Courbes de Lissajous



\(x(t)\!=\!a.\sin(pt)\)
\(y(t)\!=\!b.\sin(qt+\varphi)\)
Jules-Antoine Lissajous
(1822–1880)
Physicien français



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  animation 2  
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\(\vphantom{/_p}a\!=\!b\!=\!1\;\quad p\!=\!q\!=\!1\;\quad \varphi\!=\!0\)

\(x(t)\!=\!\sin(t)\quad y(t)\!=\!\sin(t)\)
donc \(\;y\!=\!x\)

   
 
Segment !


\(\vphantom{/_p}a\!=\!b\!=\!1\;\quad p\!=\!q\!=\!1\;\quad\varphi\!=\!\pi/2\)

\(x(t)\!=\!\sin(t)\quad y(t)\!=\!\cos(t)\)
donc \(\;x^2+y^2\!=\!1\)

   
 
Cercle !


\(\vphantom{/_p}a\!=\!2, b\!=\!1\;\quad p\!=\!q\!=\!1\;\quad\varphi\!=\!\pi/2\)

\(x(t)\!=\! 2\sin(t)\quad y(t)\!=\!\cos(t)\)
donc \(\;\frac14x^2\!+\!y^2\!=\!1\)

   
 
Ellipse !


\(\vphantom{/_p}a\!=\!3, b\!=\!2\;\quad p\!=\!q\!=\!1\;\quad \varphi\!=\!\pi/3\)

\(x(t)\!=\!3\sin(t)\quad y(t)\!=\!\sqrt3\cos(t)\!+\!\sin(t)\)
donc \(\;4x^2\!-6xy\!+9y^2\!=\!27\)

   
 
Une autre ellipse !

            
 
Détermination du déphasage




Dorénavant, on choisira \(\;a\!=\!b\)



\(\vphantom{/_p}p\!=\!1,q\!=\!2\;\quad\varphi\!=\!0\)

   
 
Lemniscate de Gerono…


\(\vphantom{/_p}p\!=\!1, q\!=\!2\;\quad\varphi\!=–\pi/2\)

\(x(t)\!=\!\sin(t),\quad y(t)\!=–\cos(2t)\!=\!2\sin^2(t)–1\)
donc \(\;y\!=\!2x^2\!-\!1\)

   
 
Parabole !


\(\vphantom{/_p}p\!=\!1, q\!=\!3\;\quad\varphi\!=\!0\)

\(x(t)\!=\!\sin(t),\quad y(t)\!=\!\sin(3t)\!=\!3\sin(t)–4\sin^3(t)\)
donc \(\;y\!=\!3x\,–4x^3\)

   
 
Cubique !


\(\vphantom{/_p}p\!=\!1, q\!=\!4\;\quad\varphi\!=\!0\)

   


\(\vphantom{/_p}p\!=\!1, q\!=\!6\;\quad\varphi\!=\!0\)

   


\(\vphantom{/_p}p\!=\!2, q\!=\!3\;\quad\varphi\!=\!0\)

   


\(\vphantom{/_p}p\!=\!2, q\!=\!5\;\quad\varphi\!=\!0\)

   


\(\vphantom{/_p}p\!=\!3, q\!=\!4\;\quad\varphi\!=\!0\)

   


\(\vphantom{/_p}p\!=\!3, q\!=\!4\;\quad\varphi\!=\!\pi/6\)

   


\(\vphantom{/_p}p\!=\!9, q\!=\!8\;\quad\varphi\!=\!0\)

   


\(\vphantom{/_p}p\!=\!7, q\!=\!5\;\quad\varphi\!=\!\pi/2\)



   
 

 
Un oscilloscope
 






 
   
Et un billard…





\(x(t)\!=\!a.\arcsin[\sin(pt)]\)
\(y(t)\!=\!b.\arcsin[\sin(qt+\varphi)]\)



   
Billard rectangulaire
versus
courbe de Lissajous :

les trajectoires sont homéomorphes
(avec le même nombres de nœuds)…


\(\vphantom{/_p}p\!=\!7, q\!=\!5.1\;\quad\varphi\!=\!0\)

   
 
Une courbe fermée dans le carré…



\(\vphantom{/_p}p\!=\!7, q\!=\!\pi\;\quad\varphi\!=\!0\)

   
 
Une courbe dense dans le carré…
 


 
   
 
et son billard correspondant…



\(\vphantom{/_p}p\!=\!7, q\!=\!\sqrt2\;\quad\varphi\!=\!0\)

   
 
Une autre courbe dense dans le carré…





La trajectoire est fermée
si et seulement si
les rapports des pentes
\(b/a\) (diagonale du rectangle) et \(bq/ap\) (trajectoire)
sont commensurables
i.e. \(p/q\in\mathbb{Q}\)





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