Propriétés de conservation

Les projections sont surtout classées selon les propriétés qu'elles conservent (pour les optimistes) ou le type de déformations qu'elles induisent (pour les pessimistes) :

Les projections

Les autres projections sont dites aphylactiques.

Hors de cette classification, une projection azimutale conserve les angles dont le sommet est le centre de la projection (les azimuts) et les projections orthodromiques conservent les géodésiques (voir la conclusion de cet article).

Il existe des conditions simples pour juger de l'équivalence ou de la conformité d'une projection. On notera $M$ le point de la sphère (de rayon pris égal à $1$) de longitude $\phi$ et de latitude $\theta$, $M$ son projeté sur la carte de coordonnées cartésiennes $x$ et $y$ dans un repère orthonormé, avec en coordonnées polaires $\rho$ et $\gamma$ : $x=\rho \cos \gamma$ et $y=\rho \sin \gamma$.

L'aire d'un petit élément de surface de la sphère, d'étendue $d\phi$ en longitude et $d\theta$ en latitude, est

\[ d\phi\,d\theta \cos \theta\]

L'aire orientée de l'élément correspondant sur la carte est

\[ \begin{array}{|cc|} \frac{\partial x}{\partial \phi}&\frac{\partial y}{\partial \phi}\\ \frac{\partial x}{\partial \theta}&\frac{\partial y}{\partial \theta} \end{array} \,\,d\phi \,d\theta=\left(\frac{\partial x}{\partial \phi}\frac{\partial y}{\partial \theta} -\frac{\partial x}{\partial \theta}\frac{\partial y}{\partial \phi}\right)\,d\phi \,d\theta \]

Si cette quantité est positive, on obtient une image directe de la région considérée, sinon on obtient une image retournée. L'échelle locale, pour les aires, d'une projection est donc définie comme étant le rapport des deux coefficients devant $d\phi\,d\theta$

\[ \frac{1}{\cos \theta}\left(\frac{\partial x}{\partial \phi}\frac{\partial y}{\partial \theta} -\frac{\partial x}{\partial \theta}\frac{\partial y}{\partial \phi}\right) \]

(si le second terme est non nul au pôle, cette quantité y est infinie).


Projection équivalente

Pour une projection équivalente, la quantité ci-dessus vaut $1$, on en déduit :

Condition 1
Une projection est équivalente lorsqu'en tout point

\[ \frac{\partial x}{\partial \phi}\frac{\partial y}{\partial \theta} -\frac{\partial x}{\partial \theta}\frac{\partial y}{\partial \phi} =\cos \theta\]

ou encore, en coordonnées polaires,

\[ \rho\left(\frac{\partial \rho}{\partial \phi}\frac{\partial \gamma}{\partial \theta} -\frac{\partial \rho}{\partial \theta}\frac{\partial \gamma}{\partial \phi}\right)=\cos \theta \]

De la même manière, on définit l'échelle locale sur les méridiens par

\[ \sqrt{\left(\frac{\partial x}{\partial \theta}\right)^2 +\left(\frac{\partial y}{\partial \theta}\right)^2} =\sqrt{\left(\frac{\partial \rho}{\partial \theta}\right)^2 +\rho^2\left(\frac{\partial \gamma}{\partial \theta}\right)^2} \]

et sur les parallèles par

\[ \frac{1}{\cos \theta}\sqrt{\left(\frac{\partial x}{\partial \phi}\right)^2 +\left(\frac{\partial y}{\partial \phi}\right)^2} =\frac{1}{\cos \theta}\sqrt{\left(\frac{\partial \rho}{\partial \phi}\right)^2 +\rho^2\left(\frac{\partial \gamma}{\partial \phi}\right)^2} \]

Cette fois-ci on ne peut distinguer une image retournée : à laquelle des deux échelles attribuer un signe négatif ?


Projection conforme

Une projection sera conforme lorsqu'elle est localement assimilable à une similitude, autrement dit si le quadrilatère représentant un petit rectangle $d\phi d\theta$ de la sphère est lui-même un rectangle et que les échelles des méridiens et des parallèles sont localement égales. On en déduit :

Condition 2
Une projection est conforme lorsque en tout point

\[ \left\{\begin{array}{ll}\displaystyle \frac{\partial x}{\partial \phi}\frac{\partial x}{\partial \theta}+ \frac{\partial y}{\partial \phi}\frac{\partial y}{\partial \theta}=0\\ \null\\ \displaystyle\left(\frac{\partial x}{\partial \phi}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial \phi}\right)^2 =\cos^2 \theta\left( \left(\frac{\partial x}{\partial \theta}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial \theta}\right)^2 \right)\end{array}\right.\]

Pour avoir ceci en coordonnées polaires, il suffit de remplacer les termes en $\partial x$ par $\partial \rho$ et ceux en $\partial y$ par $\rho \,\partial \gamma$.

Si on note $z=x+i y$, et si $f$ est une application holomorphe et $g$ une projection conforme telle que $z=g(M)$, la projection $f\circ g$ est elle aussi conforme puisque $f$ est assimilable localement à une similitude. Réciproquement, si deux projections injectives sont conformes, il existe nécessairement (si on tient aussi compte des points à l'infini) une application holomorphe transformant l'une en l'autre, car la fonction transformant l'une en l'autre doit elle aussi être assimilable localement à une similitude. Ainsi on peut obtenir toutes les projections injectives conformes à partir d'une seule par composition par des fonctions holomorphes.


Projection équidistante

Enfin, pour les projections équidistantes, l'échelle sur les méridiens vaut $1$, ce qui donne :

Condition 3
Une projection est équidistante lorsque en tout point

\[ \left(\frac{\partial x}{\partial \theta}\right)^2 +\left(\frac{\partial y}{\partial \theta}\right)^2=1 \]

On peut appliquer ces résultats pour retrouver les projections couramment utilisées. On étudiera dans chaque catégorie principale (cylindrique, azimutale, tronconique) les projections perspectives, équidistantes, équivalentes, conformes.


Indicatrices de Tissot

Les indicatrices de Tissot sont des petites calottes sphériques d'aires identiques réparties uniformément le long des méridiens et des parallèles. Elles permettent d'apprécier les déformations des formes et des aires imposées par un système de projection cartographique.

Indicatrices de Tissot

Classification des projections Les projections cartographiques Les projections cylindriques