la séparabilité revient à dire que {e} est fermé. Pour un sous-groupe H, H fermé implique G/H séparé.

Cours 3. Cas simple: si G est compact agissant sur X séparé, l'action sur x sur X passe au quotient en un homéomorphisme. Théorème d'homéomorphisme: même résultat si G est localement compact dénombrable à l'infini agissant continûment et transitivement sur X localement compact (plus dur, preuve non faite). Exemples d'applications du théorème d'homéomorphisme. Applications: 1. la topologie de X donne des renseignements sur la topologie de G. 2. la topologie de G donne des renseignements sur la topologie de X. 3. G fournit par transport de structure une topologie sur X. Pour illustrer 1), on a que H et G/H connexe implique G connexe. GLn(R)^+ est connexe. Pour illustrer 2), l'ensemble des matrices de rang donné est connexe. Pour illustrer 3), la grassmannienne peut être munie d'une topologie par transport de structure de la topologie de GLn. La grassmannienne est alors compacte.

Cours 4. Action par conjugaison de GLn(C) sur les matrices diagonalisables. Bijection entre les classes de conjugaison de matrices diagonalisables, les polynômes unitaires complexes de degré n et les n-uplets de C à permutation près. Critère topologique de diagonalisibilité: une classe de conjugaison est fermée si et seulement si c'est la classe d'une matrice diagonalisable. Action de GLn par conjugaison sur les matrices nilpotentes. On définit la suite des noyaux emboités, qui s'essouffle, associée à une matrice nilpotente et on lui associe une partition. On note que cette partition ne dépend pas de la classe de conjugaison. Scindage des noyaux emboîtés: on obtient, à l'aide de tableaux de Young, une base de l'espace dans laquelle un endomorphisme nilpotent s'écrit par des blocs diagonaux de Jordan. Annonce: contrôle continu la semaine du 25 février, voici quelques questions types pour le CC.

Cours 5. Controle continu. Action de GLn(C) sur les matrices nilpotentes. L'invariant total est le tableau de Young (ou la partition associée, ou les dimensions des noyaux emboîtés, ce qui revient au même): deux matrices nilpotentes sont semblables si et seulement si elles ont même tableau de Young associé. Au passage, on a construit la partition duale et les matrices de Jordan. Construction de contre-exemples (matrices non semblables ayant même polynôme caractéristique, même polynôme minimal et même rang), la formule du rang et l'intersection de Im(u) et ker(u) vus par les tableaux de Young. Passage au cas général (sur C) par le lemme des noyaux, avec rappels de Dunford, preuve sur la feuille. Le cas réel: deux matrices réelles sont GLn(R)-semblables ssi elles sont GLn(C)-semblables.

Cours 6. Distribution de la feuille de rappels sur les formes quadratiques. Sur un corps de caractéristique différente de 2, la donnée d'une forme quadratique q sur un espace E est équivalente à la donnée d'une forme bilinéaire symétrique, elle-même équivalente à la donnée d'une application linéaire de E dans son dual. La donnée d'une base de E permet d'associer une matrice de q et le problème de choix de base nous amène à étudier l'action par congruence de GLn sur l'espace des matrices symétriques. Diagonalisation par congruence: première méthode par la méthode de Gauss. Quelques exemples: relecture de l'équation du second degré (version homogène à deux variables) et du discriminant. Relecture des identités remarquables quadratiques. La méthode de Gauss fournit une matrice de passage au niveau des bases duales, qu'il faut savoir traduire en matrice de passage sur les bases de l'espace. Quelques invariants de congruence: le rang, le discriminant (déterminant modulo les carrés). Théorème (non prouvé) sur les invariants totaux: le rang sur C, la signature sur R, le symbole de Legendre du déterminant sur F_q.

Cours 7. Preuve du théorème de classification sur les trois corps classiques: détermination de l'invariant total de congruence: sur C, le rang; sur R, la signature (théorème de Sylvester), sur Fq, le discriminant (cas non dégénéré). Détermination de l'invariant total de congruence: sur Fq, le discriminant (cas non dégénéré). On montre pour cela en lemme que sur le plan Fq^2, une forme quadratique non dégénérée atteint la valeur 1. Pour chaque orbite de congruence non dégénérée, on définit le stabilisateur de la forme normale, on obtient les groupes O(n,C), sur C, O(p,q), sur R, et deux groupes orthogonaux sur Fq.

Cours 8. Applications: Deux développements. 1) loi de la réciprocité quadratique en utilisant les formes quadratiques. Exemple d'utilisation de la loi pour savoir si $a$ est un carré modulo p. Au passage, nombre de solutions d'une équation du second degré avec le symbole de Legendre, calcul du nombre de points de la "sphère" de Fq^p ave p,q premiers impairs. 2) Formes de Hankel: comment déterminer le nombre de racines réelles d'un polynôme à partir de la signature d'une forme quadratique réelle.

Cours 9. Existence, unicité de la décomposition polaire (on part d'une matrice inversible). La décomposition polaire est un homéomorphisme. Au passage, un petit lemme sur l'existence et l'unicité de la racine carrée dans Sn++. Corollaire 1: la norme subordonnée à la norme quadratique est égale au rayon spectral de la composante symétrique de la matrice. Corollaire 2: le groupe O_n est un sous-groupe compact maximal de GL_n(R). Définition et premières propriétés de l'exponentielle. L'exponentielle réalise un homéomorphisme de S_n vers S_n++. Prochain cours mardi 30 Avril à 15h.

Cours 10. Pour ceux qui n'ont pas pu venir (cours du mardi), on trouvera les références dans Carnet de Voyage en Algébrie (CVA) et Nouvelles Histoires Hédonistes de Groupes et de Géométries (NH2G2). Décomposition polaire généralisée (si A est non inversible, on a tout de même une décomposition polaire, mais sans l'unicité), voir CVA, remarque 3.2.3. Un algorithme de type Newton pour la décomposition polaire. Preuve de l'algorithme de décomposition polaire, NH2G2, VI-1.3. Automorphismes de l'espace euclidien conservant les m-volumes, NH2G2, exercice VI-B.9. On finit avec une jolie application: tout hyperplan matriciel réel contient une matrice orthogonale, voir CVA, 1.1.3.

Cours 11. Combinatoire algébrique. Cardinaux d'ensembles classiques et géométrie linéaire sur corps fini: espaces vectoriels, groupe linéaire, grassmanniennes, nombres de sous-espaces en somme directe ayant une dimension fixée. Comme application: quelques résultats sur un corps fini: nombre d'applications linéaires de rang r, nombre d'endomorphismes diagonalisables, nombre d'endomorphismes nilpotents. Introduction aux groupes de Lie. Préliminaires: Notion de sous-variété, rappel du théorème d'inversion locale et du théorème de submersion. Calcul de différentielles. On(R) est un groupe de Lie (par le théorème de submersion). SL_n est un groupe de Lie.

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FICHES TD/Documents

TOUT sur la compacité locale.+

L' examen de 2011

L' examen de 2012 et sa correction.

Le partiel de 2013

L' examen de 2013

Le partiel de 2014 et sa correction.

L' examen de 2014 et (une partie de) sa correction.

L' examen de 2015 et sa correction.

L' examen de 2016.

Le partiel de 2017 et sa correction.

L' examen de 2017 .

L' examen de 2018 et sa correction.

Le partiel de 2019 et sa correction.

L' examen de 2019 et sa correction.

LIVRES CONSEILLES

Nouvelles Histoires Hédonistes de Groupes et de Géométries, [H2G2], (Caldero-Germoni), Calvage & Mounet.

Groupes de Lie classiques, (Mneimné-Testard), Hermann.

Cours d'algèbre, (Daniel Perrin), Ellipses.

Eléments de géométrie, actions de groupes, (Rached Mneimné), Cassini.

Algèbre linéaire, (Rémi Goblot), Ellipses.

Méthodes modernes en géométrie, (Jean Fresnel), Hermann.

QUELQUES SITES

Vous aimez faire des maths sans crayon? les mains dans les poches? ou dans un hamac et juste avec les yeux? Jetez alors un oeil à cet extrait choisi de Proofs without words de Roger B. Nelsen.

Bon, rien à voir avec les groupes... ou alors les groupes de pression et puis ce n'est pas sans rapport avec la science! Voici un appel d'un collectif d'enseignants:

Extraits de l'appel des enseignant.e.s :

"Nous, enseignant.e.s, avons une responsabilité majeure. Les médias, les scientifiques nous l'ont assez répété. Nous le savons mais nous nous taisons. Dans nos salles de classe, nous avons accepté trop longtemps d'enseigner le « développement durable », entretenant chez les élèves l'illusion que la situation était sous contrôle, prise au sérieux par les gouvernements du monde. Au contraire, nos élèves doivent savoir que les gouvernements actuels, tout en jouissant des bénéfices des énergies fossiles, leur laissent le fardeau du dérèglement climatique. Nos élèves doivent savoir qu'ils devront probablement subir leur avenir et non le choisir, à cause de l'inaction criminelle des gouvernements passés et présents.

Car la crise n'a pas été empêchée : canicule, sécheresse, inondations, migrations, déstabilisations politiques ou encore effondrement de la biodiversité tissent désormais la trame de l'actualité dans le monde, et nous constatons avec effroi que le discours institutionnel, le contenu des programmes n'en dit pas un mot : tout se passe dans l'Éducation nationale comme si rien ne se passait sur Terre.

Face à ce constat, nous déclarons que nous ne voulons plus être les instruments d'une propagande rassurante, qui rend invisible la catastrophe écologique. Nous devons au contraire dire à nos élèves que la situation est gravissime, sur le climat qui s'emballe, la biodiversité qui disparaît, la pollution qui pénètre jusque dans nos cellules, et qu'aucun diplôme ni aucune formation ne les protégera contre cela. Parce que nous avons leur confiance, nous devons leur faire prendre la mesure de ce qui est en train de se passer. Parce que nous sommes des pédagogues, nous saurons trouver les mots. Nul ne pense à faire sombrer les élèves dans la panique : au contraire, nous devons plus que jamais leur montrer que les savoirs et les savoir-faire sont des ressources pour comprendre, penser et réagir face à l'effondrement. »

Deux liens ici :

Lien vers l'appel complet

Activités pour la classe autour de l'action pour le climat