Séminaire de Théorie des Nombres et Combinatoire




Exposés de la saison 2007/20078


  • Mardi 24 juin 2008 Résumé Dans beaucoup d'articles, l'études des propriétés diophantiennes du logarithme d'un nombres algébrique repose sur la construction d'une famille d'intégrales simples réelles du type d'Euler. Néanmoins, des intégrales doubles complexes ont été récemment considéré par Hata dans le but d'estimer la mesure de non-quadraticit&eacut; des logarithmes de certains nombres rationnels. Une généralisation de sa construction nous a permis d'obtenir des nouveaux résultats. Pour achever notre programme, la méthode de Rhin-Viola s'avère indispensable.


  • Mardi 17 juin 2008 Résumé


  • Mardi 8 avril 2008 Résumé


  • Mardi 25 mars 2008 Résumé Le lien entre hyperdéterminants et puissances entières du discriminant apparaît dans le contexte de l'effet de Hall quantique fractionaire. En effet, Dunne et indépendamment Di Francesco, Gaudin, Itzykson et Lesage ont remarqué que le problème de l'écriture de la fonction d'onde de Laughlin comme combinaison linéaire de fonctions d'onde de Slater était équivalent à celui du développement des puissances entières dans la base de Schur: V^{2k}(x_1, ..., x_n)=\sum_λ g_λ^{n,k}S_λ(x_1, ..., x_n).

    Naturellement, se pose la question de trouver une expression des coefficients g_λ^{n,k}. Bien que nous n'en connaissons pas de forme close, nous proposons un algorithme, basé sur des techniques hyperdéterminantales, permettant de calculer ces coefficients indépendamment les uns des autres et donc de distribuer les calculs sur plusieurs machines. En procédant de la sorte, nous avons calculé le développement du discriminant pour des alphabets dont la taille est inférieure à 11.

    Un problème (apparemment) plus abordable consiste à déterminer pour quelles partitions λ, le coefficient g_λ^{n,k} n'est pas nul. Di Francesco, Gaudin, Itzykson et Lesage ont conjecturé une description de ces partitions qu'ils nomment partitions admissibles. Peu de temps après, Sharf, Thibon et Wybourne ont montré que leur conjecture était fausse pour k=1 et n=8. Néanmoins, King, Toumazet et Wybourne ont prouvé que cette conjecture devenait vraie si l'on considérait le q-discriminant. Nous donnons une généralisation de ce résultat impliquant une puissance polarisée du discriminant et nous montrons que ce polynôme peut s'exprimer comme un polynôme de Macdonald escalier. Enfin, d'autres puissances polarisées du discriminant peuvent s'exprimer en fonction de polynômes de Macdonald rectangles. La formule obtenue est en fait un cas particulier d'un théorème sur les polynômes de Macdonald pour la spécialisation t=q^k dont nous explorerons les conséquences.


  • Mardi 18 mars 2008 Résumé Nous commencerons par discuter du lien entre le développement en fractions continues d'un nombre irrationnel x dans (0,1) et un échange de deux intervalles dont un des deux intervalles a une longueur égal à x. Ensuite, nous introduirons un développement en fractions continues multidimensionnel définis par des échanges de k-intervalles. Dans ce cadre plus général, la suite des quotients partiels est donné par un chemin infini dans un graphe dont les sommets sont des arbres qui représentent les états du système. On montre que les possibles états du système possède une structure circulaire qui ressemble curieusement a celle qu'on trouve dans la stucture secondaire de l'acide ribonucléique (ARN).


  • Mardi 4 mars 2008 Résumé L'énumération des chemins de Dyck (chemins à pas +1 et -1, allant de 0 à 0 sur la demi-droite Z) est un domaine archi-balisé de la combinatoire énumérative. On sait bien, notamment, que

    - la série génératrice de ces chemins satisfait D=1+t^2 D^2,

    - la série qui compte les chemins de hauteur au plus k est rationnelle, avec pour expression F(k)/F(k+1), où les F(k) sont les polynômes de Fibonacci, et satisfont F(k+1)= F(k)-t^2 F(k-1).

    On clarifiera dans cet exposé comment ceci s'étend à de chemins de Dyck généralisés (aussi appelés excursions), prenant leurs pas dans un ensemble fini donné.

    De façon un peu inattendue, le sujet entretient des liens avec les fonctions symmétriques.


  • Mardi 26 février 2008 Exposé annulé !
  • Mardi 19 février 2008 Résumé One of the main virtues of trees is to represent formal solutions of various functional equations which can be cast in the form of fixed point problems. Basic examples include differential equations and functional (Lagrange) inversion in power series rings. When analyzed in terms of combinatorial Hopf algebras, the simplest examples yield interesting algebraic identities or enumerative results, such as hook-length and q-hook length formulas for trees.


  • Mardi 12 février 2008 Résumé In type A, the q,t-Fuss-Catalan numbers can be defined as a bigraded Hilbert series of a module associated to the symmetric group. We generalize this construction to arbitrary (finite) reflection groups and exhibit some nice conjectured algebraic and combinatorial properties of these polynomials in q and t. Finally, we present an idea how these polynomials could be related to some graded Hilbert series of modules arising in the context of rational Cherednik algebras. This talk is based on work in progress.


  • Mardi 5 février 2008 Résumé


  • Mardi 29 janvier 2008 Résumé Le but de cet exposé est de donner une introduction élémentaire à l'analyse des fonctions p-adiques en prenant comme motivation la démonstration d'un résultat sur la vitesse de convergence des coefficients de Mahler de l'interpolation p-adique de la fonction x -> x^s.


  • Mardi 22 janvier 2008 Résumé Dans cet exposé, on considère deux aspects de la formule du produit (produit de Hadamard exponentiel) liée au calcul de l'évolution d'un Hamiltonien quantique à deux modes (deux opérateurs d'annihilation et deux opérateurs de création indépendants). Ces fonctions sont des exponentielles (en fait des groupes à un paramètre). Dans un premier temps, on montre comment l'utilisation de l'analyse (champs de vecteurs sur la droite) permet d'obtenir des formules explicites pour les ordres normaux de certaines classes d'opérateurs. Dans un deuxième temps, on montre comment l'association de deux développements de Bell d'exponentielles libres sur deux alphabets de variables donne lieu à la considération d'un développement de type Feynman (développement déjà remarqué par les physiciens Bender, Brody et Meister). L'algèbre, LDIAG, de ces diagrammes (qui sont des graphes bi-colorés) relève les opérations de l'algèbre de Hopf des polynômes. De plus, en introduisant sur ces graphes des stastistiques naturelles (croisement et superposition), on est conduit à une déformation à trois paramètres l'algèbre construite précédemment qui permet une interpolation entre une algèbre de fonctions symétriques noncommutatives (MQSYM) et l'algèbre LDIAG. Nous concluons par des considérations sur la combinatoire associée au dual de Sweedler de ces algèbres.


  • Mardi 15 janvier 2007 Résumé Le but de cet exposé est de présenter une méthode permettant d'évaluer quelques déterminants de matrices obtenues en appliquant des caractères de Dirichlet à des coefficients binomiaux. Cette méthode fait intervenir les propriétés d'une curieuse algèbre reliée entre autres aux suites automatiques, aux séries rationelles non-commutatives, au groupe de Grigorchuk et à l'itération de fractions rationelles.


  • Mardi 8 janvier 2008
  • Mardi 18 décembre 2007 Résumé Je donnerai une formule explicite pour la valeur en 2 de la fonction L associée à une courbe elliptique sur Q, et plus généralement à une forme modulaire primitive de poids 2. Je présenterai également la construction d'une fonction dilogarithme pour la courbe modulaire associée, et son lien avec la fonction L.


  • Mardi 4 décembre 2007 Résumé Le problème est d'étudier les invariants naturels (rangs, régulateurs, etc...), via la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, des courbes elliptiques appartenant à une famille de tordues quadratiques. Lorsqu'on considère uniquement les courbes de rangs pairs dans la famille, les modèles donnés par la théorie des matrices aléatoires permettent de faire des prédictions précises (travaux de Conrey et al. etc...) et leurs vérifications numériques est possible en utilisant une formule de Waldspurger (calculs fait par Rubinstein). Dans le cas du rang 1, nous montrons qu'une telle étude heuristique est possible cependant les vérifications numériques sont plus difficiles à obtenir. Nous discuterons du comportement des régulateurs des courbes elliptiques de rang 1 et nous donnerons un algorithme efficace pour calculer explicitement les générateurs des courbes dans la famille. Les données obtenues permettent une vérification numérique de nos prédictions. Il s'agit d'une collaboration avec X.-F. Roblot.


  • Mardi 27 novembre 2007
  • Mardi 13 novembre 2007 Résumé Dans cet exposé, je présenterai deux preuves de (-1)-énumération des partitions planes auto-complémentaires en utilisant des Pfaffiens et des fonctions de Schur.


  • Mardi 6 novembre 2007 Résumé Nous développons une nouvelle approche concernant les polynômes de Rudin-Shapiro. L'étude de leurs moments, initiée par Littlewood en 1968, permet d'évaluer le maximum de ces polynômes sur le cercle unité. Ceci s'avèrant utile en théorie du signal. Nous donnons une méthode pour calculer explicitement les moments d'ordre q pair des polynômes de Rudin-Shapiro, pour q <= 32. Nous vérifions également une conjecture de Saffari sur le comportement asymptotique de ces moments pour q pair <= 52. Finalement, nous étendons ces méthodes aux polynômes de Rudin-Shapiro généralisés et formulons une conjecture sur leur asymptotique qui est confirmée par le calcul. Il s'agit d'un travail commun avec Laurent Habsieger.


  • Mardi 23 octobre 2007
  • Jeudi 4 octobre 2007 (à 16h en salle 100 ou 112) Résumé Nous présenterons dans cet exposé une démonstration du fait que pour 1/q appartenant à Z\{-1,1}, il y a parmi les nombres ζ_q(3),ζ_q(5),ζ_q(7), ζ_q(9) au moins un nombre irrationnel, où ζ_q est un q-analogue de la fonction zêta de Riemann. Ceci améliore un résultat récent de Krattenthaler, Rivoal et Zudilin. Ce travail a été effectué en collaboration avec Frédéric Jouhet.


  • Mardi 2 octobre 2007 Résumé J'expliquerai certains des objets et des méthodes de la théorie de Fontaine pour les représentations p-adiques, puis je donnerai une application au calcul de la réduction modulo p des représentations locales associées aux formes modulaires (travail en commun avec H. Li et H. Zhu).


  • Mardi 4 septembre 2007 Résumé Hughes et Rudnick (2003) ont établi que la densité de niveau 1 des zéros de fonctions L de caractères de Dirichlet avait même premiers moments que ceux dÕune loi Gaussienne. Hughes et Miller (2007) ont établi ce résultat pour les fonctions L de formes modulaires. Avec Ricotta, nous avons établi le résultat pour les fonctions L de puissances symétriques. Nous présenterons ces trois résultats en lien avec la théorie des matrices aléatoires. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Guillaume Ricotta.




    Exposés de la saison 2006/2007

    Exposés de la saison 2005/2006