\(\color{blue}\vphantom{\dfrac{1^b}{x_a}}h(x)\!=\!x E\!\Big(\dfrac{1}{x}\Big)-1\)

Graphe de \(\color{blue}h\)

Graphe de \(\color{blue}h\) (zoom)

\(\color{blue}|h(x)|\leqslant|x|\)
donc \(\color{blue}h\) est prolongeable par continuité en 0
en posant \(\color{blue}h(0)=0\)

Graphe de \(\color{blue}h\) (méga-zoom)

Une fonction continue en 0
mais continue sur aucun voisinage de 0…

\(\color{red}\vphantom{\dfrac{1^b}{\dfrac{1}{x_a}}}k(x)\!=\!\dfrac{1}{E\!\Big(\dfrac{1}{x}\Big)}\)

Graphe de \(\color{red}k\)

Graphe de \(\color{red}k\) (zoom)

\(\color{red}|k(x)|\leqslant \dfrac{|x|}{1-x}\)
donc \(\color{red}k\) est prolongeable par continuité en 0
en posant \(\color{red}k(0)=0\)

Graphe de \(\color{red}k\) (méga-zoom)

Une autre fonction continue en 0
mais continue sur aucun voisinage de 0…