Séminaire de Théorie des Nombres et Combinatoire




Exposés de la saison 2008/2009


  • Mardi 23 juin 2009
  • Mardi 9 juin 2009
  • Mardi 17 mars 2009 Résumé : The goal of this presentation is, in one hand, to point out some recent results on language equations, and, on the other hand, to emphasize how little we know about those. Here, by an equation we mean an equation over the monoid of languages with the catenation as the only operation. We discuss about the basic equations like the commutation and conjugacy equations. We also point out that some surprisingly simple questions are undecidable, and as a consequence can formulate a very restricted class of finite transducers with the undecidable equivalence problem. Several open problems are also mentioned.


  • Mardi 10 mars 2009 Résumé : J'introduirai une nouvelle classe d'objets appelés tableaux alternatifs, ainsi qu'une bijection entre ces tableaux et les permutations.

    Les tableaux alternatifs sont en bijection avec les "tableaux à permutations", introduit par Postnikov, suivi par Steingrimsson, Williams, en liaison avec des considérations de géométrie algébrique (positivité totale des Grassmaniennes). Ils ont été étudiés par divers autres auteurs comme Berstein, Corteel, Nadeau, Josuat-Vergès. L'avantage des tableaux alternatifs est de donner un rôle symétrique aux lignes et colonnes.

    Je donnerai le lien avec le modèle PASEP ("partially asymmetric exclusion process") en physique des systèmes dynamiques loin de l'équilibre en exprimant les probabilités stationnaires du modèle à trois paramètres (alpha, beta et q) en terme de tableaux alternatifs. Le PASEP et les tableaux alternatifs ont un lien profond avec la théorie combinatoire des polynômes orthogonaux développée par Flajolet et l'orateur. En particulier la bijection FV entre permutations et "histoires de Laguerre" (c'est à dire certains chemins de Motzkin valués) joue un rôle central dans la construction de la bijection entre permutations et tableaux alternatifs. Cette dernière bijection est du mme style que la version due à Fomin avec "règles locales" et "diagrammes de croissance" pour la classique correspondance de Robinson-Schensted entre permutations et paires de tableaux de Young.

    Ces deux constructions entre permutations et tableaux forment deux exemples me conduisant à introduire l'"Ansatz cellulaire", méthodologie pour construire des bijections à partir d'opérateurs satisfaisant certaines relations de commutations. Je terminerai avec quelques perspectives prometteuses de cet Ansatz vers les matrices à signes alternants, rejoignant ainsi le thème du colloquium.


  • Mardi 24 février 2009 Résumé : One can compute K2 of the rationals fairly easily by using division with remainder in the integers. We discuss how, for a curve over an arbitrary field, a similar technique leads to the description of a subgroup of K2 of its function field that contains the kernel of the tame symbol on the curve. For example, for an elliptic curve defined by a Weierstrass equation, this subgroup is generated by symbols {l1,l2} with li a non-zero constant or an equation of a line.


  • Mardi 17 février 2009 Résumé : Le nombre d'inversion, le nombre de descentes et l'indice majeur sont des remarquables statistiques définies sur le groupe symétrique. L'énumération de permutations selon ces statistiques a été très étudiée et ses origines remontent à Euler.

    Dans cet exposé on calculera la fonction génératrice du nombre de descentes, indice majeur, longueur et somme des couleurs sur les groupes de permutations colorées. Comme spécialisations de cette formule on obtiendra des identités connues, dues à Brenti, Carlitz, Chow-Gessel et Reiner.


  • Mardi 10 février 2009
  • Mardi 3 février 2009
  • Mardi 27 janvier 2009 Résumé : Le problème de Mersenne consiste à déterminer les nombres premiers de la forme (2^n) - 1. Ce problème a un analogue dans le cadre de la théorie des courbes elliptiques, dont une version affaiblie consiste à montrer la conjecture de primalité suivante : une suite elliptique à divisibilité à un nombre fini de termes premiers. Après une introduction à la notion de suites elliptiques à divisibilité, nous verrons les conséquences du théorème de Siegel (sur les points entiers des courbes elliptiques) pour l'étude de la conjecture de primalité. Nous étudierons en particulier le cas magnifié, pour lequel une version explicite de la conjecture de primalité a été démontrée.


  • Mardi 20 janvier 2009 Résumé : On doit à Jackson (1904) d'avoir introduit les premières fonctions trigonométriques dans l'algèbre des q-séries introduite par Heine. Y en a-t-il d'autres ? Dans quel contexte analytique ou combinatoire faut-il les définir ? Quelles sont leurs propriétés ? On s'efforcera de parler des travaux récents débattant de ces questions.


  • Mardi 13 janvier 2009 Résumé : Le développement décimal de certains nombres comme $\sqrt 2$, $\pi$, $\zeta(3)$ est depuis longtemps source de questions difficiles. Dans le corps des séries formelles de Laurent à coefficients dans $\F_q$, où l'on additionne et où l'on multiplie sans retenue, la situation est simplifiée. D'autre part, la théorie des modules de Drinfeld fournit des analogues des nombres $e$, $\pi$ ou des valeurs de la fonction $\zeta$.

    Une question naturelle est alors de savoir à quel point le développement en série de Laurent de ces "nombres" est complexe. Un théorème de Christol affirme que la suite de coefficients d'une telle série ne peut pas tre engendrée par un automate fini. Mais cette suite contient-elle des répétions, des motifs intéressants ? Dans un premier temps, nous nous intéresserons à ce type de questions, en utilisant une notion classique de complexité issue de la dynamique symbolique. Nous étudierons ensuite les propriétés de certaines classes de séries formelles associées à la hiérarchie induite par cette notion de complexité.


  • Mardi 6 janvier 2009 Résumé : Après une introduction à la théorie des codes géométriques, nous présenterons une nouvelle méthode de construction de codes correcteurs à partir de surfaces algébriques. Cette construction, qui fait appel à des 2-formes différentielles rationnelles, étend aux surfaces un procédé de construction connu dans le cas des courbes. Dans un second temps, nous étudierons les relations entre les codes géométriques construits à partir d'une surface algébrique donnée et leurs orthogonaux pour la forme bilinéaire canonique sur F_q.


  • Mardi 16 décembre 2008 Résumé : La terminologie S-adique vient des développements adiques définis par A. Vershik en dynamique arithmétique. Il s'agit d'engendrer des mots infinis comme une composition d'un nombre fini de substitutions, où une substitution remplace un mot par une lettre. On peut associer de manière naturelle des systèmes dynamiques symboliques S-adiques aux algorithmes de fractions continues unimodulaires usuels comme l'algorithme classique, ou comme l'algorithme de Jacobi-Perron. Les propriétés de convergence de ces algorithmes se traduisent combinatoirement et métriquement sur ces systèmes.

    Le but de cet exposé est de montrer deux exemples de situations où ce formalisme est particulièrement adapté : il s'agit d'une part de problèmes d'approximation diophantienne pour des réels dont le développement binaire est sturmien, et d'autre part, de problèmes issus de la géométrie discrète.


  • Mardi 9 décembre 2008 Résumé : Dans la théorie métrique de l'approximation diophantienne, on cherche typiquement à donner une description de la taille de l'ensemble des réels (ou des points dans le cas de multidimensionnel) qui sont approchés à une certaine vitesse par une famille dénombrable de points fixés au préalable (nombres rationnels, algébriques, etc.). Nous présenterons dans un premier temps les résultats classiques de cette théorie, qui décrivent la taille de tels ensembles à l'aide de la mesure de Lebesgue ou des mesures de Hausdorff. Nous montrerons ensuite que ces ensembles vérifient une propriété remarquable issue de la théorie géométrique de la mesure appelée propriété de grande intersection. Enfin, nous expliquerons comment il est possible de déduire, à l'aide de techniques dites d'ubiquité, la description complète des propriétés de taille et de grande intersection de ces ensembles à partir de la simple connaissance de leur mesure de Lebesgue.


  • Mardi 2 décembre 2008
  • Mardi 25 novembre 2008 Résumé : Le critère de Nyman (1955) établit une correspondance entre la densité d'un sous-espace de fonctions dans l'espace L^2(0,1) et la non-annulation de la fonction zêta de Riemann dans le demi-plan Re{s}>1/2 (elle même équivalente à l'hypothèse de Riemann). Ce problème de correspondance a connu des développements récents avec les travaux de Báez-Duarte, Balazard, Burnol, Landreau, de Roton, Saias,...

    Ces travaux, tout comme la démonstration du critère de Nyman même, utilisent de nombreux domaines de l'analyse : analyse de Fourier, analyse fonctionnelle, théorie des opérateurs, structures euclidiennes, analyse complexe... Ces résultats ont récemment été généralisés à une large classe fonctions comprenant la fonction zta de Riemann, classe de Selberg (de Roton), ou certaines transformées de Laplace (Whitley). Je chercherai à dégager les idées dominantes dans ces travaux. J'espère illustrer pour ce critère de Nyman la richesse et la diversité des méthodes analytiques présentes en théorie analytique des nombres.


  • Mardi 18 novembre 2008 Résumé : We will present a perspective on expansive automorphisms of compact connected abelian groups that naturally leads to symbolic codings. At the same time, this perspective naturally leads to a version of the Pisot-Vijayaraghavan theorem.


  • Mardi 4 novembre 2008 Résumé : (Travail en collaboration avec Yann Bugeaud)

    Le théorème du sous espace de W. M. Schmidt est une vaste généralisation du célèbre théorème de Roth. Ce résultat est à l'origine motivé par la théorie des équations diophantiennes, mais, au cours des dernières années, il a connu plusieurs applications plutôt inattendues, concernant notamment certains problèmes de transcendance.

    Une démonstration de la transcendance d'un nombre réel ξ fondée sur la méthode de Thue-Siegel-Roth-Schmidt fait généralement intervenir une suite (α_n) de nombres algébriques de degrés bornés ou bien une suite (x_n) de r-uplets d'entiers. Dans cet exposé, nous montrerons comment une telle démonstration peut produire une mesure de transcendance de ξ, pour peu que l'on sache quantifier la croissance des hauteurs des nombres algébriques α_n ou des points x_n. Les mesures de transcendances obtenues nous permettent de placer les nombres considérés dans la classification de Mahler et d'en déduire parfois des résultats d'indépendance algébrique.

    En guise d'illustration, nous donnerons une application de cette méthode aux nombres sturmiens, lesquels sont liés aux séries de Hecke-Mahler.


  • Mardi 28 octobre 2008 Résumé : Il s'agit d'un travail en collaboration avec Elie Mosaki. Nous définissons des q-analogues des valeurs aux entiers positifs de la fonction beta de Dirichlet, que l'on peut écrire pour s entier positif sous la forme $\beta_q(s)=\sum_{k\geq1}\sum_{d|k}\chi(k/d)d^{s-1}q^k$, où $|q|<1$ et $\chi$ est le caractère de Dirichlet non trivial modulo 4. Lorsque s est impair, nous montrerons que ces expressions sont liées au monde automorphe, et en particulier aux séries d'Eisenstein de niveau 4, ce qui permet grâce aux travaux de Nesterenko d'établir la transcendance des nombres $\beta_q(2s+1)$ pour q algébrique. Concernant la nature des nombres $\beta_q(2s)$, nous verrons comment démontrer que pour $1/q\in\Z\setminus\{-1;1\}$, d'une part il existe une infinité d'irrationnels parmi les nombres $\beta_q(2),\beta_q(4),\dots$, et d'autre part au moins l'un des nombres $\beta_q(2),\beta_q(4),\dots, \beta_q(20)$ est irrationnel.


  • Mardi 21 octobre 2008 Résumé : (Avec C. Wuthrich). Soit E une courbe elliptique définie sur *Q* de conducteur p premier. Si C est un sous-groupe d'ordre p de E[p], on note P_C dans E l'image du point (E,C) de X_0(p) par le revêtement modulaire associé à E. Le point P_C est appelé un /self-point/. On démontre que ce point est d'ordre infini et on en déduit des minorations explicites (dans les sens où on construit effectivement des points linéairement indépendants) du rang des groupes de Mordell-Weil E(K_n) avec K_n=Q(E[p^n]).


  • Mardi 14 octobre 2008 Résumé : (Combinatorics) We introduce the hook length expansion technique and explain how to discover old and new hook length formulas for partitions. In particular, we derive an expansion formula for the powers of the Euler Product in terms of partition hook lengths, discovered by Nekrasov and Okounkov. We also obtain an extension by adding two more parameters, which appears to be a discrete interpolation between the Macdonald identities and the generating function for t-cores.

    (Number Theory) Our formula unifies the classical Jacobi and Gauss identities when t=2. We proved some arithmetical properties for t=3 and made a general conjecture. In the case t=5, the conjecture implies the long standing Lehmer conjecture which says that the Ramanujan tau-function never takes the zero value.




  • Mardi 7 octobre 2008 Résumé : La méthode de van der Corput (1920) repose sur deux transformations A et B. Dans cet exposé, nous décrivons quelques résultats classiques issus de cette méthode : nous étudions en particulier le caractère optimal ou non des estimations obtenues en présentant quelques résultats récents.


  • Mardi 30 septembre 2008 Résumé : Les conjectures de Stark donnent un lien entre les valeurs en s=0 du terme dominant des fonctions de Hecke d'une extension K/k et les régulateurs d'unités algébriques de K. Dans cet exposé, je donne une introduction graduelle à ses conjectures en focalisant sur les aspects explicites.


    Exposés de la saison 2007/2008

    Exposés de la saison 2006/2007

    Exposés de la saison 2005/2006